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9. 七巧板是中国民间流传的古典智力玩具. 它由七块板组成，是一个完整的正方形经分割后得到五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形. 七块板通过平移、旋转与组合，可拼出生动图案，蕴含着“出入相补”的古代几何原理. 现将如图（1）所示的七巧板拼成如图（2）所示的四边形ABCD，连接AC，那么$\tan∠ CAB=$
$\dfrac{1}{2}$
.答案
9. $\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
要求$\tan∠CAB$，根据锐角正切的定义，需构造包含$∠CAB$的直角三角形，得到该角的对边与邻边的长度比值即可。我们可以先设七巧板中最小等腰直角三角形的直角边长为参数，利用七巧板各板块的边长关系，分别表示出$∠CAB$所在直角三角形的对边和邻边长度，再代入正切公式计算。
【解析】
设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1。
过点$C$作$CE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$。
根据七巧板各板块的边长规律可得：$CE=2$，$AE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ E=90°$，根据正切的定义：
$\tan∠CAB=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
锐角正切的定义，等腰直角三角形的性质，七巧板的特征
【点评】
本题以传统智力玩具七巧板为背景，将几何拼接和锐角三角函数计算结合，解题的关键是合理设定参数，利用七巧板各部分的边长关系求出所需线段长度，考查了几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠CAB$，根据锐角正切的定义，需构造包含$∠CAB$的直角三角形，得到该角的对边与邻边的长度比值即可。我们可以先设七巧板中最小等腰直角三角形的直角边长为参数，利用七巧板各板块的边长关系，分别表示出$∠CAB$所在直角三角形的对边和邻边长度，再代入正切公式计算。
【解析】
设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1。
过点$C$作$CE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$。
根据七巧板各板块的边长规律可得：$CE=2$，$AE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ E=90°$，根据正切的定义：
$\tan∠CAB=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
锐角正切的定义，等腰直角三角形的性质，七巧板的特征
【点评】
本题以传统智力玩具七巧板为背景，将几何拼接和锐角三角函数计算结合，解题的关键是合理设定参数，利用七巧板各部分的边长关系求出所需线段长度，考查了几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ AOB$，其中$∠ C=∠ AOB=90°$，$∠ CAB=30°$，$OA=OB$，斜边$AB$平行于$x$轴，且点$A$在函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图像上，点$C$的坐标为________。
答案
10. $(\dfrac{1}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})$.
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰Rt△AOB和AB平行x轴的特征入手，判断A、B两点关于y轴对称，结合反比例函数解析式求出点A的坐标及AB的长度；再利用Rt△ABC中30°角的三角函数值求出AC的长度，结合∠CAB的角度计算点C相对于点A的坐标增量，最终得到点C的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
设点A坐标为$(-m,n)$（$m＞0,n＞0$，因A在第二象限），
∵$AB// x$轴，$OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴点B与点A关于y轴对称，即$B(m,n)$，$△ AOB$为等腰直角三角形，斜边$AB=2m$。
由等腰直角三角形斜边与直角边的关系：$AB=\sqrt{2}OA$，
又$OA=\sqrt{m^2+n^2}$，代入得$2m=\sqrt{2}·\sqrt{m^2+n^2}$，
两边平方化简得$n^2=m^2$，即$n=m$。
∵点A在$y=-\dfrac{1}{x}$上，代入坐标得$n=-\dfrac{1}{-m}=\dfrac{1}{m}$，
结合$n=m$得$m=\dfrac{1}{m}$，解得$m=1$（$m＞0$），
∴$A(-1,1)$，$B(1,1)$，$AB=2$。
2. 求点C的坐标：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB=30°$，
∴$AC=AB·\cos30°=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵AB沿x轴正方向，$∠ CAB=30°$，点C在AB上方，
∴点C相对于A的横坐标增量：$AC·\cos30°=\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}$，
纵坐标增量：$AC·\sin30°=\sqrt{3}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点C横坐标：$-1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$，纵坐标：$1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$(\dfrac{1}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
【知识点】
反比例函数的性质；等腰直角三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是函数与几何的综合题，需要结合图形分析点的对称关系和角度关系，解题的核心是先求出点A的坐标，再利用三角函数计算坐标增量，对几何图形的性质运用和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的等腰Rt△AOB和AB平行x轴的特征入手，判断A、B两点关于y轴对称，结合反比例函数解析式求出点A的坐标及AB的长度；再利用Rt△ABC中30°角的三角函数值求出AC的长度，结合∠CAB的角度计算点C相对于点A的坐标增量，最终得到点C的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
设点A坐标为$(-m,n)$（$m＞0,n＞0$，因A在第二象限），
∵$AB// x$轴，$OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴点B与点A关于y轴对称，即$B(m,n)$，$△ AOB$为等腰直角三角形，斜边$AB=2m$。
由等腰直角三角形斜边与直角边的关系：$AB=\sqrt{2}OA$，
又$OA=\sqrt{m^2+n^2}$，代入得$2m=\sqrt{2}·\sqrt{m^2+n^2}$，
两边平方化简得$n^2=m^2$，即$n=m$。
∵点A在$y=-\dfrac{1}{x}$上，代入坐标得$n=-\dfrac{1}{-m}=\dfrac{1}{m}$，
结合$n=m$得$m=\dfrac{1}{m}$，解得$m=1$（$m＞0$），
∴$A(-1,1)$，$B(1,1)$，$AB=2$。
2. 求点C的坐标：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB=30°$，
∴$AC=AB·\cos30°=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵AB沿x轴正方向，$∠ CAB=30°$，点C在AB上方，
∴点C相对于A的横坐标增量：$AC·\cos30°=\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}$，
纵坐标增量：$AC·\sin30°=\sqrt{3}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点C横坐标：$-1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$，纵坐标：$1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$(\dfrac{1}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
【知识点】
反比例函数的性质；等腰直角三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是函数与几何的综合题，需要结合图形分析点的对称关系和角度关系，解题的核心是先求出点A的坐标，再利用三角函数计算坐标增量，对几何图形的性质运用和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 解下列直角三角形：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$c=10$，$∠ A=45°$.
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$b=5$，$∠ B=30°$.
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$a=3$，$c=4$. (角度精确到$1'$)
11. 解下列直角三角形：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$c=10$，$∠ A=45°$.
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$b=5$，$∠ B=30°$.
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$a=3$，$c=4$. (角度精确到$1'$)
答案
11. (1) $∠ B=45°$，$a=b=5\sqrt{2}$.
(2) $∠ A=60°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$.
(3) $b=\sqrt{7}$，$∠ A≈48°35'$，$∠ B≈41°25'$.
(2) $∠ A=60°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$.
(3) $b=\sqrt{7}$，$∠ A≈48°35'$，$∠ B≈41°25'$.
解析
【分析】
解直角三角形的核心是利用直角三角形的三类关系求解未知元素：①角的关系：两锐角互余；②边的关系：勾股定理；③边角关系：锐角三角函数（正弦、余弦、正切）。解题时根据已知条件灵活选择公式：
(1) 已知直角和一个锐角，先利用两锐角互余求另一个锐角，再结合三角函数求两条直角边；
(2) 已知直角、一个锐角和一条直角边，先求剩余锐角，再利用30°角的性质或三角函数求斜边、另一条直角边；
(3) 已知两条边，先利用勾股定理求第三边，再通过三角函数求锐角，最后利用两锐角互余求另一个锐角，注意角度精确到1'的要求。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$，即$△ ABC$为等腰直角三角形，$a=b$
由$\sin A=\frac{a}{c}$得：
$a=c· \sin45°=10× \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$
$\therefore b=a=5\sqrt{2}$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$
$\therefore ∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$
由$\sin B=\frac{b}{c}$得：
$c=\frac{b}{\sin30°}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$
由$\tan B=\frac{b}{a}$得：
$a=\frac{b}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}$
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=3$，$c=4$
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
$\because \sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{4}=0.75$
$\therefore ∠A≈\arcsin0.75≈48°35'$
$\therefore ∠B=90°-∠A≈90°-48°35'=41°25'$
【答案】
(1) $∠ B=45°$，$a=b=5\sqrt{2}$
(2) $∠ A=60°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$
(3) $b=\sqrt{7}$，$∠ A≈48°35'$，$∠ B≈41°25'$
【知识点】
直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，考查了直角三角形边角关系的灵活运用，解题时需根据已知条件选择最简便的公式计算，同时要注意特殊角的三角函数值的记忆以及非特殊角的精度换算要求。
【难度系数】
0.75
解直角三角形的核心是利用直角三角形的三类关系求解未知元素：①角的关系：两锐角互余；②边的关系：勾股定理；③边角关系：锐角三角函数（正弦、余弦、正切）。解题时根据已知条件灵活选择公式：
(1) 已知直角和一个锐角，先利用两锐角互余求另一个锐角，再结合三角函数求两条直角边；
(2) 已知直角、一个锐角和一条直角边，先求剩余锐角，再利用30°角的性质或三角函数求斜边、另一条直角边；
(3) 已知两条边，先利用勾股定理求第三边，再通过三角函数求锐角，最后利用两锐角互余求另一个锐角，注意角度精确到1'的要求。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$，即$△ ABC$为等腰直角三角形，$a=b$
由$\sin A=\frac{a}{c}$得：
$a=c· \sin45°=10× \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$
$\therefore b=a=5\sqrt{2}$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$
$\therefore ∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$
由$\sin B=\frac{b}{c}$得：
$c=\frac{b}{\sin30°}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$
由$\tan B=\frac{b}{a}$得：
$a=\frac{b}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}$
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=3$，$c=4$
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
$\because \sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{4}=0.75$
$\therefore ∠A≈\arcsin0.75≈48°35'$
$\therefore ∠B=90°-∠A≈90°-48°35'=41°25'$
【答案】
(1) $∠ B=45°$，$a=b=5\sqrt{2}$
(2) $∠ A=60°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$
(3) $b=\sqrt{7}$，$∠ A≈48°35'$，$∠ B≈41°25'$
【知识点】
直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，考查了直角三角形边角关系的灵活运用，解题时需根据已知条件选择最简便的公式计算，同时要注意特殊角的三角函数值的记忆以及非特殊角的精度换算要求。
【难度系数】
0.75
