登录
为探索代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的取值范围，小明发现该式子的值只与$x$的取值有关.他发现$x$可以取不为0的任意值，于是他设计了$x$的取值，并通过填写表格，获得了相应的结论.
任务一:探索特殊值
①请将表格填写完整；
②当$x^2+\frac{1}{x^2}=4\frac{1}{4}$时，$x$的值是多少？由此你得出了什么结论？
任务二:观察数值的变化趋势
①如果$x＞1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值如何变化？
②如果$0＜x＜1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值如何变化？
③猜想:$x^2+\frac{1}{x^2}$有最大值吗？有最小值吗？如果有，分别是多少？
任务三:尝试证明
设$a,b$是两个正数，由完全平方式的非负性可得：
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$（取等号时，$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，即$a=b$），
$\therefore (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}·\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2≥0$.
$\therefore a - 2\sqrt{ab}+b≥0$.
$\therefore a+b≥2\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取等号）.
结论:对任意两个正数$a,b$，都有$a+b≥2\sqrt{ab}$，不等式当且仅当$a=b$时等号成立.
请根据上述的材料，对任务二中③的猜想进行证明.
任务一:探索特殊值
①请将表格填写完整；
②当$x^2+\frac{1}{x^2}=4\frac{1}{4}$时，$x$的值是多少？由此你得出了什么结论？
任务二:观察数值的变化趋势
①如果$x＞1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值如何变化？
②如果$0＜x＜1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值如何变化？
③猜想:$x^2+\frac{1}{x^2}$有最大值吗？有最小值吗？如果有，分别是多少？
任务三:尝试证明
设$a,b$是两个正数，由完全平方式的非负性可得：
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$（取等号时，$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，即$a=b$），
$\therefore (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}·\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2≥0$.
$\therefore a - 2\sqrt{ab}+b≥0$.
$\therefore a+b≥2\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取等号）.
结论:对任意两个正数$a,b$，都有$a+b≥2\sqrt{ab}$，不等式当且仅当$a=b$时等号成立.
请根据上述的材料，对任务二中③的猜想进行证明.
答案
任务一:
①$9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9}$
②$x=-2,2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$,结论:互为相反数的两个数代入求值相等,互为倒数的两个数代入求值相等.
任务二:
①如果$x＞1$,随着$x$的值由小变大,代数式的值越来越大.
②如果$0＜x＜1$,随着$x$的值由小变大,代数式的值越来越小.
③$x^2+\frac{1}{x^2}$没有最大值,有最小值,为2.
任务三:
证明:$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0$(取等号时,$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1$,$x=±1$),
$\therefore x^2-2x·\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2≥0$.
$\therefore x^2-2+\frac{1}{x^2}≥0$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}≥2$(当且仅当$x=±1$时等号成立).
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}$有最小值2,无最大值.
①$9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9}$
②$x=-2,2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$,结论:互为相反数的两个数代入求值相等,互为倒数的两个数代入求值相等.
任务二:
①如果$x＞1$,随着$x$的值由小变大,代数式的值越来越大.
②如果$0＜x＜1$,随着$x$的值由小变大,代数式的值越来越小.
③$x^2+\frac{1}{x^2}$没有最大值,有最小值,为2.
任务三:
证明:$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0$(取等号时,$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1$,$x=±1$),
$\therefore x^2-2x·\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2≥0$.
$\therefore x^2-2+\frac{1}{x^2}≥0$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}≥2$(当且仅当$x=±1$时等号成立).
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}$有最小值2,无最大值.
解析
【分析】
任务一①直接将对应x值代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$计算即可；②对照表格找到代数式值为$4\frac{1}{4}$对应的x取值，再观察x和对应代数式值的关系总结规律。任务二通过观察表格中不同区间x对应的代数式值的变化，总结变化趋势，再结合x的取值范围判断最值情况。任务三利用完全平方的非负性，或者题目给出的正数和的不等式结论，将$x^2$和$\frac{1}{x^2}$代入推导即可证明最值结论。
【解析】
任务一
① 分别代入x计算：
当x=-3时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=9\frac{1}{9}$；
当x=-$\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=9\frac{1}{9}$；
当x=$\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=9\frac{1}{9}$。
② 观察表格可得，代数式值为$4\frac{1}{4}$时，对应的x为$\pm2、\pm\frac{1}{2}$；
观察规律可得：互为相反数的两个数代入该代数式，求得的值相等；互为倒数的两个数代入该代数式，求得的值相等。
任务二
① 观察x＞1时的数值：x=1时值为2，x=2时值为$4\frac{1}{4}$，x=3时值为$9\frac{1}{9}$，可知x＞1时，随着x的值由小变大，代数式的值越来越大。
② 观察0＜x＜1时的数值：x=$\frac{1}{3}$时值为$9\frac{1}{9}$，x=$\frac{1}{2}$时值为$4\frac{1}{4}$，x=1时值为2，可知0＜x＜1时，随着x的值由小变大，代数式的值越来越小。
③ 因为x的绝对值可以无限增大，此时$x^2$无限大，代数式的值也会无限增大，所以没有最大值；当x=±1时，代数式的值为2，是所有取值中的最小数，所以有最小值2。
任务三
证明：
$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0$（平方具有非负性，取等号时$x=\frac{1}{x}$，即$x^2=1$，$x=±1$），
展开得：$x^2 - 2·x·\frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2≥0$，
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}≥0$，
移项得：$x^2+\frac{1}{x^2}≥2$（当且仅当$x=±1$时等号成立），
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}$有最小值2，无最大值。
【答案】
任务一
①$9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9}$
②x的值为$-2,2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$，结论：互为相反数的两个数代入求值相等，互为倒数的两个数代入求值相等。
任务二
①如果$x＞1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值越来越大。
②如果$0＜x＜1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值越来越小。
③$x^2+\frac{1}{x^2}$没有最大值，有最小值，为2。
任务三
证明：$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0$(取等号时,$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1$,$x=±1$),
$\therefore x^2-2x·\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2≥0$.
$\therefore x^2-2+\frac{1}{x^2}≥0$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}≥2$(当且仅当$x=±1$时等号成立).
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}$有最小值2,无最大值.
【知识点】
代数式求值，完全平方公式，最值探究
【点评】
本题从特殊值计算出发，引导学生逐步探究代数式的取值规律，既考查了基本的代数运算能力，也锻炼了归纳总结和逻辑推理能力，同时渗透了从特殊到一般的数学研究方法。
【难度系数】
0.7
任务一①直接将对应x值代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$计算即可；②对照表格找到代数式值为$4\frac{1}{4}$对应的x取值，再观察x和对应代数式值的关系总结规律。任务二通过观察表格中不同区间x对应的代数式值的变化，总结变化趋势，再结合x的取值范围判断最值情况。任务三利用完全平方的非负性，或者题目给出的正数和的不等式结论，将$x^2$和$\frac{1}{x^2}$代入推导即可证明最值结论。
【解析】
任务一
① 分别代入x计算：
当x=-3时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=9\frac{1}{9}$；
当x=-$\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=9\frac{1}{9}$；
当x=$\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=9\frac{1}{9}$。
② 观察表格可得，代数式值为$4\frac{1}{4}$时，对应的x为$\pm2、\pm\frac{1}{2}$；
观察规律可得：互为相反数的两个数代入该代数式，求得的值相等；互为倒数的两个数代入该代数式，求得的值相等。
任务二
① 观察x＞1时的数值：x=1时值为2，x=2时值为$4\frac{1}{4}$，x=3时值为$9\frac{1}{9}$，可知x＞1时，随着x的值由小变大，代数式的值越来越大。
② 观察0＜x＜1时的数值：x=$\frac{1}{3}$时值为$9\frac{1}{9}$，x=$\frac{1}{2}$时值为$4\frac{1}{4}$，x=1时值为2，可知0＜x＜1时，随着x的值由小变大，代数式的值越来越小。
③ 因为x的绝对值可以无限增大，此时$x^2$无限大，代数式的值也会无限增大，所以没有最大值；当x=±1时，代数式的值为2，是所有取值中的最小数，所以有最小值2。
任务三
证明：
$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0$（平方具有非负性，取等号时$x=\frac{1}{x}$，即$x^2=1$，$x=±1$），
展开得：$x^2 - 2·x·\frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2≥0$，
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}≥0$，
移项得：$x^2+\frac{1}{x^2}≥2$（当且仅当$x=±1$时等号成立），
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}$有最小值2，无最大值。
【答案】
任务一
①$9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9} \quad 9\frac{1}{9}$
②x的值为$-2,2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$，结论：互为相反数的两个数代入求值相等，互为倒数的两个数代入求值相等。
任务二
①如果$x＞1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值越来越大。
②如果$0＜x＜1$，随着$x$的值由小变大，代数式的值越来越小。
③$x^2+\frac{1}{x^2}$没有最大值，有最小值，为2。
任务三
证明：$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0$(取等号时,$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1$,$x=±1$),
$\therefore x^2-2x·\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2≥0$.
$\therefore x^2-2+\frac{1}{x^2}≥0$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}≥2$(当且仅当$x=±1$时等号成立).
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}$有最小值2,无最大值.
【知识点】
代数式求值，完全平方公式，最值探究
【点评】
本题从特殊值计算出发，引导学生逐步探究代数式的取值规律，既考查了基本的代数运算能力，也锻炼了归纳总结和逻辑推理能力，同时渗透了从特殊到一般的数学研究方法。
【难度系数】
0.7
