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5. 在$△ ABC$中，$BC=\sqrt{3}+1$，$∠ B=45°$，$∠ C=30°$，那么$△ ABC$的面积为
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
。答案
5. $\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$.
解析
【分析】
本题已知三角形的两个内角和一条边，要求面积，可通过作BC边上的高，将斜三角形分割为两个含特殊角的直角三角形；设高为未知数，利用特殊角的三角函数值表示出BC被高分成的两段线段的长度，结合已知BC的长度列方程求出高，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设AD=x。
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴ BD=AD=x（等腰直角三角形两直角边相等）。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∵ tanC=AD/DC，即$\tan30°=\frac{x}{DC}$，
∴ $DC = \frac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x$。
∵ $BC = BD + DC = \sqrt{3} + 1$，
∴ $x + \sqrt{3}x = \sqrt{3} + 1$，
解得$x=1$，即$AD=1$。
∴ △ABC的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1) × 1 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形面积计算
【点评】
本题核心考查斜三角形转化为直角三角形的辅助线构造方法，利用特殊角的三角函数值建立边长等量关系是解题的关键，能有效考查学生对解直角三角形知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题已知三角形的两个内角和一条边，要求面积，可通过作BC边上的高，将斜三角形分割为两个含特殊角的直角三角形；设高为未知数，利用特殊角的三角函数值表示出BC被高分成的两段线段的长度，结合已知BC的长度列方程求出高，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设AD=x。
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴ BD=AD=x（等腰直角三角形两直角边相等）。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∵ tanC=AD/DC，即$\tan30°=\frac{x}{DC}$，
∴ $DC = \frac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x$。
∵ $BC = BD + DC = \sqrt{3} + 1$，
∴ $x + \sqrt{3}x = \sqrt{3} + 1$，
解得$x=1$，即$AD=1$。
∴ △ABC的面积$S = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1) × 1 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形面积计算
【点评】
本题核心考查斜三角形转化为直角三角形的辅助线构造方法，利用特殊角的三角函数值建立边长等量关系是解题的关键，能有效考查学生对解直角三角形知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$a=20$，$c=30$，那么$S_{△ ABC}=$
150
.答案
6. 150.
解析
【分析】
要求三角形的面积，首先观察已知条件：题目给出了三角形的两条边a、c的长度，以及这两条边的夹角∠B的度数，符合“两边及夹角求三角形面积”的公式适用条件。解题时先回忆对应面积公式，再代入已知数值、结合特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
根据两边及夹角的三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$
将$a=20$，$c=30$，$∠ B=30°$，$\sin30°=\frac{1}{2}$代入公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20×30×\sin30°$
$=\frac{1}{2}×20×30×\frac{1}{2}$
$=150$
【答案】
150
【知识点】
三角形面积公式；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解三角形的基础题型，核心考查两边及夹角型三角形面积公式的应用，以及常见特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要求三角形的面积，首先观察已知条件：题目给出了三角形的两条边a、c的长度，以及这两条边的夹角∠B的度数，符合“两边及夹角求三角形面积”的公式适用条件。解题时先回忆对应面积公式，再代入已知数值、结合特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
根据两边及夹角的三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$
将$a=20$，$c=30$，$∠ B=30°$，$\sin30°=\frac{1}{2}$代入公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20×30×\sin30°$
$=\frac{1}{2}×20×30×\frac{1}{2}$
$=150$
【答案】
150
【知识点】
三角形面积公式；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解三角形的基础题型，核心考查两边及夹角型三角形面积公式的应用，以及常见特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
7. 在平面直角坐标系中，已知点 P 在第二象限内，且 $ OP = 5 $，OP 与 x 轴负半轴的夹角的余弦值是$\frac{3}{5}$，那么点 P 的坐标是
$(-3,4)$
。答案
7. $(-3,4)$.
解析
【分析】
要求点P的坐标，需先明确它的横、纵坐标的绝对值和符号：首先点P在第二象限，可确定横坐标为负、纵坐标为正；再结合OP的长度和夹角余弦值，过点P向x轴作垂线构造直角三角形，利用余弦定义（邻边比斜边）求出横坐标的绝对值，再用勾股定理求出纵坐标的绝对值，最后结合象限符号就能得到点P的坐标。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，则$△ OPA$为直角三角形，$∠ PAO=90°$。
已知OP与x轴负半轴的夹角为$∠ POA$，根据余弦的定义：
$\cos∠ POA=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{5}$，且$OP=5$，
$\therefore OA=OP × \frac{3}{5}=5×\frac{3}{5}=3$。
在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
$\because$点P在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$点P的坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
余弦的定义；象限点的坐标特征；勾股定理
【点评】
本题是三角函数与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是构造直角三角形利用三角函数求边长，需要特别注意结合点所在的象限确定坐标的正负，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要求点P的坐标，需先明确它的横、纵坐标的绝对值和符号：首先点P在第二象限，可确定横坐标为负、纵坐标为正；再结合OP的长度和夹角余弦值，过点P向x轴作垂线构造直角三角形，利用余弦定义（邻边比斜边）求出横坐标的绝对值，再用勾股定理求出纵坐标的绝对值，最后结合象限符号就能得到点P的坐标。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，则$△ OPA$为直角三角形，$∠ PAO=90°$。
已知OP与x轴负半轴的夹角为$∠ POA$，根据余弦的定义：
$\cos∠ POA=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{5}$，且$OP=5$，
$\therefore OA=OP × \frac{3}{5}=5×\frac{3}{5}=3$。
在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
$\because$点P在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$点P的坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
余弦的定义；象限点的坐标特征；勾股定理
【点评】
本题是三角函数与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是构造直角三角形利用三角函数求边长，需要特别注意结合点所在的象限确定坐标的正负，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
8. 在平面直角坐标系中，已知点P在第一象限内，且OP=m，OP与x轴正半轴的夹角为α，那么点P的坐标是
$(m\cos α,m\sin α)$
。答案
8. $(m\cos α,m\sin α)$.
解析
【分析】
要求平面直角坐标系中点P的坐标，需先明确点的横坐标为点到y轴的距离，纵坐标为点到x轴的距离，且第一象限内点的横、纵坐标均为正数。我们可以过点P向x轴作垂线，构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义分别求出横、纵坐标对应的线段长度，即可得到点P的坐标。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，则$△ OPA$为直角三角形，$∠ OAP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，$∠ POA=α$，斜边$OP=m$：
根据余弦的定义，$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OA}{OP}$，因此$OA=OP·\cosα=m\cosα$，即点P的横坐标为$m\cosα$；
根据正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}$，因此$PA=OP·\sinα=m\sinα$，即点P的纵坐标为$m\sinα$。
又因为点P在第一象限，横、纵坐标均为正，所以点P的坐标为$(m\cosα,m\sinα)$。
【答案】
$(m\cos α,m\sin α)$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是解直角三角形在平面直角坐标系中的基础应用，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数定义求出对应线段长度，解题时要注意结合点所在象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.8
要求平面直角坐标系中点P的坐标，需先明确点的横坐标为点到y轴的距离，纵坐标为点到x轴的距离，且第一象限内点的横、纵坐标均为正数。我们可以过点P向x轴作垂线，构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义分别求出横、纵坐标对应的线段长度，即可得到点P的坐标。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，则$△ OPA$为直角三角形，$∠ OAP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，$∠ POA=α$，斜边$OP=m$：
根据余弦的定义，$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OA}{OP}$，因此$OA=OP·\cosα=m\cosα$，即点P的横坐标为$m\cosα$；
根据正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}$，因此$PA=OP·\sinα=m\sinα$，即点P的纵坐标为$m\sinα$。
又因为点P在第一象限，横、纵坐标均为正，所以点P的坐标为$(m\cosα,m\sinα)$。
【答案】
$(m\cos α,m\sin α)$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是解直角三角形在平面直角坐标系中的基础应用，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数定义求出对应线段长度，解题时要注意结合点所在象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.8
9. 如图，每个小正方形的边长均相等，如果点A、B、C均在格点上，那么sin B的值为
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
。答案
9. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
要求$\sin B$的值，首先明确锐角正弦的定义是直角三角形中该角的对边与斜边的比值，因此我们可以先通过设小正方形边长为1，用勾股定理计算$△ ABC$三边的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角位置后，即可根据正弦的定义计算$\sin B$的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 由勾股定理计算各边长度：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 验证三角形形状：
$\because AC^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$AB^2=5^2=25$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 根据锐角正弦的定义，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是格点背景下的锐角三角函数计算问题，解题的核心是先通过勾股定理及逆定理确定直角三角形，再结合三角函数定义求解，需要熟练掌握相关基础概念，避免直接在非直角三角形中套用三角函数定义出错。
【难度系数】
0.7
要求$\sin B$的值，首先明确锐角正弦的定义是直角三角形中该角的对边与斜边的比值，因此我们可以先通过设小正方形边长为1，用勾股定理计算$△ ABC$三边的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定直角位置后，即可根据正弦的定义计算$\sin B$的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 由勾股定理计算各边长度：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 验证三角形形状：
$\because AC^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$AB^2=5^2=25$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 根据锐角正弦的定义，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是格点背景下的锐角三角函数计算问题，解题的核心是先通过勾股定理及逆定理确定直角三角形，再结合三角函数定义求解，需要熟练掌握相关基础概念，避免直接在非直角三角形中套用三角函数定义出错。
【难度系数】
0.7
10 如果一个三角形中有两个内角α、β满足$2α+β=90°$，那么我们称这个三角形为特征三角形。如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$为钝角，$AB=25$，$\tan A=\dfrac{4}{3}$，如果$△ ABC$是特征三角形，那么线段$AC$的长为________。
答案
10. $\dfrac{25}{3}$. 提示：由于 $\tan A=\frac{4}{3}$，因此$∠ A＞45°$. 所以，$2∠ ABC+∠ A=90°$. 如图，过点 B 作 $BD⊥ AC$，交 AC 的延长线于点 D，故$∠ CBD=∠ ABC$. 过点 C 作 $CE⊥ AB$，垂足为 E，则 $CE=CD$. 由$\tan A=\frac{4}{3}$，$AB=25$，得 $BD=20$，$AD=15$. 设 $CD=x$，则 $CE=x$，$AC=15-x$，$AE=\frac{3}{4}x$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中，$(\frac{3}{4}x)^2+x^2=(15-x)^2$，解得 $x=\frac{20}{3}$或 $x=-60$(舍去). 所以，$AC=15-\frac{20}{3}=\frac{25}{3}$.
解析
【分析】
首先理解“特征三角形”的定义：三角形中存在两个内角α、β满足$2α+β=90°$。第一步先判断△ABC中α、β对应的角：由$\tan A=\frac{4}{3}＞1$，可得$∠A＞45°$，因此$2∠A＞90°$，故α不可能是∠A，只能满足$2∠ABC + ∠A=90°$。第二步构造辅助线：过点B作$BD⊥AC$交AC延长线于D，可得Rt△ABD中$∠A+∠ABD=90°$，对比特征三角形的角的关系，可推出$∠ABC=∠CBD$，即BC是∠ABD的角平分线；再根据角平分线的性质，过C作$CE⊥AB$于E，可得$CE=CD$。第三步利用解直角三角形先求Rt△ABD的边长，再设未知数列勾股方程求解AC的长度。
【解析】
1. 确定角的对应关系：
∵$\tan A=\frac{4}{3}＞1$，
∴$∠A＞45°$，则$2∠A＞90°$，结合特征三角形的定义可知，该三角形满足$2∠ABC + ∠A=90°$。
2. 作辅助线推导线段关系：
过点B作$BD⊥AC$，交AC的延长线于点D，在Rt△ABD中，$∠A + ∠ABD=90°$，
又
∵$2∠ABC + ∠A=90°$，
∴$∠ABD=2∠ABC$，即BC平分$∠ABD$。
过点C作$CE⊥AB$，垂足为E，根据角平分线的性质，得$CE=CD$。
3. 解Rt△ABD：
∵$\tan A=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{3}$，设$BD=4k$，$AD=3k$，由勾股定理得$AB=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
已知$AB=25$，
∴$5k=25$，解得$k=5$，因此$BD=4×5=20$，$AD=3×5=15$。
4. 列方程求解：
设$CD=x$，则$CE=x$，$AC=AD - CD=15 - x$。
在Rt△ACE中，$\tan A=\frac{CE}{AE}=\frac{4}{3}$，
∴$AE=\frac{3}{4}CE=\frac{3x}{4}$。
由勾股定理得$AE^2 + CE^2 = AC^2$，即$(\frac{3x}{4})^2 + x^2 = (15 - x)^2$，
整理求解得$x=\frac{20}{3}$（$x=-60$不符合线段长度要求，舍去）。
因此$AC=15 - \frac{20}{3}=\frac{25}{3}$。
【答案】
$\dfrac{25}{3}$
【知识点】
新定义理解、角平分线的性质、解直角三角形
【点评】
本题结合新定义考查几何计算，解题的关键是先结合三角函数值判断特征三角形内角的对应关系，再通过作辅助线利用角平分线性质转化相等线段，最后结合解直角三角形和勾股定理列方程求解，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先理解“特征三角形”的定义：三角形中存在两个内角α、β满足$2α+β=90°$。第一步先判断△ABC中α、β对应的角：由$\tan A=\frac{4}{3}＞1$，可得$∠A＞45°$，因此$2∠A＞90°$，故α不可能是∠A，只能满足$2∠ABC + ∠A=90°$。第二步构造辅助线：过点B作$BD⊥AC$交AC延长线于D，可得Rt△ABD中$∠A+∠ABD=90°$，对比特征三角形的角的关系，可推出$∠ABC=∠CBD$，即BC是∠ABD的角平分线；再根据角平分线的性质，过C作$CE⊥AB$于E，可得$CE=CD$。第三步利用解直角三角形先求Rt△ABD的边长，再设未知数列勾股方程求解AC的长度。
【解析】
1. 确定角的对应关系：
∵$\tan A=\frac{4}{3}＞1$，
∴$∠A＞45°$，则$2∠A＞90°$，结合特征三角形的定义可知，该三角形满足$2∠ABC + ∠A=90°$。
2. 作辅助线推导线段关系：
过点B作$BD⊥AC$，交AC的延长线于点D，在Rt△ABD中，$∠A + ∠ABD=90°$，
又
∵$2∠ABC + ∠A=90°$，
∴$∠ABD=2∠ABC$，即BC平分$∠ABD$。
过点C作$CE⊥AB$，垂足为E，根据角平分线的性质，得$CE=CD$。
3. 解Rt△ABD：
∵$\tan A=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{3}$，设$BD=4k$，$AD=3k$，由勾股定理得$AB=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
已知$AB=25$，
∴$5k=25$，解得$k=5$，因此$BD=4×5=20$，$AD=3×5=15$。
4. 列方程求解：
设$CD=x$，则$CE=x$，$AC=AD - CD=15 - x$。
在Rt△ACE中，$\tan A=\frac{CE}{AE}=\frac{4}{3}$，
∴$AE=\frac{3}{4}CE=\frac{3x}{4}$。
由勾股定理得$AE^2 + CE^2 = AC^2$，即$(\frac{3x}{4})^2 + x^2 = (15 - x)^2$，
整理求解得$x=\frac{20}{3}$（$x=-60$不符合线段长度要求，舍去）。
因此$AC=15 - \frac{20}{3}=\frac{25}{3}$。
【答案】
$\dfrac{25}{3}$
【知识点】
新定义理解、角平分线的性质、解直角三角形
【点评】
本题结合新定义考查几何计算，解题的关键是先结合三角函数值判断特征三角形内角的对应关系，再通过作辅助线利用角平分线性质转化相等线段，最后结合解直角三角形和勾股定理列方程求解，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
三、解答题
11. 在$△ ABC$中，已知$∠ A$是钝角，$AD$为边$BC$上的高，$BC=d$，$∠ B=α$，$∠ C=β$. 求$AD$的长.
11. 在$△ ABC$中，已知$∠ A$是钝角，$AD$为边$BC$上的高，$BC=d$，$∠ B=α$，$∠ C=β$. 求$AD$的长.
答案
11. $\dfrac{d\tan α \tan β}{\tan α +\tan β}$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AD是BC边上的高，可将△ABC分成两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。我们需要求公共高AD，可先在两个直角三角形中利用正切的定义，分别用AD表示出BD和CD的长度，再结合BD+CD=BC=d的等量关系，建立关于AD的方程，通过代数变形求解即可得到AD的长。
【解析】
设AD的长为$h$。
$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$\tanα=\frac{AD}{BD}$，变形可得$BD=\frac{AD}{\tanα}=\frac{h}{\tanα}$。
在$Rt△ ACD$中，$\tanβ=\frac{AD}{CD}$，变形可得$CD=\frac{AD}{\tanβ}=\frac{h}{\tanβ}$。
$\because BC=BD+CD=d$，代入BD、CD的表达式得：
$\frac{h}{\tanα}+\frac{h}{\tanβ}=d$
提取公因式$h$，对左边通分：
$h·(\frac{\tanβ+\tanα}{\tanα\tanβ})=d$
整理求解$h$：
$h=\frac{d\tanα\tanβ}{\tanα+\tanβ}$
即$AD=\frac{d\tanα\tanβ}{\tanα+\tanβ}$。
【答案】
$\dfrac{d\tan α \tan β}{\tan α +\tan β}$
【知识点】
正切的定义，解直角三角形，代数式变形
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，解题核心是利用公共高作为衔接两个直角三角形的中间量，结合线段和的等量关系建立方程求解，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和基本的代数化简技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，AD是BC边上的高，可将△ABC分成两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。我们需要求公共高AD，可先在两个直角三角形中利用正切的定义，分别用AD表示出BD和CD的长度，再结合BD+CD=BC=d的等量关系，建立关于AD的方程，通过代数变形求解即可得到AD的长。
【解析】
设AD的长为$h$。
$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$\tanα=\frac{AD}{BD}$，变形可得$BD=\frac{AD}{\tanα}=\frac{h}{\tanα}$。
在$Rt△ ACD$中，$\tanβ=\frac{AD}{CD}$，变形可得$CD=\frac{AD}{\tanβ}=\frac{h}{\tanβ}$。
$\because BC=BD+CD=d$，代入BD、CD的表达式得：
$\frac{h}{\tanα}+\frac{h}{\tanβ}=d$
提取公因式$h$，对左边通分：
$h·(\frac{\tanβ+\tanα}{\tanα\tanβ})=d$
整理求解$h$：
$h=\frac{d\tanα\tanβ}{\tanα+\tanβ}$
即$AD=\frac{d\tanα\tanβ}{\tanα+\tanβ}$。
【答案】
$\dfrac{d\tan α \tan β}{\tan α +\tan β}$
【知识点】
正切的定义，解直角三角形，代数式变形
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，解题核心是利用公共高作为衔接两个直角三角形的中间量，结合线段和的等量关系建立方程求解，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和基本的代数化简技巧。
【难度系数】
0.7
