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1. 已知$y_1=2x+8,y_2=6-2x$.
（1）当x取何值时，$y_1=y_2$？
（2）当x取何值时，$y_1$比$y_2$小5？
（1）当x取何值时，$y_1=y_2$？
（2）当x取何值时，$y_1$比$y_2$小5？
答案
1. (1) $x=-\frac{1}{2}$；(2) $x=-\frac{7}{4}$
解析
【分析】
（1）若$y_1=y_2$，只需将两个含$x$的表达式相等，构造一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解$x$即可；
（2）“$y_1$比$y_2$小5”对应的等量关系为$y_1 = y_2 - 5$，将两个表达式代入该等量关系得到一元一次方程，再按解方程的步骤计算即可，注意列等式时不要混淆两者的大小关系。
【解析】
（1）当$y_1=y_2$时，可列方程：
$2x + 8 = 6 - 2x$
移项，得：$2x + 2x = 6 - 8$
合并同类项，得：$4x = -2$
系数化为1，得：$x = -\frac{1}{2}$
（2）当$y_1$比$y_2$小5时，可列方程：
$2x + 8 = (6 - 2x) - 5$
整理方程右边，得：$2x + 8 = 1 - 2x$
移项，得：$2x + 2x = 1 - 8$
合并同类项，得：$4x = -7$
系数化为1，得：$x = -\frac{7}{4}$
【答案】
（1）$x=-\frac{1}{2}$；（2）$x=-\frac{7}{4}$
【知识点】
列一元一次方程、解一元一次方程
【点评】
本题考查根据文字等量关系列方程和解一元一次方程的能力，解题核心是准确提取题目中的等量关系，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
（1）若$y_1=y_2$，只需将两个含$x$的表达式相等，构造一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解$x$即可；
（2）“$y_1$比$y_2$小5”对应的等量关系为$y_1 = y_2 - 5$，将两个表达式代入该等量关系得到一元一次方程，再按解方程的步骤计算即可，注意列等式时不要混淆两者的大小关系。
【解析】
（1）当$y_1=y_2$时，可列方程：
$2x + 8 = 6 - 2x$
移项，得：$2x + 2x = 6 - 8$
合并同类项，得：$4x = -2$
系数化为1，得：$x = -\frac{1}{2}$
（2）当$y_1$比$y_2$小5时，可列方程：
$2x + 8 = (6 - 2x) - 5$
整理方程右边，得：$2x + 8 = 1 - 2x$
移项，得：$2x + 2x = 1 - 8$
合并同类项，得：$4x = -7$
系数化为1，得：$x = -\frac{7}{4}$
【答案】
（1）$x=-\frac{1}{2}$；（2）$x=-\frac{7}{4}$
【知识点】
列一元一次方程、解一元一次方程
【点评】
本题考查根据文字等量关系列方程和解一元一次方程的能力，解题核心是准确提取题目中的等量关系，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2. 在公式 $s = s_0 + vt$ 中，$s = 100$，$s_0 = 25$，$v = 10$，求 $t$。
答案
2. $t=7.5$
解析
【分析】
本题已知公式中除t外的所有量的值，解题思路如下：第一步，将已知的s、s₀、v的数值直接代入公式$s = s_0 + vt$，即可得到一个关于未知数t的一元一次方程；第二步，按照解一元一次方程的基本步骤（移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能求出t的数值。
【解析】
解：将$s=100$，$s_0=25$，$v=10$代入公式$s = s_0 + vt$，可得：
$100 = 25 + 10t$
移项，得：
$10t = 100 - 25$
合并同类项，得：
$10t = 75$
系数化为1，得：
$t = 7.5$
【答案】
$t=7.5$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 公式代入求值
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考察将已知量代入公式列方程、解简单一元一次方程的能力，解题步骤固定，计算难度低，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.9
本题已知公式中除t外的所有量的值，解题思路如下：第一步，将已知的s、s₀、v的数值直接代入公式$s = s_0 + vt$，即可得到一个关于未知数t的一元一次方程；第二步，按照解一元一次方程的基本步骤（移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能求出t的数值。
【解析】
解：将$s=100$，$s_0=25$，$v=10$代入公式$s = s_0 + vt$，可得：
$100 = 25 + 10t$
移项，得：
$10t = 100 - 25$
合并同类项，得：
$10t = 75$
系数化为1，得：
$t = 7.5$
【答案】
$t=7.5$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 公式代入求值
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考察将已知量代入公式列方程、解简单一元一次方程的能力，解题步骤固定，计算难度低，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.9
1. 有一个小数，将小数点向右移动一位后与原数相差11.34，这个小数原来是多少？
答案
1. 1.26
解析
【分析】
解题时首先抓住两个核心条件：一是小数点向右移动一位，二是移动后得到的数与原数相差11.34。首先回忆小数点移动的规律：小数点向右移动一位，得到的新数是原数的10倍。我们可以设原数为未知数x，那么移动后得到的数就是10x，新数比原数大，因此两数的差可以表示为10x - x，结合差为11.34的等量关系就能列出一元一次方程，求解即可得到原数。
【解析】
解：设这个小数原来是x，小数点向右移动一位后得到的数为10x。
根据题意可列方程：
$10x - x = 11.34$
合并同类项，得：
$9x = 11.34$
系数化为1，得：
$x = 11.34 ÷ 9 = 1.26$
【答案】
1.26
【知识点】
小数点移动规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确掌握小数点移动后数的变化关系，结合两数的差找到等量关系列方程求解，能有效考察对基础规律的运用和一元一次方程的求解能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住两个核心条件：一是小数点向右移动一位，二是移动后得到的数与原数相差11.34。首先回忆小数点移动的规律：小数点向右移动一位，得到的新数是原数的10倍。我们可以设原数为未知数x，那么移动后得到的数就是10x，新数比原数大，因此两数的差可以表示为10x - x，结合差为11.34的等量关系就能列出一元一次方程，求解即可得到原数。
【解析】
解：设这个小数原来是x，小数点向右移动一位后得到的数为10x。
根据题意可列方程：
$10x - x = 11.34$
合并同类项，得：
$9x = 11.34$
系数化为1，得：
$x = 11.34 ÷ 9 = 1.26$
【答案】
1.26
【知识点】
小数点移动规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确掌握小数点移动后数的变化关系，结合两数的差找到等量关系列方程求解，能有效考察对基础规律的运用和一元一次方程的求解能力。
【难度系数】
0.8
2. 木工师傅把一根长 170 cm 的木棍锯成两段，使其中一段比另一段的 3 倍多10 cm，问：两段木棍的长分别为多少？
答案
2. 40 cm；130 cm
解析
【分析】
这是典型的和倍类一元一次方程应用题，解题核心是找到等量关系：两段木棍的长度之和等于原木棍总长度170cm。我们可以优先设较短的那段木棍长度为未知数，根据“一段比另一段的3倍多10cm”表示出较长段的长度，再代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设较短的一段木棍长为$ x $ cm，则较长的一段木棍长为$ (3x + 10) $ cm。
根据两段木棍总长度为170cm，列方程：
$ x + (3x + 10) = 170 $
去括号得：$ x + 3x + 10 = 170 $
合并同类项得：$ 4x + 10 = 170 $
移项得：$ 4x = 170 - 10 $
计算得：$ 4x = 160 $
系数化为1得：$ x = 40 $
则较长段木棍的长度为：$ 3×40 + 10 = 130 $（cm）
经检验，40cm与130cm的和为170cm，且130cm满足比40cm的3倍多10cm的条件，结果正确。
【答案】
40 cm；130 cm
【知识点】
一元一次方程应用、解一元一次方程、和倍问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题目中的等量关系，合理设置未知数可简化计算过程，求解后可代入原题条件检验结果是否正确。
【难度系数】
0.8
这是典型的和倍类一元一次方程应用题，解题核心是找到等量关系：两段木棍的长度之和等于原木棍总长度170cm。我们可以优先设较短的那段木棍长度为未知数，根据“一段比另一段的3倍多10cm”表示出较长段的长度，再代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设较短的一段木棍长为$ x $ cm，则较长的一段木棍长为$ (3x + 10) $ cm。
根据两段木棍总长度为170cm，列方程：
$ x + (3x + 10) = 170 $
去括号得：$ x + 3x + 10 = 170 $
合并同类项得：$ 4x + 10 = 170 $
移项得：$ 4x = 170 - 10 $
计算得：$ 4x = 160 $
系数化为1得：$ x = 40 $
则较长段木棍的长度为：$ 3×40 + 10 = 130 $（cm）
经检验，40cm与130cm的和为170cm，且130cm满足比40cm的3倍多10cm的条件，结果正确。
【答案】
40 cm；130 cm
【知识点】
一元一次方程应用、解一元一次方程、和倍问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题目中的等量关系，合理设置未知数可简化计算过程，求解后可代入原题条件检验结果是否正确。
【难度系数】
0.8
3. 一辆慢车速度为 48 km/h，一辆快车速度为 55 km/h，慢车在前，快车在后，两车间的距离为 21 km，快车追上慢车需要多少小时？
答案
3. 3 h
解析
【分析】
这是典型的追及类行程问题，解题核心是找到追及过程中的等量关系：快车行驶的总路程 = 慢车行驶的总路程 + 两车初始的距离。我们可以设快车追上慢车需要的时间为未知数，分别用“速度×时间”表示出两车行驶的路程，代入等量关系列出一元一次方程，再求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设快车追上慢车需要$ x $小时。
根据追及过程的路程等量关系，可列方程：
$ 55x = 48x + 21 $
移项，得：$ 55x - 48x = 21 $
合并同类项，得：$ 7x = 21 $
系数化为1，得：$ x = 3 $
经检验，$ x=3 $符合题意。
【答案】
3 h
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；解一元一次方程
【点评】
本题是行程类问题的基础题型，解题的关键是准确梳理追及过程中两车的路程关系，掌握一元一次方程的列法和解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的追及类行程问题，解题核心是找到追及过程中的等量关系：快车行驶的总路程 = 慢车行驶的总路程 + 两车初始的距离。我们可以设快车追上慢车需要的时间为未知数，分别用“速度×时间”表示出两车行驶的路程，代入等量关系列出一元一次方程，再求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设快车追上慢车需要$ x $小时。
根据追及过程的路程等量关系，可列方程：
$ 55x = 48x + 21 $
移项，得：$ 55x - 48x = 21 $
合并同类项，得：$ 7x = 21 $
系数化为1，得：$ x = 3 $
经检验，$ x=3 $符合题意。
【答案】
3 h
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；解一元一次方程
【点评】
本题是行程类问题的基础题型，解题的关键是准确梳理追及过程中两车的路程关系，掌握一元一次方程的列法和解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
问题 夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高$1°\mathrm{C}$,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27千瓦·时;再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高$1°\mathrm{C}$后的节电量的1.1倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电405千瓦·时.问:只将温度调高$1°\mathrm{C}$后,两种空调每天各节电多少千瓦·时?
名师指导
由于两种空调每天节约的电满足甲种空调比乙种空调每天多节电27千瓦·时,若设乙种空调每天节电$x$千瓦·时,则甲种空调每天节电$(x+27)$千瓦·时,根据题意即可列出方程,从而求解.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
名师指导
由于两种空调每天节约的电满足甲种空调比乙种空调每天多节电27千瓦·时,若设乙种空调每天节电$x$千瓦·时,则甲种空调每天节电$(x+27)$千瓦·时,根据题意即可列出方程,从而求解.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案
解：设只将温度调高$1℃$后，乙种空调每天节电$x$千瓦·时，则甲种空调每天节电$(x+27)$千瓦·时。
根据题意列方程：
$1.1x + (x + 27) = 405$
移项、合并同类项得：
$2.1x = 378$
系数化为1得：
$x = 180$
则甲种空调每天节电量为：$x+27 = 180+27 = 207$
答：只将温度调高$1℃$后，甲种空调每天节电207千瓦·时，乙种空调每天节电180千瓦·时。
根据题意列方程：
$1.1x + (x + 27) = 405$
移项、合并同类项得：
$2.1x = 378$
系数化为1得：
$x = 180$
则甲种空调每天节电量为：$x+27 = 180+27 = 207$
答：只将温度调高$1℃$后，甲种空调每天节电207千瓦·时，乙种空调每天节电180千瓦·时。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先找准题干中的等量关系：①只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电量=乙种空调每天节电量+27千瓦·时；②乙种空调清洗后的节电量（是调高1℃后乙节电量的1.1倍）+甲种空调的节电量=两种空调每天总节电量405千瓦·时。我们可以设未知数表示出两种空调调高1℃后的节电量，再代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设只将温度调高$1℃$后，乙种空调每天节电$x$千瓦·时，则甲种空调每天节电$(x+27)$千瓦·时。
根据题意列方程：
$1.1x + (x + 27) = 405$
移项、合并同类项得：
$2.1x = 378$
系数化为1得：
$x = 180$
则甲种空调每天节电量为：$x+27 = 180+27 = 207$（千瓦·时）
答：只将温度调高$1℃$后，甲种空调每天节电207千瓦·时，乙种空调每天节电180千瓦·时。
【答案】
甲种空调每天节电207千瓦·时，乙种空调每天节电180千瓦·时。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程建模类题目，解题关键是读懂题意，准确提取题干中的等量关系，合理设未知数后将相关未知量用代数式表示，再代入等量关系列方程求解，主要考察信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先找准题干中的等量关系：①只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电量=乙种空调每天节电量+27千瓦·时；②乙种空调清洗后的节电量（是调高1℃后乙节电量的1.1倍）+甲种空调的节电量=两种空调每天总节电量405千瓦·时。我们可以设未知数表示出两种空调调高1℃后的节电量，再代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设只将温度调高$1℃$后，乙种空调每天节电$x$千瓦·时，则甲种空调每天节电$(x+27)$千瓦·时。
根据题意列方程：
$1.1x + (x + 27) = 405$
移项、合并同类项得：
$2.1x = 378$
系数化为1得：
$x = 180$
则甲种空调每天节电量为：$x+27 = 180+27 = 207$（千瓦·时）
答：只将温度调高$1℃$后，甲种空调每天节电207千瓦·时，乙种空调每天节电180千瓦·时。
【答案】
甲种空调每天节电207千瓦·时，乙种空调每天节电180千瓦·时。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程建模类题目，解题关键是读懂题意，准确提取题干中的等量关系，合理设未知数后将相关未知量用代数式表示，再代入等量关系列方程求解，主要考察信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
