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12. 已知矩形ABCD的对角线AC的长为l，它与边AB的夹角为α. 求矩形ABCD的面积.（用含l、α的式子表示）
答案
12. $l^2\sinα\cosα$. 提示：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AB=l·\cosα$，$BC=l·\sinα$，所以$S=AB· BC=l^2\sinα\cosα$.
解析
【分析】
要计算矩形的面积，需要先求出矩形相邻两边的长度。结合矩形的性质，矩形的内角为直角，因此对角线AC和AB、BC可构成直角三角形。已知斜边AC的长度和锐角α，可利用锐角三角函数的定义分别求出AB、BC的长度，再代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC = 90°
在Rt△ABC中，AC = l，∠BAC = α
根据锐角三角函数的定义：
$\cosα=\frac{AB}{AC}$，可得$AB = AC·\cosα = l\cosα$
$\sinα=\frac{BC}{AC}$，可得$BC = AC·\sinα = l\sinα$
矩形的面积$S = AB· BC$
将AB、BC代入得：
$S = l\cosα · l\sinα = l^2\sinα\cosα$
【答案】
$l^2\sinα\cosα$
【知识点】
矩形的性质；锐角三角函数的定义；矩形面积计算
【点评】
本题是解直角三角形在几何图形中的基础应用，解题的关键是结合矩形的直角特征，利用锐角三角函数正确表示出矩形的两条邻边长度，掌握锐角三角函数的基本定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要计算矩形的面积，需要先求出矩形相邻两边的长度。结合矩形的性质，矩形的内角为直角，因此对角线AC和AB、BC可构成直角三角形。已知斜边AC的长度和锐角α，可利用锐角三角函数的定义分别求出AB、BC的长度，再代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC = 90°
在Rt△ABC中，AC = l，∠BAC = α
根据锐角三角函数的定义：
$\cosα=\frac{AB}{AC}$，可得$AB = AC·\cosα = l\cosα$
$\sinα=\frac{BC}{AC}$，可得$BC = AC·\sinα = l\sinα$
矩形的面积$S = AB· BC$
将AB、BC代入得：
$S = l\cosα · l\sinα = l^2\sinα\cosα$
【答案】
$l^2\sinα\cosα$
【知识点】
矩形的性质；锐角三角函数的定义；矩形面积计算
【点评】
本题是解直角三角形在几何图形中的基础应用，解题的关键是结合矩形的直角特征，利用锐角三角函数正确表示出矩形的两条邻边长度，掌握锐角三角函数的基本定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
13 如果一个四边形至少有一组邻边相等且对角互补，那么我们称这个四边形为邻等对补四边形. 如图，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是对角线.
(1) 证明：$∠ ACD=∠ ACB$.
(2) 如果$BC=m$，$DC=n$，$∠ BCD=2θ$，求$AC$的长.（用含$m$、$n$、$θ$的式子表示）
(1) 证明：$∠ ACD=∠ ACB$.
(2) 如果$BC=m$，$DC=n$，$∠ BCD=2θ$，求$AC$的长.（用含$m$、$n$、$θ$的式子表示）
答案
13. (1) 提示：如图，过点 A 作$AG⊥BC$，$AH⊥CD$，垂足分别为 G、H。由$AB=AD$，$∠BAG=∠DAH$，$∠AGB=∠AHD$，可证$△ ABG≌△ ADH$，故$AG=AH$。又由$AG⊥BC$，$AH⊥CH$，得$∠ACD=∠ACB$。
(2) $\dfrac{m+n}{2\cosθ}$。提示：由$△ ABG≌△ ADH$，可得$BG=DH$。又由$AG=AH$，$AC=AC$，得$\mathrm{Rt}△ ACG≌\mathrm{Rt}△ ACH$，得$CG=CH$。所以，$BC+DC=(BG+CG)+(CH-DH)=CG+CH=2CG=m+n$，即$CG=\dfrac{m+n}{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$∠ACB=∠ACD=\dfrac{1}{2}∠BCD=θ$，所以$AC=\dfrac{CG}{\cos∠ACG}=\dfrac{m+n}{2\cosθ}$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠ACD=∠ACB，本质是证明AC平分∠BCD，根据角平分线的判定定理，可过点A向∠BCD的两条边作垂线，证明两条垂线段相等即可。结合已知AB=AD、四边形对角互补的条件，可证明两条垂线段所在的直角三角形全等，得到垂线段相等，即可证得结论。
(2) 要求AC的长，可沿用(1)的辅助线，结合全等三角形的性质，先推导BC、DC的和与线段CG的数量关系，得到CG的表达式，再在Rt△ACG中利用三角函数的定义求解AC即可。
【解析】
(1) 证明：过点A作$AG⊥BC$于点G，$AH⊥CD$，交CD的延长线于点H，
$\therefore ∠AGB=∠AHD=90°$。
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，$\therefore ∠B+∠ADC=180°$，
又$\because ∠ADH+∠ADC=180°$，$\therefore ∠B=∠ADH$。
在$△ ABG$和$△ ADH$中：
$\begin{cases}∠AGB=∠AHD \\∠B=∠ADH \\AB=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABG≌△ ADH(\mathrm{AAS})$，$\therefore AG=AH$。
∵AG⊥BC，AH⊥CD，
∴点A在∠BCD的角平分线上，即$\boxed{∠ACD=∠ACB}$。
(2) 解：由(1)中$△ ABG≌△ ADH$，可得$BG=DH$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$和$\mathrm{Rt}△ ACH$中：
$\begin{cases}AG=AH \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACG≌\mathrm{Rt}△ ACH(\mathrm{HL})$，$\therefore CG=CH$。
已知$BC=m=BG+CG$，$DC=n=CH-DH$，将两式相加得：
$BC+DC=(BG+CG)+(CH-DH)$，
代入$BG=DH$、$CG=CH$，得$m+n=2CG$，即$CG=\frac{m+n}{2}$。
由(1)知$∠ACB=∠ACD$，且$∠BCD=2θ$，$\therefore ∠ACG=θ$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$\cos∠ACG=\frac{CG}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{CG}{\cosθ}=\frac{\frac{m+n}{2}}{\cosθ}=\frac{m+n}{2\cosθ}$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\dfrac{m+n}{2\cosθ}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解直角三角形
【点评】
本题为新定义类几何综合题，将基础几何定理与解直角三角形相结合考查，解题核心是根据角平分线的判定思路构造辅助线，通过全等三角形实现线段关系的转化，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠ACD=∠ACB，本质是证明AC平分∠BCD，根据角平分线的判定定理，可过点A向∠BCD的两条边作垂线，证明两条垂线段相等即可。结合已知AB=AD、四边形对角互补的条件，可证明两条垂线段所在的直角三角形全等，得到垂线段相等，即可证得结论。
(2) 要求AC的长，可沿用(1)的辅助线，结合全等三角形的性质，先推导BC、DC的和与线段CG的数量关系，得到CG的表达式，再在Rt△ACG中利用三角函数的定义求解AC即可。
【解析】
(1) 证明：过点A作$AG⊥BC$于点G，$AH⊥CD$，交CD的延长线于点H，
$\therefore ∠AGB=∠AHD=90°$。
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，$\therefore ∠B+∠ADC=180°$，
又$\because ∠ADH+∠ADC=180°$，$\therefore ∠B=∠ADH$。
在$△ ABG$和$△ ADH$中：
$\begin{cases}∠AGB=∠AHD \\∠B=∠ADH \\AB=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABG≌△ ADH(\mathrm{AAS})$，$\therefore AG=AH$。
∵AG⊥BC，AH⊥CD，
∴点A在∠BCD的角平分线上，即$\boxed{∠ACD=∠ACB}$。
(2) 解：由(1)中$△ ABG≌△ ADH$，可得$BG=DH$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$和$\mathrm{Rt}△ ACH$中：
$\begin{cases}AG=AH \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACG≌\mathrm{Rt}△ ACH(\mathrm{HL})$，$\therefore CG=CH$。
已知$BC=m=BG+CG$，$DC=n=CH-DH$，将两式相加得：
$BC+DC=(BG+CG)+(CH-DH)$，
代入$BG=DH$、$CG=CH$，得$m+n=2CG$，即$CG=\frac{m+n}{2}$。
由(1)知$∠ACB=∠ACD$，且$∠BCD=2θ$，$\therefore ∠ACG=θ$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$\cos∠ACG=\frac{CG}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{CG}{\cosθ}=\frac{\frac{m+n}{2}}{\cosθ}=\frac{m+n}{2\cosθ}$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\dfrac{m+n}{2\cosθ}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解直角三角形
【点评】
本题为新定义类几何综合题，将基础几何定理与解直角三角形相结合考查，解题核心是根据角平分线的判定思路构造辅助线，通过全等三角形实现线段关系的转化，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
