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14 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=5$，$\tan∠ ABC=\dfrac{3}{4}$。
（1）求$\tan∠ ACB$的值。
（2）① 在图中的AB上求作一点D，使点D到B、C两点的距离相等。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
② 如果M是BC上的一点，且$∠ DMC=∠ ACB$，求BM的长。
（1）求$\tan∠ ACB$的值。
（2）① 在图中的AB上求作一点D，使点D到B、C两点的距离相等。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
② 如果M是BC上的一点，且$∠ DMC=∠ ACB$，求BM的长。
答案
14. (1) 3. 提示：过点 A 作 $AH⊥ BC$，垂足为 H，则 $AH=3$，$BH=4$，故 $HC=1$，$\tan∠ ACB=\frac{3}{1}=3$.
(2) ① 略. 提示：作线段 BC 的垂直平分线，与 AB 的交点即为点 D.
② $\dfrac{15}{8}$. 提示：记线段 BC 的垂直平分线交 AB 于点 D、交 BC 于点 F，即 $BF=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$. 由 $\tan∠ ABC=\frac{3}{4}$，得 $DF=\frac{3}{4}BF=\frac{15}{8}$. 已知$∠ DMC=∠ ACB$，由(1)，得 $\tan∠ DMC=\tan∠ ACB=3$，于是 $MF=\frac{1}{3}DF=\frac{5}{8}$，所以 $BM=BF-MF=\frac{15}{8}$.
(2) ① 略. 提示：作线段 BC 的垂直平分线，与 AB 的交点即为点 D.
② $\dfrac{15}{8}$. 提示：记线段 BC 的垂直平分线交 AB 于点 D、交 BC 于点 F，即 $BF=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$. 由 $\tan∠ ABC=\frac{3}{4}$，得 $DF=\frac{3}{4}BF=\frac{15}{8}$. 已知$∠ DMC=∠ ACB$，由(1)，得 $\tan∠ DMC=\tan∠ ACB=3$，于是 $MF=\frac{1}{3}DF=\frac{5}{8}$，所以 $BM=BF-MF=\frac{15}{8}$.
解析
【分析】
（1）要求$\tan∠ACB$的值，根据正切的定义，需要将$∠ACB$放在直角三角形中计算，因此过点$A$作$AH⊥BC$构造直角三角形。先利用$\tan∠ABC=\frac{3}{4}$和$AB=5$，结合勾股定理求出$AH$、$BH$的长度，再根据$BC=5$求出$HC$的长度，最终即可算出$\tan∠ACB$。
（2）① 到点$B$、$C$距离相等的点在线段$BC$的垂直平分线上，因此作$BC$的垂直平分线，与$AB$的交点即为所求点$D$。
② 设$BC$的垂直平分线交$BC$于点$F$，可得$F$是$BC$中点，且$DF⊥BC$。先在$Rt△BDF$中利用$\tan∠ABC$求出$DF$的长度，再根据$∠DMC=∠ACB$得到二者正切值相等，在$Rt△DFM$中求出$MF$的长度，最后用$BF$减去$MF$即可得到$BM$的长度。
【解析】
（1）过点$A$作$AH⊥BC$，垂足为$H$。
在$Rt△ABH$中，$\tan∠ABC=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}$，设$AH=3k$，$BH=4k$（$k＞0$）。
由勾股定理得$AB^2=AH^2+BH^2$，代入$AB=5$得：
$5^2=(3k)^2+(4k)^2$，即$25=25k^2$，解得$k=1$。
因此$AH=3$，$BH=4$。
$\because BC=5$，$\therefore HC=BC-BH=5-4=1$。
在$Rt△ACH$中，$\tan∠ACB=\frac{AH}{HC}=\frac{3}{1}=3$。
（2）① 作图：分别以$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，该直线与$AB$的交点即为点$D$，保留作图痕迹即可。
② 设线段$BC$的垂直平分线交$BC$于点$F$，由垂直平分线的性质得：$DF⊥BC$，$BF=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
在$Rt△BDF$中，$\tan∠ABC=\frac{DF}{BF}=\frac{3}{4}$，代入$BF=\frac{5}{2}$得：
$DF=\frac{3}{4}×BF=\frac{3}{4}×\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$。
$\because ∠DMC=∠ACB$，$\therefore \tan∠DMC=\tan∠ACB=3$。
在$Rt△DFM$中，$\tan∠DMC=\frac{DF}{MF}=3$，因此：
$MF=\frac{DF}{3}=\frac{15}{8}÷3=\frac{5}{8}$。
$\therefore BM=BF-MF=\frac{5}{2}-\frac{5}{8}=\frac{15}{8}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) ① 作图略（作$BC$的垂直平分线，与$AB$的交点即为$D$）；② $\boxed{\dfrac{15}{8}}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 线段垂直平分线的性质
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了基础作图能力和解直角三角形的应用，解题核心是合理构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义和垂直平分线的性质逐步推导，对基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要求$\tan∠ACB$的值，根据正切的定义，需要将$∠ACB$放在直角三角形中计算，因此过点$A$作$AH⊥BC$构造直角三角形。先利用$\tan∠ABC=\frac{3}{4}$和$AB=5$，结合勾股定理求出$AH$、$BH$的长度，再根据$BC=5$求出$HC$的长度，最终即可算出$\tan∠ACB$。
（2）① 到点$B$、$C$距离相等的点在线段$BC$的垂直平分线上，因此作$BC$的垂直平分线，与$AB$的交点即为所求点$D$。
② 设$BC$的垂直平分线交$BC$于点$F$，可得$F$是$BC$中点，且$DF⊥BC$。先在$Rt△BDF$中利用$\tan∠ABC$求出$DF$的长度，再根据$∠DMC=∠ACB$得到二者正切值相等，在$Rt△DFM$中求出$MF$的长度，最后用$BF$减去$MF$即可得到$BM$的长度。
【解析】
（1）过点$A$作$AH⊥BC$，垂足为$H$。
在$Rt△ABH$中，$\tan∠ABC=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}$，设$AH=3k$，$BH=4k$（$k＞0$）。
由勾股定理得$AB^2=AH^2+BH^2$，代入$AB=5$得：
$5^2=(3k)^2+(4k)^2$，即$25=25k^2$，解得$k=1$。
因此$AH=3$，$BH=4$。
$\because BC=5$，$\therefore HC=BC-BH=5-4=1$。
在$Rt△ACH$中，$\tan∠ACB=\frac{AH}{HC}=\frac{3}{1}=3$。
（2）① 作图：分别以$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，该直线与$AB$的交点即为点$D$，保留作图痕迹即可。
② 设线段$BC$的垂直平分线交$BC$于点$F$，由垂直平分线的性质得：$DF⊥BC$，$BF=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
在$Rt△BDF$中，$\tan∠ABC=\frac{DF}{BF}=\frac{3}{4}$，代入$BF=\frac{5}{2}$得：
$DF=\frac{3}{4}×BF=\frac{3}{4}×\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$。
$\because ∠DMC=∠ACB$，$\therefore \tan∠DMC=\tan∠ACB=3$。
在$Rt△DFM$中，$\tan∠DMC=\frac{DF}{MF}=3$，因此：
$MF=\frac{DF}{3}=\frac{15}{8}÷3=\frac{5}{8}$。
$\therefore BM=BF-MF=\frac{5}{2}-\frac{5}{8}=\frac{15}{8}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) ① 作图略（作$BC$的垂直平分线，与$AB$的交点即为$D$）；② $\boxed{\dfrac{15}{8}}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 线段垂直平分线的性质
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了基础作图能力和解直角三角形的应用，解题核心是合理构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义和垂直平分线的性质逐步推导，对基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
