3. 求下列各数的平方根：
(1) $\frac{49}{81}$；
(2) $(-2)^2$；
(3) $0.1^{-2}$；
(4) 3.

解：
(1) ∵ $(±\frac{7}{9})^2 = \frac{49}{81}$，
∴ $\frac{49}{81}$的平方根是$±\frac{7}{9}$；
(2) ∵ $(-2)^2 = 4$，且$(±2)^2 = 4$，
∴ $(-2)^2$的平方根是$±2$；
(3) ∵ $0.1^{-2} = \frac{1}{0.1^2} = 100$，且$(±10)^2 = 100$，
∴ $0.1^{-2}$的平方根是$±10$；
(4) ∵ $(±\sqrt{3})^2 = 3$，
∴ 3的平方根是$±\sqrt{3}$。

【分析】
解题核心依据是平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0。解题时先将每个待求平方根的数化简为最简形式，再找出平方后等于该数的两个互为相反数的数，即为对应的平方根。
【解析】
(1)
∵ $(±\frac{7}{9})^2 = \frac{49}{81}$，
∴ $\frac{49}{81}$的平方根是$±\frac{7}{9}$；
(2)
∵ $(-2)^2 = 4$，且$(±2)^2 = 4$，
∴ $(-2)^2$的平方根是$±2$；
(3)
∵ $0.1^{-2} = \frac{1}{0.1^2} = 100$，且$(±10)^2 = 100$，
∴ $0.1^{-2}$的平方根是$±10$；
(4)
∵ $(±\sqrt{3})^2 = 3$，
∴ 3的平方根是$±\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$±\frac{7}{9}$；(2)$±2$；(3)$±10$；(4)$±\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的定义，负整数指数幂运算，有理数乘方
【点评】
本题是平方根求解的基础题，解题时需先将所给数化简，再结合平方根定义求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8

4. 求下列各式中的$x$：
(1) $2x^2=10$；
(2) $3x^2 -75=0$。

解：
(1) 两边同时除以2，得
$x^2 = 5$
由平方根的定义，得
$x = \pm\sqrt{5}$
(2) 移项，得
$3x^2 = 75$
两边同时除以3，得
$x^2 = 25$
由平方根的定义，得
$x = \pm5$

【分析】
这两道题都是求解含$x^2$的简单方程，解题思路清晰可遵循：第一步先通过移项、系数化为1的操作，把方程整理为$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式；第二步根据平方根的定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$就是$a$的平方根，记作$x=\pm\sqrt{a}$；第三步写出结果，注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根。
【解析】
(1) 两边同时除以2，得
$x^2 = 5$
由平方根的定义，得
$x = \pm\sqrt{5}$
(2) 移项，得
$3x^2 = 75$
两边同时除以3，得
$x^2 = 25$
由平方根的定义，得
$x = \pm5$
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{5}$；(2) $x=\pm5$
【知识点】
平方根的定义；等式的基本性质
【点评】
本题是平方根概念的基础应用，解题核心是先将方程转化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再利用平方根的定义求解，需注意正数的平方根互为相反数，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8

5. 在平方根的学习中，我们做过以下思考：
(1) ① $(\sqrt{3^2})=$ ；② $\sqrt{(\frac{1}{4})^2}=$ ；③ $\sqrt{0.1^2}=$ ；
④ $(\sqrt{(-3)^2})=$ ；⑤ $\sqrt{(-\frac{1}{4})^2}=$ ；⑥ $\sqrt{(-0.1)^2}=$ .
(2) 你有什么发现？你能根据平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？

解：
(1) ① $3$；② $\frac{1}{4}$；③ $0.1$；④ $3$；⑤ $\frac{1}{4}$；⑥ $0.1$。
(2) 发现：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
理由：根据算术平方根的定义，算术平方根的运算结果一定是非负数。
当$a≥0$时，$a$是非负数，$a^2$的算术平方根就是$a$，符合结果非负的要求；
当$a＜0$时，$a$是负数，$a^2$是正数，它的算术平方根是正数，也就是$a$的相反数$-a$，结果同样非负。
符号语言描述：$\sqrt{a^2}=|a|$，即
$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a & (a≥0) \\-a & (a＜0)\end{cases}$

【分析】
解决第(1)问时，先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。计算时先求出根号内平方的结果，再求它的算术平方根即可。解决第(2)问时，先观察第(1)问的计算结果，对比根号内底数的正负和最终结果的关系，结合算术平方根结果非负的特点，分底数非负和底数为负两种情况说明理由，最后用字母和绝对值符号总结规律即可。
【解析】
(1) ① 先计算$3^2=9$，9的算术平方根是3，因此$\sqrt{3^2}=3$；
② 先计算$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$\frac{1}{16}$的算术平方根是$\frac{1}{4}$，因此$\sqrt{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{4}$；
③ 先计算$0.1^2=0.01$，0.01的算术平方根是0.1，因此$\sqrt{0.1^2}=0.1$；
④ 先计算$(-3)^2=9$，9的算术平方根是3，因此$\sqrt{(-3)^2}=3$；
⑤ 先计算$(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$\frac{1}{16}$的算术平方根是$\frac{1}{4}$，因此$\sqrt{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{4}$；
⑥ 先计算$(-0.1)^2=0.01$，0.01的算术平方根是0.1，因此$\sqrt{(-0.1)^2}=0.1$。
(2) 观察上述计算结果可发现规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
理由说明：根据算术平方根的定义，算术平方根的运算结果一定是非负数。当$a≥0$时，$a$是非负数，$a^2$的算术平方根就是$a$，符合结果非负的要求；当$a＜0$时，$a$是负数，$a^2$是正数，它的算术平方根是正数，也就是$a$的相反数$-a$，结果同样非负。
符号语言描述为：$\sqrt{a^2}=|a|$，即$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a & (a≥0) \\-a & (a＜0)\end{cases}$
【答案】
(1) ① $3$；② $\frac{1}{4}$；③ $0.1$；④ $3$；⑤ $\frac{1}{4}$；⑥ $0.1$。
(2) 发现：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
理由：根据算术平方根的定义，算术平方根的运算结果一定是非负数。
当$a≥0$时，$a$是非负数，$a^2$的算术平方根就是$a$，符合结果非负的要求；
当$a＜0$时，$a$是负数，$a^2$是正数，它的算术平方根是正数，也就是$a$的相反数$-a$，结果同样非负。
符号语言描述：$\sqrt{a^2}=|a|$，即
$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a & (a≥0) \\-a & (a＜0)\end{cases}$
【知识点】
算术平方根的定义、二次根式的性质、绝对值的意义
【点评】
本题通过从具体数值计算到一般规律总结的过程，加深对算术平方根非负性的理解，掌握$\sqrt{a^2}$的化简规则，是二次根式运算的重要基础。
【难度系数】
0.8