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1. 已知方程$3x+8=\frac{x}{4}-a$的解满足$|x-2|=0$，则$\frac{1}{a}$的值为（
A.$-\frac{1}{14}$
B.$-\frac{2}{27}$
C.$-\frac{27}{2}$
D.$-4$
B
）A.$-\frac{1}{14}$
B.$-\frac{2}{27}$
C.$-\frac{27}{2}$
D.$-4$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，若|A|=0则A=0，先求出x的值；再根据方程的解的定义，即解代入方程等式成立，将求出的x值代入原一元一次方程，即可求出参数a的值；最后计算$\frac{1}{a}$的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求解x的值：
已知$|x-2|=0$，根据绝对值的性质，绝对值为0时内部代数式值为0，可得$x-2=0$，解得$x=2$。
2. 代入方程求a的值：
将$x=2$代入方程$3x+8=\frac{x}{4}-a$，可得：
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
计算左侧：$6+8=14$，右侧化简得：$\frac{1}{2} - a$
整理等式得：$14 = \frac{1}{2} - a$
移项计算：$a = \frac{1}{2} - 14 = \frac{1}{2} - \frac{28}{2} = -\frac{27}{2}$
3. 计算$\frac{1}{a}$的值：
$\frac{1}{a} = \frac{1}{-\frac{27}{2}} = -\frac{2}{27}$
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质；一元一次方程的解；倒数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对绝对值性质和方程解定义的理解，解题逻辑清晰，按步骤先求x、再求a、最后算倒数即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据绝对值的性质，若|A|=0则A=0，先求出x的值；再根据方程的解的定义，即解代入方程等式成立，将求出的x值代入原一元一次方程，即可求出参数a的值；最后计算$\frac{1}{a}$的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求解x的值：
已知$|x-2|=0$，根据绝对值的性质，绝对值为0时内部代数式值为0，可得$x-2=0$，解得$x=2$。
2. 代入方程求a的值：
将$x=2$代入方程$3x+8=\frac{x}{4}-a$，可得：
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
计算左侧：$6+8=14$，右侧化简得：$\frac{1}{2} - a$
整理等式得：$14 = \frac{1}{2} - a$
移项计算：$a = \frac{1}{2} - 14 = \frac{1}{2} - \frac{28}{2} = -\frac{27}{2}$
3. 计算$\frac{1}{a}$的值：
$\frac{1}{a} = \frac{1}{-\frac{27}{2}} = -\frac{2}{27}$
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质；一元一次方程的解；倒数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对绝对值性质和方程解定义的理解，解题逻辑清晰，按步骤先求x、再求a、最后算倒数即可得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 一个长方形的周长为 32 cm，若将长减少 2 cm，宽增加 4 cm，就变成一个正方形，则原长方形的长为 （
A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm
B
）A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm
答案
2. B
解析
【分析】
拿到这道题我们可以先梳理已知条件：①长方形周长为32cm，可通过周长公式推导出长与宽的和；②长减少2cm、宽增加4cm后变成正方形，正方形四条边长相等，即变化后的长和宽相等。我们可以用一元一次方程求解：先设原长方形的长为未知数，再根据周长公式表示出宽，最后根据“变化后边长相等”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原长方形的长为$x$ cm。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，已知周长为32cm，可得长与宽的和为：$32÷2=16\ \mathrm{cm}$，因此原长方形的宽为$(16-x)$ cm。
由题意，长减少2cm后为$(x-2)$ cm，宽增加4cm后为$(16-x+4)$ cm，变化后为正方形，二者边长相等，可列方程：
$x-2=16-x+4$
整理得：$x-2=20-x$
移项得：$x+x=20+2$
合并同类项得：$2x=22$
系数化为1得：$x=11$
即原长方形的长为11cm。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长公式、正方形的性质
【点评】
本题属于方程在几何图形问题中的基础应用，解题的核心是找准变化前后的等量关系，结合几何图形的基本性质列方程求解，熟练掌握基础公式和方程解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以先梳理已知条件：①长方形周长为32cm，可通过周长公式推导出长与宽的和；②长减少2cm、宽增加4cm后变成正方形，正方形四条边长相等，即变化后的长和宽相等。我们可以用一元一次方程求解：先设原长方形的长为未知数，再根据周长公式表示出宽，最后根据“变化后边长相等”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原长方形的长为$x$ cm。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，已知周长为32cm，可得长与宽的和为：$32÷2=16\ \mathrm{cm}$，因此原长方形的宽为$(16-x)$ cm。
由题意，长减少2cm后为$(x-2)$ cm，宽增加4cm后为$(16-x+4)$ cm，变化后为正方形，二者边长相等，可列方程：
$x-2=16-x+4$
整理得：$x-2=20-x$
移项得：$x+x=20+2$
合并同类项得：$2x=22$
系数化为1得：$x=11$
即原长方形的长为11cm。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长公式、正方形的性质
【点评】
本题属于方程在几何图形问题中的基础应用，解题的核心是找准变化前后的等量关系，结合几何图形的基本性质列方程求解，熟练掌握基础公式和方程解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. 一个三角形的三边长的比为$3:4:5$，最长边比最短边长4，则此三角形周长为（
A.2 cm
B.12 cm
C.24 cm
D.48 cm
C
）A.2 cm
B.12 cm
C.24 cm
D.48 cm
答案
3. C
解析
【分析】
遇到已知边长比例和边长数量关系的题目，我们可以先根据比例设每份长度为未知数x，将三边长用含x的代数式表示，再结合“最长边比最短边长4”这个等量关系列出一元一次方程，解出x的值后，计算三边之和即可得到周长。
【解析】
解：设三角形三边长分别为$3x$、$4x$、$5x$（$x＞0$）。
由题意可知最长边为$5x$，最短边为$3x$，根据最长边比最短边长4，列方程：
$5x - 3x = 4$
合并同类项得：$2x = 4$
系数化为1得：$x = 2$
三角形周长为三边长之和：$3x + 4x + 5x = 12x$
将$x=2$代入得：$12×2 = 24$（cm）
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用，按比例设元，三角形周长计算
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题核心是掌握比例类问题的设元技巧，根据题目给出的等量关系列方程求解即可，熟练掌握后可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
遇到已知边长比例和边长数量关系的题目，我们可以先根据比例设每份长度为未知数x，将三边长用含x的代数式表示，再结合“最长边比最短边长4”这个等量关系列出一元一次方程，解出x的值后，计算三边之和即可得到周长。
【解析】
解：设三角形三边长分别为$3x$、$4x$、$5x$（$x＞0$）。
由题意可知最长边为$5x$，最短边为$3x$，根据最长边比最短边长4，列方程：
$5x - 3x = 4$
合并同类项得：$2x = 4$
系数化为1得：$x = 2$
三角形周长为三边长之和：$3x + 4x + 5x = 12x$
将$x=2$代入得：$12×2 = 24$（cm）
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用，按比例设元，三角形周长计算
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题核心是掌握比例类问题的设元技巧，根据题目给出的等量关系列方程求解即可，熟练掌握后可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 张老师带领学生去开展夏令营活动，甲旅行社说：“如果老师买全票一张，则学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括老师在内均按全票价的六折优惠。”若全票价为每人240元，当学生人数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？
答案
4. 4人
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决实际优惠收费比较的问题，解题核心是找到两家旅行社收费相等的等量关系。首先设学生人数为未知数，再分别根据两家旅行社的优惠规则，把两家的总收费用含有未知数的代数式表示出来，令两个代数式相等即可得到一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求解就能得到对应的学生人数。
【解析】
解：设当学生人数为$x$人时，两家旅行社的收费一样多。
甲旅行社总收费 = 1张老师全票 + 所有学生半价票总和，即：$240 + 240×50\% · x$
乙旅行社总收费 = （老师人数+学生人数）× 全票六折单价，即：$240×60\% · (x+1)$
根据两家收费相等列方程：
$240 + 120x = 144(x + 1)$
展开右侧得：$240 + 120x = 144x + 144$
移项得：$144x - 120x = 240 - 144$
合并同类项得：$24x = 96$
系数化为1得：$x = 4$
检验：当$x=4$时，甲旅行社收费$240+120×4=720$元，乙旅行社收费$144×(4+1)=720$元，两者相等，符合题意。
【答案】
4人
【知识点】
一元一次方程的应用、列代数式、解一元一次方程
【点评】
本题是典型的生活类方案选择应用题，解题关键是准确梳理不同方案的收费构成，找准等量关系列方程，掌握这类题型可以解决很多实际生活中的优惠选择问题，也能为后续更复杂的方案类应用题打下基础。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次方程解决实际优惠收费比较的问题，解题核心是找到两家旅行社收费相等的等量关系。首先设学生人数为未知数，再分别根据两家旅行社的优惠规则，把两家的总收费用含有未知数的代数式表示出来，令两个代数式相等即可得到一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求解就能得到对应的学生人数。
【解析】
解：设当学生人数为$x$人时，两家旅行社的收费一样多。
甲旅行社总收费 = 1张老师全票 + 所有学生半价票总和，即：$240 + 240×50\% · x$
乙旅行社总收费 = （老师人数+学生人数）× 全票六折单价，即：$240×60\% · (x+1)$
根据两家收费相等列方程：
$240 + 120x = 144(x + 1)$
展开右侧得：$240 + 120x = 144x + 144$
移项得：$144x - 120x = 240 - 144$
合并同类项得：$24x = 96$
系数化为1得：$x = 4$
检验：当$x=4$时，甲旅行社收费$240+120×4=720$元，乙旅行社收费$144×(4+1)=720$元，两者相等，符合题意。
【答案】
4人
【知识点】
一元一次方程的应用、列代数式、解一元一次方程
【点评】
本题是典型的生活类方案选择应用题，解题关键是准确梳理不同方案的收费构成，找准等量关系列方程，掌握这类题型可以解决很多实际生活中的优惠选择问题，也能为后续更复杂的方案类应用题打下基础。
【难度系数】
0.7
5. 用若干辆汽车装运一批货物，若每辆汽车装3.5 t货物，则这批货物就有2 t不能运走；若每辆汽车装4 t货物，则装完这批货物后，还可以装1 t其他货物.问：汽车有多少辆？这批货物有多少吨？
答案
5. 汽车有6辆，货物有23 t
解析
【分析】
这是列一元一次方程解应用题的典型题型，解题时首先要锁定题目中的不变量：汽车总数量、货物总重量均是固定值。我们可以先设汽车数量为未知数，分别用两种装货规则表示出货物的总重量，再根据货物总重量相等的关系列出方程，求解得到汽车数量后，再代入计算货物总重量即可。
【解析】
解：设汽车有$x$辆。
根据货物总重量不变，可列方程：
$3.5x + 2 = 4x - 1$
移项，得：
$2+1 = 4x - 3.5x$
合并同类项，得：
$3 = 0.5x$
系数化为1，得：
$x = 6$
将$x=6$代入$3.5x+2$，计算货物总重量：
$3.5×6 + 2 = 23\ (\mathrm{t})$
答：汽车有6辆，这批货物有23t。
【答案】
汽车有6辆，货物有23 t
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础常规题，解题核心是抓住不变量建立等量关系，熟练掌握列方程解应用题的“设、列、解、答”流程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是列一元一次方程解应用题的典型题型，解题时首先要锁定题目中的不变量：汽车总数量、货物总重量均是固定值。我们可以先设汽车数量为未知数，分别用两种装货规则表示出货物的总重量，再根据货物总重量相等的关系列出方程，求解得到汽车数量后，再代入计算货物总重量即可。
【解析】
解：设汽车有$x$辆。
根据货物总重量不变，可列方程：
$3.5x + 2 = 4x - 1$
移项，得：
$2+1 = 4x - 3.5x$
合并同类项，得：
$3 = 0.5x$
系数化为1，得：
$x = 6$
将$x=6$代入$3.5x+2$，计算货物总重量：
$3.5×6 + 2 = 23\ (\mathrm{t})$
答：汽车有6辆，这批货物有23t。
【答案】
汽车有6辆，货物有23 t
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础常规题，解题核心是抓住不变量建立等量关系，熟练掌握列方程解应用题的“设、列、解、答”流程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
A、B两地之间路程是200 km，甲、乙两车同时从A地出发，沿同一路线匀速行驶，前往B地，甲车行驶到B地后立即返回。已知甲车速度是乙车速度的1.5倍，两车行驶2 h相遇。
（1）求甲、乙两车的速度；
（2）当两车相遇时，求甲车距B地的路程。
（1）求甲、乙两车的速度；
（2）当两车相遇时，求甲车距B地的路程。
答案
(1) 甲车的速度为 120 km/h，乙车的速度为 80 km/h。
(2) 当两车相遇时，甲车距B地的路程为 40 km。
(2) 当两车相遇时，甲车距B地的路程为 40 km。
解析
【分析】
（1）本题属于行程类应用题，已知甲车速度是乙车的1.5倍，可先设乙车速度为未知数，进而表示出甲车速度。两车同时从A地出发2小时相遇，此时甲车已到达B地并返回，因此两车2小时行驶的总路程等于2倍的A、B两地总路程，依据这个等量关系列方程即可求解两车速度。
（2）求相遇时甲车距B地的路程，可先计算相遇时甲车行驶的总路程，减去A、B两地的总路程即可；也可先算乙车行驶的路程，用A、B总路程减去乙车行驶路程得到结果。
【解析】
（1）设乙车的速度为$x$ km/h，则甲车的速度为$1.5x$ km/h。
由题意得，两车2小时行驶的总路程为2个A、B两地的路程，即$2×200=400$km，列方程：
$2x + 2×1.5x = 2×200$
化简左边得：$2x + 3x = 5x$
即$5x = 400$
解得：$x = 80$
则甲车速度为$1.5x = 1.5×80 = 120$（km/h）
（2）相遇时甲车行驶的总路程为：$120×2 = 240$（km）
甲车距B地的路程为：$240 - 200 = 40$（km）
【答案】
(1) 甲车的速度为 120 km/h，乙车的速度为 80 km/h。
(2) 当两车相遇时，甲车距B地的路程为 40 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题
3. 路程公式的应用
【点评】
本题是行程问题的典型题型，解题核心是准确梳理出两车行驶路程的等量关系，即相遇时两车总路程为2倍的两地距离，侧重考察学生分析题意、列方程解应用题的能力，熟练掌握行程问题基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于行程类应用题，已知甲车速度是乙车的1.5倍，可先设乙车速度为未知数，进而表示出甲车速度。两车同时从A地出发2小时相遇，此时甲车已到达B地并返回，因此两车2小时行驶的总路程等于2倍的A、B两地总路程，依据这个等量关系列方程即可求解两车速度。
（2）求相遇时甲车距B地的路程，可先计算相遇时甲车行驶的总路程，减去A、B两地的总路程即可；也可先算乙车行驶的路程，用A、B总路程减去乙车行驶路程得到结果。
【解析】
（1）设乙车的速度为$x$ km/h，则甲车的速度为$1.5x$ km/h。
由题意得，两车2小时行驶的总路程为2个A、B两地的路程，即$2×200=400$km，列方程：
$2x + 2×1.5x = 2×200$
化简左边得：$2x + 3x = 5x$
即$5x = 400$
解得：$x = 80$
则甲车速度为$1.5x = 1.5×80 = 120$（km/h）
（2）相遇时甲车行驶的总路程为：$120×2 = 240$（km）
甲车距B地的路程为：$240 - 200 = 40$（km）
【答案】
(1) 甲车的速度为 120 km/h，乙车的速度为 80 km/h。
(2) 当两车相遇时，甲车距B地的路程为 40 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题
3. 路程公式的应用
【点评】
本题是行程问题的典型题型，解题核心是准确梳理出两车行驶路程的等量关系，即相遇时两车总路程为2倍的两地距离，侧重考察学生分析题意、列方程解应用题的能力，熟练掌握行程问题基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
