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1. 下列分式中，是最简分式的是（
A.$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
B.$\dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$
C.$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - xy}$
D.$\dfrac{x^2 - 36}{2x + 12}$
A
）A.$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
B.$\dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$
C.$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - xy}$
D.$\dfrac{x^2 - 36}{2x + 12}$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式即为最简分式。解题时需对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再判断二者是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是。
【解析】
首先明确最简分式的判定标准：分式的分子与分母不含公因式。
对各选项逐一分析：
选项A：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$在实数范围内无法分解因式，分子分母无公因式，是最简分式；
选项B：分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，与分子$x+1$存在公因式$x+1$，可约分为$\dfrac{1}{x-1}$，不是最简分式；
选项C：分子$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，分母$x^2-xy=x(x-y)$，二者存在公因式$x-y$，可约分为$\dfrac{x-y}{x}$，不是最简分式；
选项D：分子$x^2-36=(x+6)(x-6)$，分母$2x+12=2(x+6)$，二者存在公因式$x+6$，可约分为$\dfrac{x-6}{2}$，不是最简分式。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的相关知识，解题核心是熟练运用提公因式法、公式法进行因式分解，准确判断分子分母的公因式，属于分式模块的基础常规题。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式即为最简分式。解题时需对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再判断二者是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是。
【解析】
首先明确最简分式的判定标准：分式的分子与分母不含公因式。
对各选项逐一分析：
选项A：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$在实数范围内无法分解因式，分子分母无公因式，是最简分式；
选项B：分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，与分子$x+1$存在公因式$x+1$，可约分为$\dfrac{1}{x-1}$，不是最简分式；
选项C：分子$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，分母$x^2-xy=x(x-y)$，二者存在公因式$x-y$，可约分为$\dfrac{x-y}{x}$，不是最简分式；
选项D：分子$x^2-36=(x+6)(x-6)$，分母$2x+12=2(x+6)$，二者存在公因式$x+6$，可约分为$\dfrac{x-6}{2}$，不是最简分式。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的相关知识，解题核心是熟练运用提公因式法、公式法进行因式分解，准确判断分子分母的公因式，属于分式模块的基础常规题。
【难度系数】
0.8
2. 已知分式$\frac{x+2}{1-3x}$，当$x=$
-2
时，这个分式的值是0；当$x=$$\frac{1}{3}$
时，这个分式无意义。答案
2. 当$x=-2$时，这个分式的值是0；当$x=\frac{1}{3}$时，这个分式无意义。
解析
【分析】
要解决这道题，需要分别明确分式值为0、分式无意义的两个核心条件：①分式值为0时，需同时满足分子等于0，且分母不等于0（否则分式无意义，不存在对应值）；②分式无意义时，只需满足分母等于0即可。我们按照这两个条件分别列方程求解即可。
【解析】
1. 求分式值为0时x的取值：
根据分式值为0的条件，先令分子为0，再验证分母不为0：
令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
将$x=-2$代入分母$1-3x$，得$1-3×(-2)=7≠0$，符合分母不为0的要求，因此$x=-2$时分式值为0。
2. 求分式无意义时x的取值：
根据分式无意义的条件，令分母为0：
令$1-3x=0$，移项得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$，因此$x=\frac{1}{3}$时分式无意义。
【答案】
$-2$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式值为0的条件；分式无意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考察题，解题的易错点是求解分式值为0的情况时，容易忽略分母不能为0的限制条件，只要牢记两个条件同时成立就能正确解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，需要分别明确分式值为0、分式无意义的两个核心条件：①分式值为0时，需同时满足分子等于0，且分母不等于0（否则分式无意义，不存在对应值）；②分式无意义时，只需满足分母等于0即可。我们按照这两个条件分别列方程求解即可。
【解析】
1. 求分式值为0时x的取值：
根据分式值为0的条件，先令分子为0，再验证分母不为0：
令分子$x+2=0$，解得$x=-2$。
将$x=-2$代入分母$1-3x$，得$1-3×(-2)=7≠0$，符合分母不为0的要求，因此$x=-2$时分式值为0。
2. 求分式无意义时x的取值：
根据分式无意义的条件，令分母为0：
令$1-3x=0$，移项得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$，因此$x=\frac{1}{3}$时分式无意义。
【答案】
$-2$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式值为0的条件；分式无意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考察题，解题的易错点是求解分式值为0的情况时，容易忽略分母不能为0的限制条件，只要牢记两个条件同时成立就能正确解题。
【难度系数】
0.85
3. 下列各式从左到右的变形正确的是（
A.$\frac{a^6}{a^3b}=\frac{a^2}{b}$
B.$\frac{a+3c}{a}=3c$
C.$\frac{a-3}{a^2-9}=\frac{1}{a-3}$
D.$\frac{a^2-9}{a^2-6a+9}=\frac{a+3}{a-3}$
D
）A.$\frac{a^6}{a^3b}=\frac{a^2}{b}$
B.$\frac{a+3c}{a}=3c$
C.$\frac{a-3}{a^2-9}=\frac{1}{a-3}$
D.$\frac{a^2-9}{a^2-6a+9}=\frac{a+3}{a-3}$
答案
3.D
解析
【分析】
这道题考查分式变形的正误判断，解题核心依据是分式的基本性质（分式的分子、分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）。解题时需逐个分析选项：先对能因式分解的分子、分母因式分解，再判断约分是否正确，注意不能直接约去分子中单独的项，同时要留意分式有意义的隐含条件（被约去的公因式不能为0）。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，$\frac{a^6}{a^3b}=\frac{a^{6-3}}{b}=\frac{a^3}{b}≠\frac{a^2}{b}$，变形错误。
B选项：分子是和的形式，不能直接约去分子中的单独项$a$，$\frac{a+3c}{a}=\frac{a}{a}+\frac{3c}{a}=1+\frac{3c}{a}≠3c$，变形错误。
C选项：先对分母因式分解，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，则$\frac{a-3}{a^2-9}=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$，约去公因式$a-3$（$a≠3$）后得$\frac{1}{a+3}≠\frac{1}{a-3}$，变形错误。
D选项：分别对分子、分母因式分解：分子$a^2-9=(a+3)(a-3)$，分母$a^2-6a+9=(a-3)^2$，则原式$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a-3)^2}$，约去公因式$a-3$（分式有意义则$a≠3$，公因式不为0）后得$\frac{a+3}{a-3}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是忽略分子为和的形式时不能直接约分，或约分时分母因式分解错误，解题时需先对分子分母因式分解，确认公因式后再按规则约分，同时注意公因式不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式变形的正误判断，解题核心依据是分式的基本性质（分式的分子、分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）。解题时需逐个分析选项：先对能因式分解的分子、分母因式分解，再判断约分是否正确，注意不能直接约去分子中单独的项，同时要留意分式有意义的隐含条件（被约去的公因式不能为0）。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，$\frac{a^6}{a^3b}=\frac{a^{6-3}}{b}=\frac{a^3}{b}≠\frac{a^2}{b}$，变形错误。
B选项：分子是和的形式，不能直接约去分子中的单独项$a$，$\frac{a+3c}{a}=\frac{a}{a}+\frac{3c}{a}=1+\frac{3c}{a}≠3c$，变形错误。
C选项：先对分母因式分解，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，则$\frac{a-3}{a^2-9}=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$，约去公因式$a-3$（$a≠3$）后得$\frac{1}{a+3}≠\frac{1}{a-3}$，变形错误。
D选项：分别对分子、分母因式分解：分子$a^2-9=(a+3)(a-3)$，分母$a^2-6a+9=(a-3)^2$，则原式$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a-3)^2}$，约去公因式$a-3$（分式有意义则$a≠3$，公因式不为0）后得$\frac{a+3}{a-3}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是忽略分子为和的形式时不能直接约分，或约分时分母因式分解错误，解题时需先对分子分母因式分解，确认公因式后再按规则约分，同时注意公因式不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
4.若$x,y$的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是（
A.$\frac{3x+2y}{2y^2}$
B.$\frac{x^2}{2x+y}$
C.$\frac{3x^3}{2xy}$
D.$\frac{3xy}{x^2 - y^2}$
D
）A.$\frac{3x+2y}{2y^2}$
B.$\frac{x^2}{2x+y}$
C.$\frac{3x^3}{2xy}$
D.$\frac{3xy}{x^2 - y^2}$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断x、y均扩大为原来的2倍时分式的值是否不变，解题思路为：将各选项中的x替换为2x、y替换为2y，利用分式的基本性质化简新得到的分式，再与原分式对比，若二者相等则符合要求。
【解析】
我们将所有选项中的x替换为2x，y替换为2y，逐一计算化简：
A. 替换后得：$\frac{3·2x + 2·2y}{2·(2y)^2} = \frac{6x+4y}{2·4y^2} = \frac{2(3x+2y)}{8y^2} = \frac{3x+2y}{4y^2}$，是原分式的$\frac{1}{2}$，值发生变化，不符合要求；
B. 替换后得：$\frac{(2x)^2}{2·2x + 2y} = \frac{4x^2}{4x+2y} = \frac{4x^2}{2(2x+y)} = \frac{2x^2}{2x+y}$，是原分式的2倍，值发生变化，不符合要求；
C. 替换后得：$\frac{3·(2x)^3}{2·2x·2y} = \frac{3·8x^3}{8xy} = \frac{24x^3}{8xy} = \frac{3x^3}{xy}$，是原分式的2倍，值发生变化，不符合要求；
D. 替换后得：$\frac{3·2x·2y}{(2x)^2 - (2y)^2} = \frac{12xy}{4x^2 - 4y^2} = \frac{12xy}{4(x^2 - y^2)} = \frac{3xy}{x^2 - y^2}$，与原分式完全相等，值保持不变，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，核心考查对分式基本性质的理解和运算能力，解题时需注意变量替换后系数、幂次的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
要判断x、y均扩大为原来的2倍时分式的值是否不变，解题思路为：将各选项中的x替换为2x、y替换为2y，利用分式的基本性质化简新得到的分式，再与原分式对比，若二者相等则符合要求。
【解析】
我们将所有选项中的x替换为2x，y替换为2y，逐一计算化简：
A. 替换后得：$\frac{3·2x + 2·2y}{2·(2y)^2} = \frac{6x+4y}{2·4y^2} = \frac{2(3x+2y)}{8y^2} = \frac{3x+2y}{4y^2}$，是原分式的$\frac{1}{2}$，值发生变化，不符合要求；
B. 替换后得：$\frac{(2x)^2}{2·2x + 2y} = \frac{4x^2}{4x+2y} = \frac{4x^2}{2(2x+y)} = \frac{2x^2}{2x+y}$，是原分式的2倍，值发生变化，不符合要求；
C. 替换后得：$\frac{3·(2x)^3}{2·2x·2y} = \frac{3·8x^3}{8xy} = \frac{24x^3}{8xy} = \frac{3x^3}{xy}$，是原分式的2倍，值发生变化，不符合要求；
D. 替换后得：$\frac{3·2x·2y}{(2x)^2 - (2y)^2} = \frac{12xy}{4x^2 - 4y^2} = \frac{12xy}{4(x^2 - y^2)} = \frac{3xy}{x^2 - y^2}$，与原分式完全相等，值保持不变，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，核心考查对分式基本性质的理解和运算能力，解题时需注意变量替换后系数、幂次的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
5. 下列运算正确的是（
A.$\frac{3b}{4a} · \frac{2a}{9b^2} = \frac{b}{6}$
B.$\frac{1}{3ab} ÷ \frac{2b^2}{3a} = \frac{b^3}{2}$
C.$\frac{1}{2a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{3a}$
D.$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{2}{a^2 -1}$
D
）A.$\frac{3b}{4a} · \frac{2a}{9b^2} = \frac{b}{6}$
B.$\frac{1}{3ab} ÷ \frac{2b^2}{3a} = \frac{b^3}{2}$
C.$\frac{1}{2a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{3a}$
D.$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{2}{a^2 -1}$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查分式的四则运算，解题思路为逐一计算每个选项的运算结果，再与选项给出的结果对比，选出运算正确的选项。计算时需分别对应分式的乘法、除法、加法、减法运算法则，注意通分、约分的正确性。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：分式乘法运算，分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母，再约分：
$\frac{3b}{4a} · \frac{2a}{9b^2} = \frac{3b·2a}{4a·9b^2} = \frac{6ab}{36ab^2} = \frac{1}{6b}$，与选项给出的$\frac{b}{6}$不符，A错误。
B选项：分式除法运算，除以一个分式等于乘该分式的倒数，再按乘法法则计算：
$\frac{1}{3ab} ÷ \frac{2b^2}{3a} = \frac{1}{3ab} · \frac{3a}{2b^2} = \frac{3a}{6ab^3} = \frac{1}{2b^3}$，与选项给出的$\frac{b^3}{2}$不符，B错误。
C选项：分式加法运算，异分母分式先通分，再按同分母分式加法法则计算：
$\frac{1}{2a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{2a} + \frac{2}{2a} = \frac{1+2}{2a} = \frac{3}{2a}$，与选项给出的$\frac{2}{3a}$不符，C错误。
D选项：分式减法运算，异分母分式先通分，最简公分母为$(a-1)(a+1)=a^2-1$，再计算：
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)-(a-1)}{a^2-1} = \frac{2}{a^2-1}$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.分式乘除运算
2.分式加减运算
3.分式通分约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式四则运算的法则，计算时要注意通分、约分的准确性，避免出现符号错误或分子分母运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的四则运算，解题思路为逐一计算每个选项的运算结果，再与选项给出的结果对比，选出运算正确的选项。计算时需分别对应分式的乘法、除法、加法、减法运算法则，注意通分、约分的正确性。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：分式乘法运算，分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母，再约分：
$\frac{3b}{4a} · \frac{2a}{9b^2} = \frac{3b·2a}{4a·9b^2} = \frac{6ab}{36ab^2} = \frac{1}{6b}$，与选项给出的$\frac{b}{6}$不符，A错误。
B选项：分式除法运算，除以一个分式等于乘该分式的倒数，再按乘法法则计算：
$\frac{1}{3ab} ÷ \frac{2b^2}{3a} = \frac{1}{3ab} · \frac{3a}{2b^2} = \frac{3a}{6ab^3} = \frac{1}{2b^3}$，与选项给出的$\frac{b^3}{2}$不符，B错误。
C选项：分式加法运算，异分母分式先通分，再按同分母分式加法法则计算：
$\frac{1}{2a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{2a} + \frac{2}{2a} = \frac{1+2}{2a} = \frac{3}{2a}$，与选项给出的$\frac{2}{3a}$不符，C错误。
D选项：分式减法运算，异分母分式先通分，最简公分母为$(a-1)(a+1)=a^2-1$，再计算：
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)-(a-1)}{a^2-1} = \frac{2}{a^2-1}$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.分式乘除运算
2.分式加减运算
3.分式通分约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式四则运算的法则，计算时要注意通分、约分的准确性，避免出现符号错误或分子分母运算错误。
【难度系数】
0.7
6. 化简：
(1)$\frac{x-2}{x+2} · (1 + \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4});$
(2)$(x+3 - \frac{8x+9}{x+3}) ÷ \frac{x^2 -4x +4}{-x -3}.$
(1)$\frac{x-2}{x+2} · (1 + \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4});$
(2)$(x+3 - \frac{8x+9}{x+3}) ÷ \frac{x^2 -4x +4}{-x -3}.$
答案
6.解:(1)原式$=\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-2}{x+2}·\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{x+2}+1=\frac{2x}{x+2}.$
(2)原式$=(\frac{x^2 +6x +9}{x+3}-\frac{8x+9}{x+3})÷\frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
$=\frac{x^2 -2x}{x+3}÷\frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
$=\frac{x(x-2)}{x+3}·\frac{-(x+3)}{(x-2)^2}=-\frac{x}{x-2}.$
$=\frac{x-2}{x+2}+1=\frac{2x}{x+2}.$
(2)原式$=(\frac{x^2 +6x +9}{x+3}-\frac{8x+9}{x+3})÷\frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
$=\frac{x^2 -2x}{x+3}÷\frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
$=\frac{x(x-2)}{x+3}·\frac{-(x+3)}{(x-2)^2}=-\frac{x}{x-2}.$
解析
【分析】
这两道是分式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算规则，也可灵活运用运算律简化计算：
(1)题可利用乘法分配律把括号外的分式分别乘括号内的两项，先对第二个乘积项的分子分母用完全平方公式、平方差公式因式分解，约分后再和第一项通分合并，比先算括号内的和更简便；
(2)题先处理括号内的整式减分式，将整式通分转化为同分母分式相减，分子合并后因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，注意除式的分母带负号，最后对分子分母的公因式约分即可。
【解析】
(1) 原式利用乘法分配律展开，同时对分式因式分解：
$=\frac{x-2}{x+2}·1 + \frac{x-2}{x+2}·\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}$
对第二项约分后得：
$=\frac{x-2}{x+2} + 1$
通分计算加法：
$=\frac{x-2 + x + 2}{x+2} = \frac{2x}{x+2}$
(2) 先将括号内的整式通分，转化为同分母分式减法：
原式$=( \frac{(x+3)^2}{x+3} - \frac{8x+9}{x+3} ) ÷ \frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
合并括号内的分子：
$=\frac{x^2 + 6x + 9 - 8x -9}{x+3} ÷ \frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
$=\frac{x^2 - 2x}{x+3} ÷ \frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
分子因式分解，除法转乘法：
$=\frac{x(x-2)}{x+3} · \frac{-(x+3)}{(x-2)^2}$
约去公因式$(x+3)$和$(x-2)$：
$=-\frac{x}{x-2}$
【答案】
(1) $\frac{2x}{x+2}$；(2) $-\frac{x}{x-2}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题时要注意运算顺序，可灵活运用运算律降低计算量，因式分解要准确，处理除法和负号时要格外仔细，避免因符号错误或约分漏项失分。
【难度系数】
0.7
这两道是分式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算规则，也可灵活运用运算律简化计算：
(1)题可利用乘法分配律把括号外的分式分别乘括号内的两项，先对第二个乘积项的分子分母用完全平方公式、平方差公式因式分解，约分后再和第一项通分合并，比先算括号内的和更简便；
(2)题先处理括号内的整式减分式，将整式通分转化为同分母分式相减，分子合并后因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，注意除式的分母带负号，最后对分子分母的公因式约分即可。
【解析】
(1) 原式利用乘法分配律展开，同时对分式因式分解：
$=\frac{x-2}{x+2}·1 + \frac{x-2}{x+2}·\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}$
对第二项约分后得：
$=\frac{x-2}{x+2} + 1$
通分计算加法：
$=\frac{x-2 + x + 2}{x+2} = \frac{2x}{x+2}$
(2) 先将括号内的整式通分，转化为同分母分式减法：
原式$=( \frac{(x+3)^2}{x+3} - \frac{8x+9}{x+3} ) ÷ \frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
合并括号内的分子：
$=\frac{x^2 + 6x + 9 - 8x -9}{x+3} ÷ \frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
$=\frac{x^2 - 2x}{x+3} ÷ \frac{(x-2)^2}{-(x+3)}$
分子因式分解，除法转乘法：
$=\frac{x(x-2)}{x+3} · \frac{-(x+3)}{(x-2)^2}$
约去公因式$(x+3)$和$(x-2)$：
$=-\frac{x}{x-2}$
【答案】
(1) $\frac{2x}{x+2}$；(2) $-\frac{x}{x-2}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题时要注意运算顺序，可灵活运用运算律降低计算量，因式分解要准确，处理除法和负号时要格外仔细，避免因符号错误或约分漏项失分。
【难度系数】
0.7
7.(青海中考)先化简,再求值:$(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x})÷(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x})$,其中$x=2-y$.
答案
7.解:原式$=(\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy})÷(\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy})$
$=\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2 - y^2}{xy}=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{x^2 - y^2}$
$=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}.$
因为$x=2-y$,所以$x+y=2$,所以原式$=\frac{1}{2}.$
$=\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2 - y^2}{xy}=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{x^2 - y^2}$
$=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}.$
因为$x=2-y$,所以$x+y=2$,所以原式$=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，先对原式两个括号内的异分母分式分别通分，计算出分子结果后，将分式除法转化为乘法，再利用平方差公式对分母因式分解，约分化为最简形式；第二步代入求值，观察已知条件$x=2-y$，可直接变形得到$x+y$的数值，整体代入最简分式即可算出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化计算。
【解析】
解：先对原式通分计算：
原式$=(\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy})÷(\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy})$
$=\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2 - y^2}{xy}$
将除法转化为乘法，同时对$x^2-y^2$用平方差公式因式分解：
$=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{(x+y)(x-y)}$
约分化简得：
$=\frac{1}{x+y}$
已知$x=2-y$，移项可得$x+y=2$，将其代入最简式：
原式$=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式运算的基本法则和整体代入的数学思想，运算过程中要注意通分、约分的正确性，灵活运用已知条件整体代入可避免不必要的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.75
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，先对原式两个括号内的异分母分式分别通分，计算出分子结果后，将分式除法转化为乘法，再利用平方差公式对分母因式分解，约分化为最简形式；第二步代入求值，观察已知条件$x=2-y$，可直接变形得到$x+y$的数值，整体代入最简分式即可算出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化计算。
【解析】
解：先对原式通分计算：
原式$=(\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy})÷(\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy})$
$=\frac{x-y}{xy}÷\frac{x^2 - y^2}{xy}$
将除法转化为乘法，同时对$x^2-y^2$用平方差公式因式分解：
$=\frac{x-y}{xy}·\frac{xy}{(x+y)(x-y)}$
约分化简得：
$=\frac{1}{x+y}$
已知$x=2-y$，移项可得$x+y=2$，将其代入最简式：
原式$=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式运算的基本法则和整体代入的数学思想，运算过程中要注意通分、约分的正确性，灵活运用已知条件整体代入可避免不必要的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.75
8.纳米技术是研究结构尺寸在1至100 nm范围内材料的性质和应用.有一种纳米材料其理论厚度是0.000 000 000 69 m,这个数用科学记数法表示正确的是（
A.$0.69× 10^{-10}$
B.$0.69× 10^{-9}$
C.$6.9× 10^{-9}$
D.$6.9× 10^{-10}$
D
）A.$0.69× 10^{-10}$
B.$0.69× 10^{-9}$
C.$6.9× 10^{-9}$
D.$6.9× 10^{-10}$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。解题时第一步先确定$a$的取值，排除不符合$a$范围的选项；第二步再确定指数$n$的大小，就能选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$是正整数）。
1. 确定$a$的值：将$0.00000000069$转化为满足$1≤ a＜10$的数，可得$a=6.9$，选项A、B中$a=0.69＜1$，不符合要求，直接排除。
2. 确定$n$的值：把原数$0.00000000069$的小数点向右移动到6的后面，一共移动了10位，因此$n=10$。
综上，这个数用科学记数法表示为$6.9×10^{-10}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的应用，解题核心是准确把握科学记数法中$a$的取值要求和$n$的计算方法，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。解题时第一步先确定$a$的取值，排除不符合$a$范围的选项；第二步再确定指数$n$的大小，就能选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$是正整数）。
1. 确定$a$的值：将$0.00000000069$转化为满足$1≤ a＜10$的数，可得$a=6.9$，选项A、B中$a=0.69＜1$，不符合要求，直接排除。
2. 确定$n$的值：把原数$0.00000000069$的小数点向右移动到6的后面，一共移动了10位，因此$n=10$。
综上，这个数用科学记数法表示为$6.9×10^{-10}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的应用，解题核心是准确把握科学记数法中$a$的取值要求和$n$的计算方法，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
9. 计算$(-3)^0 ÷ (\frac{1}{3})^{-2}$的结果是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$0$
C.$9$
D.$\frac{1}{9}$
D
）A.$\frac{1}{6}$
B.$0$
C.$9$
D.$\frac{1}{9}$
答案
9.D
解析
【分析】
要计算该式的结果，需先分别依据零指数幂、负整数指数幂的运算规则求出被除数和除数的值，再进行除法运算。首先回忆相关运算规则：①任何非零数的0次幂都等于1；②非零数的负整数次幂等于该数正整数次幂的倒数，按照规则先化简两个幂运算部分，再计算除法即可。
【解析】
1. 计算$(-3)^0$：
因为$-3≠0$，根据零指数幂的运算规则，可得$(-3)^0=1$。
2. 计算$(\frac{1}{3})^{-2}$：
根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$。
3. 计算最终结果：
原式$=1÷9=\frac{1}{9}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查零指数和负整数指数幂的运算性质，只要准确掌握相关规则，注意底数不为0的前提，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
要计算该式的结果，需先分别依据零指数幂、负整数指数幂的运算规则求出被除数和除数的值，再进行除法运算。首先回忆相关运算规则：①任何非零数的0次幂都等于1；②非零数的负整数次幂等于该数正整数次幂的倒数，按照规则先化简两个幂运算部分，再计算除法即可。
【解析】
1. 计算$(-3)^0$：
因为$-3≠0$，根据零指数幂的运算规则，可得$(-3)^0=1$。
2. 计算$(\frac{1}{3})^{-2}$：
根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$。
3. 计算最终结果：
原式$=1÷9=\frac{1}{9}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查零指数和负整数指数幂的运算性质，只要准确掌握相关规则，注意底数不为0的前提，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
10. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x} + \frac{3}{x - a} = 0$ 的解为 $ x = 4 $，则 $ a $ 的值为（
A.1
B.2
C.4
D.10
D
）A.1
B.2
C.4
D.10
答案
10.D
解析
【分析】
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题核心是利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们可以直接将x=4代入原分式方程，得到仅含参数a的一元一次方程，解出a后验证分母不为0，保证分式有意义即可。
【解析】
∵ $x=4$是分式方程$\frac{2}{x} + \frac{3}{x - a} = 0$的解
∴ 将$x=4$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{2}{4} + \frac{3}{4 - a} = 0$
化简得：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4 - a} = 0$
移项得：$\frac{3}{4 - a} = -\frac{1}{2}$
两边同时乘最简公分母$2(4-a)$（此时$4-a≠0$）得：
$3×2 = -(4-a)$
即$6 = -4 + a$
解得$a=10$
检验：当$a=10$时，$x=4≠0$，$4-a=-6≠0$，分式均有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是已知方程解求参数的基础题型，直接将解代入原方程转化为参数的方程求解即可，解题时注意验证分式分母不为0，避免出现增根问题。
【难度系数】
0.85
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题核心是利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们可以直接将x=4代入原分式方程，得到仅含参数a的一元一次方程，解出a后验证分母不为0，保证分式有意义即可。
【解析】
∵ $x=4$是分式方程$\frac{2}{x} + \frac{3}{x - a} = 0$的解
∴ 将$x=4$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{2}{4} + \frac{3}{4 - a} = 0$
化简得：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4 - a} = 0$
移项得：$\frac{3}{4 - a} = -\frac{1}{2}$
两边同时乘最简公分母$2(4-a)$（此时$4-a≠0$）得：
$3×2 = -(4-a)$
即$6 = -4 + a$
解得$a=10$
检验：当$a=10$时，$x=4≠0$，$4-a=-6≠0$，分式均有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是已知方程解求参数的基础题型，直接将解代入原方程转化为参数的方程求解即可，解题时注意验证分式分母不为0，避免出现增根问题。
【难度系数】
0.85
