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12.利用因式分解计算：
(1)$49×3.14 + 42×3.14 + 9×3.14$；
(2)$7×3^4 + 14×3^4 - 3×3^3$。
(1)$49×3.14 + 42×3.14 + 9×3.14$；
(2)$7×3^4 + 14×3^4 - 3×3^3$。
答案
12.解:(1)原式=$3.14×(49+42+9)$
=$3.14×100$
=$314$.
(2)原式=$7×3^4 + 14×3^4 - 3^4$
=$3^4×(7+14-1)$
=$81×20$
=$1620$.
=$3.14×100$
=$314$.
(2)原式=$7×3^4 + 14×3^4 - 3^4$
=$3^4×(7+14-1)$
=$81×20$
=$1620$.
解析
【分析】
这两道题均可以通过提公因式法简化计算，避免逐项运算的繁琐。(1)观察式子可知每一项都含有公因式3.14，先提取公因式3.14，再计算括号内整数的和，最后计算乘法即可快速得到结果；(2)首先根据同底数幂的乘法规则，将最后一项3×3³转化为3⁴，此时三项的公因式为3⁴，提取公因式后计算括号内的结果，再与3⁴的计算结果相乘即可。
【解析】
(1) 原式提取公因式3.14：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3.14×(49+42+9)\\&=3.14×100\\&=314\end{aligned}$
(2) 先化简最后一项：$3×3^3=3^{1+3}=3^4$，再提取公因式$3^4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=7×3^4 + 14×3^4 - 3^4\\&=3^4×(7+14-1)\\&=81×20\\&=1620\end{aligned}$
【答案】
(1)$314$；(2)$1620$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的乘法；有理数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的基础题型，核心是准确找出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的多步乘法运算转化为简单计算，既能提升计算速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
这两道题均可以通过提公因式法简化计算，避免逐项运算的繁琐。(1)观察式子可知每一项都含有公因式3.14，先提取公因式3.14，再计算括号内整数的和，最后计算乘法即可快速得到结果；(2)首先根据同底数幂的乘法规则，将最后一项3×3³转化为3⁴，此时三项的公因式为3⁴，提取公因式后计算括号内的结果，再与3⁴的计算结果相乘即可。
【解析】
(1) 原式提取公因式3.14：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3.14×(49+42+9)\\&=3.14×100\\&=314\end{aligned}$
(2) 先化简最后一项：$3×3^3=3^{1+3}=3^4$，再提取公因式$3^4$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=7×3^4 + 14×3^4 - 3^4\\&=3^4×(7+14-1)\\&=81×20\\&=1620\end{aligned}$
【答案】
(1)$314$；(2)$1620$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的乘法；有理数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的基础题型，核心是准确找出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的多步乘法运算转化为简单计算，既能提升计算速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
1.下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是(
A.$a(x+y-z)=ax+ay-az$
B.$a^2 -4a -21=a(a-4)-21$
C.$a^2 -2a +1=a(a-2)+1$
D.$x^3 -x=x(x+1)(x-1)$
D
).A.$a(x+y-z)=ax+ay-az$
B.$a^2 -4a -21=a(a-4)-21$
C.$a^2 -2a +1=a(a-2)+1$
D.$x^3 -x=x(x+1)(x-1)$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断式子变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，变形需满足“左边是多项式，右边是若干个整式的积”两个核心要求。解题时先牢记定义，再逐一比对四个选项的变形是否符合要求即可。
【解析】
因式分解的判定标准：①等式左边是多项式；②等式右边是多个整式的乘积形式，不能存在加减运算的余项。
选项A：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不符合因式分解定义，排除；
选项B：右边为$a(a-4)-21$，最终是差的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，排除；
选项C：右边为$a(a-2)+1$，最终是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，排除；
选项D：左边是多项式$x^3 -x$，右边是$x$、$x+1$、$x-1$三个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对因式分解定义的理解，解题关键是抓住因式分解最终结果为“几个整式乘积”的本质特征，注意区分整式乘法和因式分解的互逆关系。
【难度系数】
0.8
要判断式子变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，变形需满足“左边是多项式，右边是若干个整式的积”两个核心要求。解题时先牢记定义，再逐一比对四个选项的变形是否符合要求即可。
【解析】
因式分解的判定标准：①等式左边是多项式；②等式右边是多个整式的乘积形式，不能存在加减运算的余项。
选项A：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不符合因式分解定义，排除；
选项B：右边为$a(a-4)-21$，最终是差的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，排除；
选项C：右边为$a(a-2)+1$，最终是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，排除；
选项D：左边是多项式$x^3 -x$，右边是$x$、$x+1$、$x-1$三个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对因式分解定义的理解，解题关键是抓住因式分解最终结果为“几个整式乘积”的本质特征，注意区分整式乘法和因式分解的互逆关系。
【难度系数】
0.8
2.多项式$a(x-y)^3 + b(x-y)^2 + c(x-y)$各项的公因式是(
A.$abc(x-y)$
B.$abc(x-y)^3$
C.$(x-y)$
D.$(x-y)^3$
C
).A.$abc(x-y)$
B.$abc(x-y)^3$
C.$(x-y)$
D.$(x-y)^3$
答案
2.C
解析
【分析】
找多项式各项公因式需分两步：①先确定系数部分的公因式：取各项系数的最大公约数，本题三项系数分别为a、b、c，无公共的系数公因式，因此系数公因式为1；②再确定相同因式部分的公因式：找各项都含有的相同因式，取该因式的最低次幂，本题三项都含有整体因式(x-y)，它的次数分别为3、2、1，最低次是1次，因此相同因式部分的公因式是(x-y)，组合后即可得到整道题的公因式。
【解析】
解：确定多项式公因式的步骤如下：
1. 分析系数部分：三项的系数分别为a、b、c，三者没有公共的公因式，因此系数部分的公因式为1；
2. 分析因式部分：三项均含有因式$(x-y)$，它在三项中的次数依次是3、2、1，取最低次数1，因此因式部分的公因式为$(x-y)$；
综上，该多项式各项的公因式是$(x-y)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，解题时需注意将(x-y)看作一个整体来找公共因式，易错点是误取较高次幂作为公因式的次数，只要牢记公因式确定的规则就能正确求解。
【难度系数】
0.85
找多项式各项公因式需分两步：①先确定系数部分的公因式：取各项系数的最大公约数，本题三项系数分别为a、b、c，无公共的系数公因式，因此系数公因式为1；②再确定相同因式部分的公因式：找各项都含有的相同因式，取该因式的最低次幂，本题三项都含有整体因式(x-y)，它的次数分别为3、2、1，最低次是1次，因此相同因式部分的公因式是(x-y)，组合后即可得到整道题的公因式。
【解析】
解：确定多项式公因式的步骤如下：
1. 分析系数部分：三项的系数分别为a、b、c，三者没有公共的公因式，因此系数部分的公因式为1；
2. 分析因式部分：三项均含有因式$(x-y)$，它在三项中的次数依次是3、2、1，取最低次数1，因此因式部分的公因式为$(x-y)$；
综上，该多项式各项的公因式是$(x-y)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，解题时需注意将(x-y)看作一个整体来找公共因式，易错点是误取较高次幂作为公因式的次数，只要牢记公因式确定的规则就能正确求解。
【难度系数】
0.85
3.把多项式$x^2+mx+10$分解因式得$(x+5)(x+n)$，则$m+n$的值为
$9$
。答案
3.$9$
解析
【分析】
解题首先要明确因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，因此分解后得到的因式乘积展开后应当和原式完全相等，两个多项式相等时对应项的系数也相等。我们可以先将右边的整式乘积展开，再和原式对比系数，列出关于m、n的方程，求解出m、n的数值后代入计算m+n即可。
【解析】
先将右侧因式展开计算：
$\begin{aligned}(x+5)(x+n)&=x^2+nx+5x+5n\\&=x^2+(n+5)x+5n\end{aligned}$
根据题意得$x^2+mx+10=x^2+(n+5)x+5n$，两个多项式相等则对应项系数相等，因此可得：
1. 常数项对应：$5n=10$，解得$n=2$
2. 一次项系数对应：$m=n+5$，将$n=2$代入得$m=2+5=7$
因此$m+n=7+2=9$
【答案】
$9$
【知识点】
整式乘法运算，因式分解逆用，代数式求值
【点评】
本题是因式分解部分的基础常考题，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，熟练进行整式乘法运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，因此分解后得到的因式乘积展开后应当和原式完全相等，两个多项式相等时对应项的系数也相等。我们可以先将右边的整式乘积展开，再和原式对比系数，列出关于m、n的方程，求解出m、n的数值后代入计算m+n即可。
【解析】
先将右侧因式展开计算：
$\begin{aligned}(x+5)(x+n)&=x^2+nx+5x+5n\\&=x^2+(n+5)x+5n\end{aligned}$
根据题意得$x^2+mx+10=x^2+(n+5)x+5n$，两个多项式相等则对应项系数相等，因此可得：
1. 常数项对应：$5n=10$，解得$n=2$
2. 一次项系数对应：$m=n+5$，将$n=2$代入得$m=2+5=7$
因此$m+n=7+2=9$
【答案】
$9$
【知识点】
整式乘法运算，因式分解逆用，代数式求值
【点评】
本题是因式分解部分的基础常考题，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，熟练进行整式乘法运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.分解因式：$2a^2x - 4ay + 10a^2xy=$
$2a(ax-2y+5axy)$
.答案
4.$2a(ax-2y+5axy)$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察多项式的各项，判断是否存在公因式，按照“先定系数最大公约数，再定公共字母的最低次幂”的规则确定公因式；随后将多项式的每一项都除以公因式，得到提取公因式后剩余的多项式；最后将公因式与剩余多项式相乘，即为分解结果，过程中要注意各项符号，避免漏项。
【解析】
解：第一步，确定公因式：
① 系数部分：2、-4、10的最大公因数是2；
② 字母部分：三项都含有字母a，且a的最低次数为1，因此公因式为2a。
第二步，提取公因式2a，将每一项除以2a得到剩余部分：
$2a^2x ÷ 2a = ax$，$-4ay ÷ 2a = -2y$，$10a^2xy ÷ 2a = 5axy$
因此原式$=2a(ax - 2y + 5axy)$
【答案】
$2a(ax-2y+5axy)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，提取公因式时需逐一核对每一项的计算结果，防止出现符号错误或漏项的问题。
【难度系数】
0.9
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察多项式的各项，判断是否存在公因式，按照“先定系数最大公约数，再定公共字母的最低次幂”的规则确定公因式；随后将多项式的每一项都除以公因式，得到提取公因式后剩余的多项式；最后将公因式与剩余多项式相乘，即为分解结果，过程中要注意各项符号，避免漏项。
【解析】
解：第一步，确定公因式：
① 系数部分：2、-4、10的最大公因数是2；
② 字母部分：三项都含有字母a，且a的最低次数为1，因此公因式为2a。
第二步，提取公因式2a，将每一项除以2a得到剩余部分：
$2a^2x ÷ 2a = ax$，$-4ay ÷ 2a = -2y$，$10a^2xy ÷ 2a = 5axy$
因此原式$=2a(ax - 2y + 5axy)$
【答案】
$2a(ax-2y+5axy)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，提取公因式时需逐一核对每一项的计算结果，防止出现符号错误或漏项的问题。
【难度系数】
0.9
5.按照要求完成下列各题：
(1)计算：$2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - \dots - 2 - 1$；
(2)请说明$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能够被45整除。
(1)计算：$2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - \dots - 2 - 1$；
(2)请说明$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能够被45整除。
答案
5.解:(1)原式=$2^9(2-1)-2^8-2^7-\dots-2-1$
=$2^8(2-1)-2^7-2^6-\dots-2-1$
=$2^7(2-1)-2^6-2^5-\dots-2-1$
=$\dots$
=$2-1$
=$1$.
(2)原式=$3^{28}-3^{27}-3^{26}$
=$3^{26}(3^2-3-1)$
=$3^{24}×3^2×5$
=$3^{24}×45$.
所以$81^7-27^9-9^{13}$能够被45整除.
=$2^8(2-1)-2^7-2^6-\dots-2-1$
=$2^7(2-1)-2^6-2^5-\dots-2-1$
=$\dots$
=$2-1$
=$1$.
(2)原式=$3^{28}-3^{27}-3^{26}$
=$3^{26}(3^2-3-1)$
=$3^{24}×3^2×5$
=$3^{24}×45$.
所以$81^7-27^9-9^{13}$能够被45整除.
解析
【分析】
(1) 观察算式可知各项均为2的幂，且相邻两项中前项是后项的2倍，可从最高次项开始，逐步对相邻两项提取公因式化简，最终得到结果。
(2) 要证明式子能被45整除，需将式子转化为45与整数乘积的形式。首先将81、27、9均转化为以3为底的幂，利用幂的乘方统一底数，再提取最低次公因式，计算后验证是否含有因数45即可。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^9×(2-1)-2^8-2^7-\dots-2-1\\&=2^8×(2-1)-2^7-\dots-2-1\\&=2^7×(2-1)-2^6-\dots-2-1\\&\dots\\&=2-1\\&=1\end{aligned}$
(2) 证明过程：
先统一底数：$81=3^4$，$27=3^3$，$9=3^2$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3^4)^7-(3^3)^9-(3^2)^{13}\\&=3^{28}-3^{27}-3^{26}\\&=3^{26}×(3^2-3-1)\\&=3^{26}×5\\&=3^{24}×3^2×5\\&=3^{24}×45\end{aligned}$
因为$3^{24}$是正整数，所以原式是45的整数倍，即$81^7-27^9-9^{13}$能够被45整除。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $81^7-27^9-9^{13}$能够被45整除。
【知识点】
提公因式法分解因式，幂的乘方运算，整除的判定
【点评】
本题考查提公因式法在化简计算和整除证明中的应用，解题关键是观察式子特征，灵活运用幂的运算性质简化运算，属于因式分解的基础应用题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式可知各项均为2的幂，且相邻两项中前项是后项的2倍，可从最高次项开始，逐步对相邻两项提取公因式化简，最终得到结果。
(2) 要证明式子能被45整除，需将式子转化为45与整数乘积的形式。首先将81、27、9均转化为以3为底的幂，利用幂的乘方统一底数，再提取最低次公因式，计算后验证是否含有因数45即可。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^9×(2-1)-2^8-2^7-\dots-2-1\\&=2^8×(2-1)-2^7-\dots-2-1\\&=2^7×(2-1)-2^6-\dots-2-1\\&\dots\\&=2-1\\&=1\end{aligned}$
(2) 证明过程：
先统一底数：$81=3^4$，$27=3^3$，$9=3^2$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3^4)^7-(3^3)^9-(3^2)^{13}\\&=3^{28}-3^{27}-3^{26}\\&=3^{26}×(3^2-3-1)\\&=3^{26}×5\\&=3^{24}×3^2×5\\&=3^{24}×45\end{aligned}$
因为$3^{24}$是正整数，所以原式是45的整数倍，即$81^7-27^9-9^{13}$能够被45整除。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $81^7-27^9-9^{13}$能够被45整除。
【知识点】
提公因式法分解因式，幂的乘方运算，整除的判定
【点评】
本题考查提公因式法在化简计算和整除证明中的应用，解题关键是观察式子特征，灵活运用幂的运算性质简化运算，属于因式分解的基础应用题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
