登录
6. 下列式子是否一定有平方根？如果一定有，请用含a的代数式表示；如果不一定有，请举例说明.
(1) $2a$；
(2) $a^2+2$.
(1) $2a$；
(2) $a^2+2$.
答案
解：
(1) 不一定有平方根。
例如当$a=-1$时，$2a=-2$，负数没有平方根，因此$2a$不一定有平方根。
(2) 一定有平方根。
因为对任意实数$a$，都有$a^2\ge0$，所以$a^2+2\ge2＞0$，恒为非负数，因此它一定有平方根，平方根为$\pm\sqrt{a^2+2}$。
(1) 不一定有平方根。
例如当$a=-1$时，$2a=-2$，负数没有平方根，因此$2a$不一定有平方根。
(2) 一定有平方根。
因为对任意实数$a$，都有$a^2\ge0$，所以$a^2+2\ge2＞0$，恒为非负数，因此它一定有平方根，平方根为$\pm\sqrt{a^2+2}$。
解析
【分析】
判断一个式子是否有平方根的核心依据是平方根的性质：只有非负数（大于等于0的数）才有平方根，负数没有平方根。解题时分别分析两个式子的取值范围即可：
① 对于$2a$，$a$是任意实数，$2a$的符号随$a$的取值变化，若存在$a$使得$2a$为负数，则$2a$不一定有平方根，举反例说明即可；
② 对于$a^2+2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，可推出$a^2+2$的取值恒为正数，属于非负数，因此一定有平方根，再按平方根的表示规则写出结果即可。
【解析】
(1) $2a$不一定有平方根。
举例：当$a=-1$时，$2a=2×(-1)=-2$，因为负数没有平方根，所以此时$2a$没有平方根，因此$2a$不一定有平方根。
(2) $a^2+2$一定有平方根。
理由：$\because$ 对任意实数$a$，都有$a^2\ge0$，
$\therefore a^2+2\ge0+2=2＞0$，即$a^2+2$的值恒为正数，属于非负数，
$\therefore$ 它一定有平方根，平方根为$\pm\sqrt{a^2+2}$。
【答案】
(1) 不一定有平方根，例如当$a=-1$时，$2a=-2$没有平方根；
(2) 一定有平方根，平方根为$\pm\sqrt{a^2+2}$。
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 偶次幂的非负性
【点评】
本题重点考查平方根存在的前提条件，解题的关键是牢记只有非负数才有平方根，通过判断代数式的取值范围即可得出结论，举反例是判断“不一定成立”类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
判断一个式子是否有平方根的核心依据是平方根的性质：只有非负数（大于等于0的数）才有平方根，负数没有平方根。解题时分别分析两个式子的取值范围即可：
① 对于$2a$，$a$是任意实数，$2a$的符号随$a$的取值变化，若存在$a$使得$2a$为负数，则$2a$不一定有平方根，举反例说明即可；
② 对于$a^2+2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，可推出$a^2+2$的取值恒为正数，属于非负数，因此一定有平方根，再按平方根的表示规则写出结果即可。
【解析】
(1) $2a$不一定有平方根。
举例：当$a=-1$时，$2a=2×(-1)=-2$，因为负数没有平方根，所以此时$2a$没有平方根，因此$2a$不一定有平方根。
(2) $a^2+2$一定有平方根。
理由：$\because$ 对任意实数$a$，都有$a^2\ge0$，
$\therefore a^2+2\ge0+2=2＞0$，即$a^2+2$的值恒为正数，属于非负数，
$\therefore$ 它一定有平方根，平方根为$\pm\sqrt{a^2+2}$。
【答案】
(1) 不一定有平方根，例如当$a=-1$时，$2a=-2$没有平方根；
(2) 一定有平方根，平方根为$\pm\sqrt{a^2+2}$。
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 偶次幂的非负性
【点评】
本题重点考查平方根存在的前提条件，解题的关键是牢记只有非负数才有平方根，通过判断代数式的取值范围即可得出结论，举反例是判断“不一定成立”类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
7. 若一个正数的平方根是$2x+1$和$x-7$，则这个正数是多少？
答案
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(2x+1)+(x-7)=0$，
解得 $3x-6=0$，$x=2$。
将$x=2$代入$2x+1$，得$2×2+1=5$，
∴ 这个正数为$5^2=25$。
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(2x+1)+(x-7)=0$，
解得 $3x-6=0$，$x=2$。
将$x=2$代入$2x+1$，得$2×2+1=5$，
∴ 这个正数为$5^2=25$。
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数。我们可以利用这个性质，先列出关于x的一元一次方程求出x的值，再将x代入其中一个平方根的表达式，最后对所得的平方根求平方，就能得到这个正数。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(2x+1)+(x-7)=0$，
整理得$3x-6=0$，解得$x=2$。
将$x=2$代入$2x+1$，得$2×2+1=5$，
∴ 这个正数为$5^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是平方根部分的基础常考题，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求解参数即可得到最终结果，重在考查对基础概念的理解和简单运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数。我们可以利用这个性质，先列出关于x的一元一次方程求出x的值，再将x代入其中一个平方根的表达式，最后对所得的平方根求平方，就能得到这个正数。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(2x+1)+(x-7)=0$，
整理得$3x-6=0$，解得$x=2$。
将$x=2$代入$2x+1$，得$2×2+1=5$，
∴ 这个正数为$5^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是平方根部分的基础常考题，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求解参数即可得到最终结果，重在考查对基础概念的理解和简单运用。
【难度系数】
0.8
