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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC=20$，$\tan A=\frac{4}{3}$。下列各式中，正确的是（
A.$AB=16$；
B.$\sin A=0.6$；
C.$BC=18$；
D.$\tan C=0.75$。
D
）A.$AB=16$；
B.$\sin A=0.6$；
C.$BC=18$；
D.$\tan C=0.75$。
答案
1. D.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，先根据正切的定义，得到∠A的对边BC和邻边AB的长度比例关系；第二步，结合勾股定理，利用已知的斜边AC的长度，求出两条直角边的具体数值；第三步，分别计算四个选项对应的数值，逐一判断对错即可得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据锐角三角函数的定义：
1. 由$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$，可设$BC=4k$，$AB=3k$（$k＞0$）。
2. 根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，已知$AC=20$，代入得：
$(3k)^2+(4k)^2=20^2$
$9k^2+16k^2=400$
$25k^2=400$
解得$k=4$（边长为正，舍去负根）。
因此$AB=3×4=12$，$BC=4×4=16$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$AB=16$，计算得$AB=12$，错误；
B选项：$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{16}{20}=0.8≠0.6$，错误；
C选项：$BC=18$，计算得$BC=16$，错误；
D选项：$\tan C=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{16}=0.75$，正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，核心是熟练掌握锐角三角函数的对应边关系，通过设比例参数结合勾股定理求边长的方法非常实用，计算时注意对应边不要混淆即可。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步，先根据正切的定义，得到∠A的对边BC和邻边AB的长度比例关系；第二步，结合勾股定理，利用已知的斜边AC的长度，求出两条直角边的具体数值；第三步，分别计算四个选项对应的数值，逐一判断对错即可得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据锐角三角函数的定义：
1. 由$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$，可设$BC=4k$，$AB=3k$（$k＞0$）。
2. 根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，已知$AC=20$，代入得：
$(3k)^2+(4k)^2=20^2$
$9k^2+16k^2=400$
$25k^2=400$
解得$k=4$（边长为正，舍去负根）。
因此$AB=3×4=12$，$BC=4×4=16$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$AB=16$，计算得$AB=12$，错误；
B选项：$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{16}{20}=0.8≠0.6$，错误；
C选项：$BC=18$，计算得$BC=16$，错误；
D选项：$\tan C=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{16}=0.75$，正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，核心是熟练掌握锐角三角函数的对应边关系，通过设比例参数结合勾股定理求边长的方法非常实用，计算时注意对应边不要混淆即可。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=3\sqrt{3}$，$∠ C=60°$，$\sin B=\dfrac{2}{3}$，那么$AC$的长为（
A.$2$；
B.$4$；
C.$2\sqrt{3}$；
D.$4\sqrt{3}$。
B
）A.$2$；
B.$4$；
C.$2\sqrt{3}$；
D.$4\sqrt{3}$。
答案
2. B.
解析
【分析】
要求AC的长，我们可以通过作高将斜三角形△ABC转化为两个直角三角形求解：首先过点A作BC边上的高AD，先在Rt△ABD中，利用∠B的正弦值和AB的长度求出高AD的长度，再在Rt△ADC中，利用∠C的正弦值和AD的长度即可求出AC的长。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，已知AB=3√3，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，
∴ $AD = AB·\sin B = 3\sqrt{3} × \frac{2}{3} = 2\sqrt{3}$。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
又
∵ $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AC = \frac{AD}{\sin C} = 2\sqrt{3} ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} = 4$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义求解，是解斜三角形的常用方法，解题的关键是正确作出高，找准直角三角形中边和角的对应关系。
【难度系数】
0.7
要求AC的长，我们可以通过作高将斜三角形△ABC转化为两个直角三角形求解：首先过点A作BC边上的高AD，先在Rt△ABD中，利用∠B的正弦值和AB的长度求出高AD的长度，再在Rt△ADC中，利用∠C的正弦值和AD的长度即可求出AC的长。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，已知AB=3√3，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，
∴ $AD = AB·\sin B = 3\sqrt{3} × \frac{2}{3} = 2\sqrt{3}$。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
又
∵ $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AC = \frac{AD}{\sin C} = 2\sqrt{3} ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} = 4$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义求解，是解斜三角形的常用方法，解题的关键是正确作出高，找准直角三角形中边和角的对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ ABC=30°$，$△ ABC$沿直线$BC$平移，得到$△ A'B'C'$，$B'$为$BC$的中点，连接$BA'$，那么$\tan∠ A'BC$的值为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
D.$\frac{\sqrt{3}}{5}$。
D
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
D.$\frac{\sqrt{3}}{5}$。
答案
3. D.
解析
【分析】
要计算$\tan∠A'BC$的值，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，因此需要构造包含$∠A'BC$的直角三角形。结合平移的性质：平移前后图形全等，对应边、对应角相等，对应线段平行且相等，可过$A'$作$BC$的垂线得到所需直角三角形。再利用含$30°$角的直角三角形的三边关系，设参数表示出各边长度，结合$B'$是$BC$中点的条件，求出直角三角形中$∠A'BC$的对边和邻边长度，最后计算比值即可。
【解析】
解：过点$A'$作$A'D⊥ BC'$于点$D$。
设$AC=a$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore BC=2AC=2a$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
$\because △ABC$沿直线$BC$平移得到$△A'B'C'$，
$\therefore △A'B'C'≌△ABC$，$A'B'=AB=\sqrt{3}a$，$∠ A'B'C'=∠ ABC=30°$，平移距离$BB'=\frac{1}{2}BC=a$。
在$\mathrm{Rt}△A'B'D$中，
$A'D=A'B'·\sin30°=\sqrt{3}a×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
$B'D=A'B'·\cos30°=\sqrt{3}a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$，
$\therefore BD=BB'+B'D=a+\frac{3a}{2}=\frac{5a}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△A'BD$中，
$\tan∠A'BC=\frac{A'D}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{5a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质；解直角三角形；锐角三角函数定义
【点评】
本题考查平移性质与锐角三角函数的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质设参数简化计算，需要熟练掌握相关基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
要计算$\tan∠A'BC$的值，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，因此需要构造包含$∠A'BC$的直角三角形。结合平移的性质：平移前后图形全等，对应边、对应角相等，对应线段平行且相等，可过$A'$作$BC$的垂线得到所需直角三角形。再利用含$30°$角的直角三角形的三边关系，设参数表示出各边长度，结合$B'$是$BC$中点的条件，求出直角三角形中$∠A'BC$的对边和邻边长度，最后计算比值即可。
【解析】
解：过点$A'$作$A'D⊥ BC'$于点$D$。
设$AC=a$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore BC=2AC=2a$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
$\because △ABC$沿直线$BC$平移得到$△A'B'C'$，
$\therefore △A'B'C'≌△ABC$，$A'B'=AB=\sqrt{3}a$，$∠ A'B'C'=∠ ABC=30°$，平移距离$BB'=\frac{1}{2}BC=a$。
在$\mathrm{Rt}△A'B'D$中，
$A'D=A'B'·\sin30°=\sqrt{3}a×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
$B'D=A'B'·\cos30°=\sqrt{3}a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$，
$\therefore BD=BB'+B'D=a+\frac{3a}{2}=\frac{5a}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△A'BD$中，
$\tan∠A'BC=\frac{A'D}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{5a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质；解直角三角形；锐角三角函数定义
【点评】
本题考查平移性质与锐角三角函数的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质设参数简化计算，需要熟练掌握相关基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 5$，$\tan A = \frac{1}{2}$，$\tan B = \frac{1}{3}$，那么$BC$的长为
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 5$，$\tan A = \frac{1}{2}$，$\tan B = \frac{1}{3}$，那么$BC$的长为
$\sqrt{10}$
。答案
4. $\sqrt{10}$.
解析
【分析】
本题要求斜三角形中BC的边长，已知AB边长以及∠A、∠B的正切值，没有直接可用的直角三角形，因此首先考虑作高构造直角三角形：过点C作CD⊥AB于D，将△ABC分为两个直角三角形。设CD的长度为x，利用锐角三角函数的定义分别用x表示出AD、BD的长度，再结合AD+BD=AB=5列方程求出x的值，最后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，设$CD = x$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{1}{2}$，因此$AD = 2CD = 2x$。
在$Rt△ BCD$中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{3}$，因此$BD = 3CD = 3x$。
∵ $AB = AD + BD = 5$，
∴ $2x + 3x = 5$，解得$x = 1$，即$CD=1$，$BD=3$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
解直角三角形；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数的意义设未知数列方程求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题要求斜三角形中BC的边长，已知AB边长以及∠A、∠B的正切值，没有直接可用的直角三角形，因此首先考虑作高构造直角三角形：过点C作CD⊥AB于D，将△ABC分为两个直角三角形。设CD的长度为x，利用锐角三角函数的定义分别用x表示出AD、BD的长度，再结合AD+BD=AB=5列方程求出x的值，最后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，设$CD = x$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{1}{2}$，因此$AD = 2CD = 2x$。
在$Rt△ BCD$中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{3}$，因此$BD = 3CD = 3x$。
∵ $AB = AD + BD = 5$，
∴ $2x + 3x = 5$，解得$x = 1$，即$CD=1$，$BD=3$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
解直角三角形；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数的意义设未知数列方程求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
