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三、解答题
7. 如图，点A，B在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段.已知$S_{阴影}=1$，求$S_1 + S_2$的值.
7. 如图，点A，B在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段.已知$S_{阴影}=1$，求$S_1 + S_2$的值.
答案
解：
根据反比例函数的几何意义，过双曲线$y=\frac{4}{x}$上任意一点向两坐标轴作垂线段，所得矩形的面积等于$|k|=4$。
因此点A对应的矩形面积满足：$S_1 + S_{阴影}=4$，
点B对应的矩形面积满足：$S_2 + S_{阴影}=4$。
将两式相加得：$S_1 + S_2 + 2S_{阴影}=8$。
把$S_{阴影}=1$代入上式：
$S_1 + S_2 = 8 - 2×1 = 6$。
答：$S_1 + S_2$的值为6。
根据反比例函数的几何意义，过双曲线$y=\frac{4}{x}$上任意一点向两坐标轴作垂线段，所得矩形的面积等于$|k|=4$。
因此点A对应的矩形面积满足：$S_1 + S_{阴影}=4$，
点B对应的矩形面积满足：$S_2 + S_{阴影}=4$。
将两式相加得：$S_1 + S_2 + 2S_{阴影}=8$。
把$S_{阴影}=1$代入上式：
$S_1 + S_2 = 8 - 2×1 = 6$。
答：$S_1 + S_2$的值为6。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于$|k|$。本题中反比例函数的$k=4$，因此点A、B对应的矩形面积均为4。再观察图形可知，点A对应的矩形面积等于$S_1$加阴影面积，点B对应的矩形面积等于$S_2$加阴影面积，将两个等式相加，代入阴影面积的值即可求出$S_1+S_2$的结果。
【解析】
解：根据反比例函数的几何意义，过双曲线$y=\frac{4}{x}$上任意一点向两坐标轴作垂线段，所得矩形的面积等于$|k|=4$。
由图可得：点A对应的矩形面积满足$S_1 + S_{阴影}=4$，
点B对应的矩形面积满足$S_2 + S_{阴影}=4$。
将两式相加得：$S_1 + S_2 + 2S_{阴影}=8$，
已知$S_{阴影}=1$，代入上式得：
$S_1 + S_2 = 8 - 2×1 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义；面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形理清各部分面积的数量关系即可快速求解，是反比例函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于$|k|$。本题中反比例函数的$k=4$，因此点A、B对应的矩形面积均为4。再观察图形可知，点A对应的矩形面积等于$S_1$加阴影面积，点B对应的矩形面积等于$S_2$加阴影面积，将两个等式相加，代入阴影面积的值即可求出$S_1+S_2$的结果。
【解析】
解：根据反比例函数的几何意义，过双曲线$y=\frac{4}{x}$上任意一点向两坐标轴作垂线段，所得矩形的面积等于$|k|=4$。
由图可得：点A对应的矩形面积满足$S_1 + S_{阴影}=4$，
点B对应的矩形面积满足$S_2 + S_{阴影}=4$。
将两式相加得：$S_1 + S_2 + 2S_{阴影}=8$，
已知$S_{阴影}=1$，代入上式得：
$S_1 + S_2 = 8 - 2×1 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义；面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形理清各部分面积的数量关系即可快速求解，是反比例函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知直线 $y=-2x$ 经过点 $P(-2,a)$，点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点 $P'$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上.
（1）求 $a$ 的值；
（2）直接写出点 $P'$ 的坐标；
（3）求反比例函数的表达式.
（1）求 $a$ 的值；
（2）直接写出点 $P'$ 的坐标；
（3）求反比例函数的表达式.
答案
解：
（1）将点$P(-2,a)$代入$y=-2x$，得
$a=-2×(-2)=4$。
（2）点$P'$的坐标为$(2,4)$。
（3）将$P'(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
（1）将点$P(-2,a)$代入$y=-2x$，得
$a=-2×(-2)=4$。
（2）点$P'$的坐标为$(2,4)$。
（3）将$P'(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
解析
【分析】
本题分三个小问，解题思路逐步推进：
1. 求a的值：函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，已知点P在直线y=-2x上，将P的横坐标x=-2代入直线解析式，即可计算出a的值。
2. 求P'的坐标：关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到P点坐标后套用该规律即可得到P'的坐标。
3. 求反比例函数表达式：已知P'在反比例函数图象上，将P'的坐标代入反比例函数解析式y=k/x，求出k的值即可确定反比例函数的表达式。
【解析】
（1）将点$P(-2,a)$代入$y=-2x$，得
$a=-2×(-2)=4$。
（2）点P坐标为$(-2,4)$，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此点$P'$的坐标为$(2,4)$。
（3）将$P'(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
【答案】
（1）$a=4$；（2）$(2,4)$；（3）$y=\frac{8}{x}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标规律，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是函数与轴对称结合的基础题，考查核心知识点的基础应用，只要熟练掌握“函数图象上的点坐标满足函数解析式”和轴对称点的坐标变化规律，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题分三个小问，解题思路逐步推进：
1. 求a的值：函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，已知点P在直线y=-2x上，将P的横坐标x=-2代入直线解析式，即可计算出a的值。
2. 求P'的坐标：关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到P点坐标后套用该规律即可得到P'的坐标。
3. 求反比例函数表达式：已知P'在反比例函数图象上，将P'的坐标代入反比例函数解析式y=k/x，求出k的值即可确定反比例函数的表达式。
【解析】
（1）将点$P(-2,a)$代入$y=-2x$，得
$a=-2×(-2)=4$。
（2）点P坐标为$(-2,4)$，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此点$P'$的坐标为$(2,4)$。
（3）将$P'(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
【答案】
（1）$a=4$；（2）$(2,4)$；（3）$y=\frac{8}{x}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标规律，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是函数与轴对称结合的基础题，考查核心知识点的基础应用，只要熟练掌握“函数图象上的点坐标满足函数解析式”和轴对称点的坐标变化规律，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
9. 已知 P 是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点，点 P 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，当 $x＞0$ 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。求这个反比例函数的表达式。
答案
解：
∵ 点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴ 点P横、纵坐标的乘积的绝对值$|k|=|xy|=2×3=6$，
∴ $k=6$或$k=-6$。
又∵ 当$x＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $k=-6$，
∴ 这个反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
∵ 点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴ 点P横、纵坐标的乘积的绝对值$|k|=|xy|=2×3=6$，
∴ $k=6$或$k=-6$。
又∵ 当$x＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $k=-6$，
∴ 这个反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，根据点P到x轴、y轴的距离，可得点P横、纵坐标的绝对值，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的关系，先求出$|k|$的取值，得到k的两个可能值；其次，结合反比例函数的增减性判断k的符号：反比例函数中，当$k＜0$时，在每个象限内y随x的增大而增大，符合题中$x＞0$时的增减性，即可排除k为正的情况，最终确定k的取值，得到函数表达式。
【解析】
∵ 点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴ 点P横、纵坐标的乘积的绝对值$|k|=|xy|=2×3=6$，
∴ $k=6$或$k=-6$。
又
∵ 当$x＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $k=-6$，
∴ 这个反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{6}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 点到坐标轴的距离
3. 反比例函数系数k的意义
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，解题关键是先利用点与坐标轴的距离求出k的可能值，再结合函数增减性确定k的符号，解题时需注意不要漏看增减性条件，避免直接取k的正值导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，根据点P到x轴、y轴的距离，可得点P横、纵坐标的绝对值，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的关系，先求出$|k|$的取值，得到k的两个可能值；其次，结合反比例函数的增减性判断k的符号：反比例函数中，当$k＜0$时，在每个象限内y随x的增大而增大，符合题中$x＞0$时的增减性，即可排除k为正的情况，最终确定k的取值，得到函数表达式。
【解析】
∵ 点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴ 点P横、纵坐标的乘积的绝对值$|k|=|xy|=2×3=6$，
∴ $k=6$或$k=-6$。
又
∵ 当$x＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $k=-6$，
∴ 这个反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{6}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 点到坐标轴的距离
3. 反比例函数系数k的意义
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，解题关键是先利用点与坐标轴的距离求出k的可能值，再结合函数增减性确定k的符号，解题时需注意不要漏看增减性条件，避免直接取k的正值导致错误。
【难度系数】
0.7
