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12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=15°$，$∠ C=45°$，$AC=2\sqrt{3}-2$，求$AB$、$BC$的值。
答案
12. $AB=4$，$BC=2\sqrt{6}$. 提示：过点 B 作 $BH⊥ AC$，交 CA 的延长线于点 H，则$△ BCH$为等腰直角三角形，$∠ HAB=60°$. 设 $AH=x$，则 $BH=\sqrt{3}x$. 由 $BH=CH$，得$\sqrt{3}x=2\sqrt{3}-2+x$，解得 $x=2$. 所以，$AH=2$，$AB=4$，$CH=2\sqrt{3}$，$BC=2\sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题为斜三角形的边长求解问题，没有现成直角，需先通过作高构造直角三角形，将待求边转化到直角三角形中用三角函数表示。首先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，得到其补角∠HAB的度数，作高后形成的△BCH为等腰直角三角形，可得到BH=CH的等量关系，设未知数列方程即可逐步求出各边长度。
【解析】
解：过点B作$BH⊥AC$，交CA的延长线于点H。
1. 求相关角度：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-15°-45°=120°$，
$\therefore ∠ HAB=180°-∠ BAC=60°$。
在$Rt△ BCH$中，$∠ C=45°$，$\therefore △ BCH$是等腰直角三角形，即$BH=CH$。
2. 设未知数列方程求解：
设$AH=x$，在$Rt△ ABH$中，$∠ HAB=60°$，
$\therefore BH=AH·\tan60°=\sqrt{3}x$。
又$\because CH=AC+AH=(2\sqrt{3}-2)+x$，且$BH=CH$，
$\therefore \sqrt{3}x=2\sqrt{3}-2+x$，
整理得$(\sqrt{3}-1)x=2(\sqrt{3}-1)$，解得$x=2$。
3. 计算$AB$、$BC$的长度：
在$Rt△ ABH$中，$AB=\frac{AH}{\cos60°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$；
$BH=\sqrt{3}x=2\sqrt{3}$，在等腰$Rt△ BCH$中，$BC=\frac{BH}{\sin45°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$AB=4$，$BC=2\sqrt{6}$
【知识点】
解直角三角形，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是将斜三角形转化为直角三角形求解，合理构造辅助线、找到直角三角形中线段的等量关系列方程是解题关键，是解斜三角形的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题为斜三角形的边长求解问题，没有现成直角，需先通过作高构造直角三角形，将待求边转化到直角三角形中用三角函数表示。首先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，得到其补角∠HAB的度数，作高后形成的△BCH为等腰直角三角形，可得到BH=CH的等量关系，设未知数列方程即可逐步求出各边长度。
【解析】
解：过点B作$BH⊥AC$，交CA的延长线于点H。
1. 求相关角度：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-15°-45°=120°$，
$\therefore ∠ HAB=180°-∠ BAC=60°$。
在$Rt△ BCH$中，$∠ C=45°$，$\therefore △ BCH$是等腰直角三角形，即$BH=CH$。
2. 设未知数列方程求解：
设$AH=x$，在$Rt△ ABH$中，$∠ HAB=60°$，
$\therefore BH=AH·\tan60°=\sqrt{3}x$。
又$\because CH=AC+AH=(2\sqrt{3}-2)+x$，且$BH=CH$，
$\therefore \sqrt{3}x=2\sqrt{3}-2+x$，
整理得$(\sqrt{3}-1)x=2(\sqrt{3}-1)$，解得$x=2$。
3. 计算$AB$、$BC$的长度：
在$Rt△ ABH$中，$AB=\frac{AH}{\cos60°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$；
$BH=\sqrt{3}x=2\sqrt{3}$，在等腰$Rt△ BCH$中，$BC=\frac{BH}{\sin45°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$AB=4$，$BC=2\sqrt{6}$
【知识点】
解直角三角形，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是将斜三角形转化为直角三角形求解，合理构造辅助线、找到直角三角形中线段的等量关系列方程是解题关键，是解斜三角形的典型题型。
【难度系数】
0.6
13. 当$α$、$β$为任意角时，$\sin (α+β)$与$\sin (α-β)$的值可以用以下公式求得：
$\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β$；
$\sin (α-β)=\sin α\cos β-\cos α\sin β$。
例如，$\sin 75°=\sin (45°+30°)=\sin 45° · \cos 30°+\cos 45° · \sin 30°=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
（1）计算$\sin 15°$的值。
（2）在$△ ABC$中，已知$∠ B=30°$，$∠ C=135°$，$BC=2$。求$AC$的长。
$\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β$；
$\sin (α-β)=\sin α\cos β-\cos α\sin β$。
例如，$\sin 75°=\sin (45°+30°)=\sin 45° · \cos 30°+\cos 45° · \sin 30°=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
（1）计算$\sin 15°$的值。
（2）在$△ ABC$中，已知$∠ B=30°$，$∠ C=135°$，$BC=2$。求$AC$的长。
答案
13. (1) $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. 提示：$\sin 15°=\sin(45°-30°)$.
(2) $\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 提示：过点 C 作 $CH⊥ AB$，垂足为 H. $CH=BC·\sin30°=1$，$AC=\dfrac{CH}{\sin15°}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
(2) $\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 提示：过点 C 作 $CH⊥ AB$，垂足为 H. $CH=BC·\sin30°=1$，$AC=\dfrac{CH}{\sin15°}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）题目给出了正弦的差角公式，要求$\sin15°$，我们可以将$15°$拆分为两个特殊角$45°$与$30°$的差，直接套用$\sin(α-β)$的公式，代入特殊角的三角函数值计算即可。
（2）要求$AC$的长，已知$△ ABC$是斜三角形，我们可以通过作高将其转化为直角三角形求解：过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$，先在$Rt△ BCH$中利用$∠ B$的三角函数求出$CH$的长度；再根据三角形内角和求出$∠ A$的度数为$15°$，最后在$Rt△ ACH$中利用$∠ A$的正弦值，结合第一问求出的$\sin15°$，即可求出$AC$的长。
【解析】
（1）根据题意，将$15°$表示为$45°-30°$，代入正弦差角公式：
$\sin15°=\sin(45°-30°)=\sin45°\cos30°-\cos45°\sin30°$
代入特殊角三角函数值：$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$
则$\sin15°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
（2）过点$C$作$CH⊥ AB$，垂足为$H$，得到两个直角三角形：
①在$Rt△ BCH$中，$∠ B=30°$，$BC=2$，
由$\sin B=\frac{CH}{BC}$，得$CH=BC·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$
②根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-135°=15°$
在$Rt△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$\sin A=\frac{CH}{AC}$
因此$AC=\frac{CH}{\sin A}$，将$CH=1$、$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$代入：
$AC=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【答案】
（1）$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；（2）$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形，新公式应用
【点评】
本题第一问考查对新给出运算公式的理解运用，需要灵活将非特殊角拆分为已知三角函数值的特殊角的和或差计算；第二问考查斜三角形的求解方法，通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，同时需要用到前一问的结论，体现了知识的连贯性和迁移运用要求。
【难度系数】
0.7
（1）题目给出了正弦的差角公式，要求$\sin15°$，我们可以将$15°$拆分为两个特殊角$45°$与$30°$的差，直接套用$\sin(α-β)$的公式，代入特殊角的三角函数值计算即可。
（2）要求$AC$的长，已知$△ ABC$是斜三角形，我们可以通过作高将其转化为直角三角形求解：过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$，先在$Rt△ BCH$中利用$∠ B$的三角函数求出$CH$的长度；再根据三角形内角和求出$∠ A$的度数为$15°$，最后在$Rt△ ACH$中利用$∠ A$的正弦值，结合第一问求出的$\sin15°$，即可求出$AC$的长。
【解析】
（1）根据题意，将$15°$表示为$45°-30°$，代入正弦差角公式：
$\sin15°=\sin(45°-30°)=\sin45°\cos30°-\cos45°\sin30°$
代入特殊角三角函数值：$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$
则$\sin15°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
（2）过点$C$作$CH⊥ AB$，垂足为$H$，得到两个直角三角形：
①在$Rt△ BCH$中，$∠ B=30°$，$BC=2$，
由$\sin B=\frac{CH}{BC}$，得$CH=BC·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$
②根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-135°=15°$
在$Rt△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$\sin A=\frac{CH}{AC}$
因此$AC=\frac{CH}{\sin A}$，将$CH=1$、$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$代入：
$AC=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【答案】
（1）$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；（2）$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形，新公式应用
【点评】
本题第一问考查对新给出运算公式的理解运用，需要灵活将非特殊角拆分为已知三角函数值的特殊角的和或差计算；第二问考查斜三角形的求解方法，通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，同时需要用到前一问的结论，体现了知识的连贯性和迁移运用要求。
【难度系数】
0.7
