1.下列由左边到右边的式子变形,是因式分解的是().

A.$ab^2 - 3a^2b^2 + 2b = ab(b - 3ab) + 2b$
B.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
C.$a + a^2 = a^2(\frac{1}{a} + 1)$
D.$2xy + x^2 + y^2 = (x + y)^2$

1.D

【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需紧扣三个核心要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。解题时我们依次用这三个要点排查每个选项即可。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐个分析选项：
A选项：等式右边为$ab(b - 3ab) + 2b$，是多项式加多项式的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，错误；
B选项：等式左边是两个整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆变形，不符合要求，错误；
C选项：等式右边的$\frac{1}{a}$分母含有字母，属于分式，不是整式，因此结果不是整式的积，不符合因式分解的定义，错误；
D选项：左边是多项式，右边$(x+y)^2=(x+y)(x+y)$是两个相同整式的积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念，整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的核心是准确掌握因式分解的定义要素，易错点在于容易忽略结果必须为整式的积，或是混淆因式分解和整式乘法的变形方向。
【难度系数】
0.8

2.下列由左边到右边的式子变形,是因式分解的是().

A.$x^2 - x - 1 = x(x - 1) - 1$
B.$x(x - 1) = x^2 - x$
C.$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
D.$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$

2.C

【分析】
解题前首先要牢记因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解。判定一个变形是否为因式分解，要同时满足两个核心条件：①变形的左边是多项式；②变形的右边必须是几个整式相乘的形式，且变形前后恒等。另外要注意，因式分解和整式乘法是互逆过程，整式乘法是把几个整式的积转化为多项式，变形方向和因式分解相反。接下来我们对照条件逐个判断选项即可。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
A选项：等式右边为$x(x-1)-1$，是“乘积减1”的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故A错误；
B选项：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故B错误；
C选项：等式左边是多项式$x^2-1$，右边是两个整式$(x+1)$和$(x-1)$的乘积，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法
【点评】
本题属于概念类基础题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，能区分因式分解和整式乘法的变形方向，牢记因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85

3.下列由左边到右边的式子变形,是因式分解的是().

A.$(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$
B.$x^2-9+x=(x+3)(x-3)+x$
C.$x^2-3x+2=x(x-3)+2$
D.$2xy-x^2-y^2=-(x-y)^2$

3.D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解。判断变形是否为因式分解有两个核心判断标准：①变形后的结果必须是几个整式相乘的形式，不能出现加减混合的和式；②变形前后等式恒成立。我们只需对照这两个标准逐一分析选项即可。
【解析】
根据因式分解的定义逐一判断各选项：
1. 选项A：左边是两个整式的乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误。
2. 选项B：右边是$(x+3)(x-3)+x$，是乘积与单项式相加的和式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故B错误。
3. 选项C：右边是$x(x-3)+2$，是乘积与常数相加的和式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故C错误。
4. 选项D：先验证恒等性：$-(x-y)^2=-(x^2-2xy+y^2)=2xy-x^2-y^2$，和左边完全相等；同时右边$-(x-y)^2$是$-1$与两个$(x-y)$的乘积，属于几个整式乘积的形式，满足因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题关键是准确把握因式分解的本质特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，判断时要同时验证"结果为整式乘积""变形前后恒等"两个要点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

4.把多项式$2ax+6ay-7a$分解因式时,应提取的公因式为().

A.a
B.ax
C.ay
D.axy

4.A

【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定方法分步思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，最后将两部分相乘就是公因式。首先观察多项式2ax+6ay-7a的三项，先看系数：2、6、-7的最大公约数是1；再看字母：第一项有a、x，第二项有a、y，第三项只有a，三项都含有的字母只有a，且a的次数都是1次，x和y不是三项共有，因此公因式就是a。
【解析】
找公因式分两步进行：
1. 确定系数的最大公约数：各项系数分别为2、6、-7，它们的最大公约数是1；
2. 确定相同字母的最低次幂：观察三项的字母，仅字母a是三项都含有的，且a的次数均为1，x、y仅在部分项中出现，不属于公共字母。
因此公因式为$1× a=a$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、字母取公共的最低次幂”的判断方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9

5.多项式$5a-10ax+25ay$提取公因式后的另一个因式是().

A.$-2x+5y$
B.$1-2x+5y$
C.$2x-5y$
D.$-2ax+5ay$

5.B

【分析】
要解决这道题，需按照提公因式法分解因式的思路思考：首先要准确找到多项式各项的公因式，再用多项式的每一项除以公因式，得到的结果就是提取公因式后剩下的另一个因式。找公因式时，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者组合就是公因式，再计算剩余部分即可得到答案。
【解析】
第一步：确定多项式$5a-10ax+25ay$的公因式
系数部分：5、-10、25的最大公约数是5；
字母部分：三项都含有字母$a$，且$a$的最低次幂是1次；
因此该多项式的公因式为$5a$。
第二步：提取公因式计算剩余因式
将多项式的每一项分别除以公因式$5a$：
$5a÷5a=1$，$-10ax÷5a=-2x$，$25ay÷5a=5y$
可得$5a-10ax+25ay=5a(1-2x+5y)$，因此提取公因式后的另一个因式是$1-2x+5y$。
【答案】
B
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时要注意不要漏写原多项式的常数项，同时要注意各项的符号不要出错。
【难度系数】
0.8

6.(2024,福建,11)分解因式:$x^2+x=$.

6.$x(x+1)$

【分析】
要对多项式$x^2+x$分解因式，首先回忆因式分解的常用方法，第一步优先判断是否有公因式：先观察两项的系数，都是1，最大公约数为1；再观察相同字母，两项都含有字母$x$，且$x$的最低次幂是1次，因此确定公因式为$x$。接下来提取公因式，将原多项式写成公因式乘剩余多项式的形式即可，最后可通过整式乘法验证结果是否正确。
【解析】
观察多项式$x^2+x$，两项的公因式为$x$，提取公因式$x$可得：
$x^2+x = x· x + x·1 = x(x+1)$
验证：$x(x+1)=x^2+x$，与原式一致，结果正确。
【答案】
$x(x+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的基本应用，解题的关键是准确找到多项式各项的公因式，熟练掌握提公因式的操作规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

7.(2024,陕西,9)分解因式:$a^2 - ab =$.

7.$a(a-b)$

【分析】
拿到这道分解因式的题目，首先观察多项式的结构：该多项式共有两项，分别为$a^2$和$-ab$。分解因式第一步先找各项的公因式，先看系数，两项系数的最大公因数是1；再看相同字母，两项都含有字母a，且a的最低次幂为1次，因此公因式是a。接下来只需把公因式a提取出来，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到剩余的因式即可完成分解。
【解析】
第一步：确定多项式$a^2 - ab$的公因式为$a$；
第二步：提取公因式$a$，将原多项式改写为公因式乘剩余因式的形式：
$a^2 - ab = a· a - a· b = a(a - b)$
【答案】
$a(a-b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.9

8.(2024,江西,8)分解因式：$a^2 + 2a =$ .

8.$a(a+2)$

【分析】
要对多项式$a^2 + 2a$分解因式，首先按照分解因式的常规步骤，先观察多项式各项是否存在公因式：先找各项系数的最大公约数，$a^2$系数为1，$2a$系数为2，最大公约数是1；再找各项都含有的相同字母，两项都含字母$a$，相同字母的最低次幂是1次，因此确定公因式为$a$，接下来将公因式提出，把剩下的项组合即可完成分解。
【解析】
第一步：确定多项式$a^2+2a$各项的公因式为$a$；
第二步：提取公因式$a$，将原多项式写成公因式乘剩余部分的形式：
$a^2 + 2a = a · a + a · 2 = a(a+2)$
【答案】
$a(a+2)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，解题的核心是先判断多项式是否存在公因式，准确提取公因式即可得到结果，是对分解因式基础方法的直接考查。
【难度系数】
0.9

9.利用因式分解计算:$1.95^2 + 1.95×0.05=$.

9.$3.9$

【分析】
观察算式结构，发现两项中都含有公因式1.95，因此可以利用提公因式法分解因式来简化计算，避免直接计算平方和乘法的繁琐步骤：第一步先提取公因式1.95，将原式转化为两个数相乘的形式，第二步先计算括号内的加法，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
解：原式提取公因式1.95，可得：
$1.95^2 + 1.95×0.05 = 1.95×(1.95 + 0.05)$
先计算括号内的加法：$1.95 + 0.05 = 2$
再计算乘法：$1.95×2 = 3.9$
【答案】
3.9
【知识点】
提公因式法分解因式；因式分解的简便应用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查利用提公因式法简化有理数运算的能力，解题的关键是准确识别出算式中的公因式，通过因式分解将复杂的混合运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算量。
【难度系数】
0.9

10.利用因式分解计算:$17× 0.13+48× 0.13-45× 0.13=$.

10.$2.6$

【分析】
观察算式的三个乘法项都含有相同的因数0.13，符合提公因式法因式分解的结构特征。解题时先提取公因式0.13，将剩余的系数放到括号内进行加减运算，最后计算乘法即可快速得到结果，比直接逐个计算乘法再加减更简便。
【解析】
解：原式提取公因式0.13，可得：
$\begin{split}&17× 0.13+48× 0.13-45× 0.13\\=&0.13×(17 + 48 - 45)\\=&0.13×20\\=&2.6\end{split}$
【答案】
$2.6$
【知识点】
提公因式法、因式分解简便应用、有理数混合运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的典型应用，核心是识别出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的乘加、乘减运算简化，有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.9

11.分解因式：
(1)$a+ab^2$；
(2)$3a^2+4a^4$；
(3)$x^2y-5xy-y$；
(4)$3mn-m^2+6m$。

11.解:(1)原式=$a(1+b^2)$.
(2)原式=$a^2(3+4a^2)$.
(3)原式=$y(x^2-5x-1)$.
(4)原式=$m(3n-m+6)$.

【分析】
这4道小题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定多项式各项的公因式，公因式的确定规则为：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取最低次幂；第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的商相加后放在括号内即可，注意提取公因式后不能漏项，原多项式有几项，括号内就对应有几项。
【解析】
(1) 观察多项式$a+ab^2$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$后：
$a÷ a=1$，$ab^2÷ a=b^2$，因此原式$=a(1+b^2)$。
(2) 观察多项式$3a^2+4a^4$，两项的公因式为$a^2$，提取公因式$a^2$后：
$3a^2÷ a^2=3$，$4a^4÷ a^2=4a^2$，因此原式$=a^2(3+4a^2)$。
(3) 观察多项式$x^2y-5xy-y$，三项的公因式为$y$，提取公因式$y$后：
$x^2y÷ y=x^2$，$-5xy÷ y=-5x$，$-y÷ y=-1$，因此原式$=y(x^2-5x-1)$。
(4) 观察多项式$3mn-m^2+6m$，三项的公因式为$m$，提取公因式$m$后：
$3mn÷ m=3n$，$-m^2÷ m=-m$，$6m÷ m=6$，因此原式$=m(3n-m+6)$。
【答案】
(1)$a(1+b^2)$；(2)$a^2(3+4a^2)$；(3)$y(x^2-5x-1)$；(4)$m(3n-m+6)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的识别与提取能力，解题时需注意提取公因式后剩余的项不能遗漏，尤其是系数为1或-1的项不要漏写。
【难度系数】
0.9