画$△ ABC$，使$AB=2\ \mathrm{cm}$，$AC=1\ \mathrm{cm}$，$∠ B=20°$. 你画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？

解：你画的三角形与其他同学画的三角形不一定全等。
题中给出的条件是两边及其中一边的对角分别相等，并非两边及其夹角对应相等，不符合本章所学的“SAS”全等三角形判定条件，满足该组条件的三角形可以画出两种不同的形态，因此不同同学画出的三角形不一定全等。

【分析】
首先梳理题目给出的三角形已知条件：AB=2cm，AC=1cm，∠B=20°，属于两边及其中一边的对角的条件组合。接下来回忆全等三角形“SAS”判定定理的要求：必须是两边及其夹角对应相等才能判定两个三角形全等。随后判断已知的∠B是不是AB、AC两边的夹角：AB和AC的夹角是∠A，不是∠B，因此该条件不符合SAS的要求。最后结合“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”的结论，就能判断不同同学画的三角形是否全等。
【解析】
1. 先明确已知条件：要画的△ABC中，AB=2cm，AC=1cm，∠B=20°，该组条件是“两边及其中一边的对角分别相等”，属于SSA的条件组合。
2. 回忆全等三角形的“SAS”判定规则：只有当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形才全等。
3. 对比本题条件：本题给出的∠B不是已知两边AB、AC的夹角，且满足该组条件的三角形可以画出两种不同的形态，因此不同同学画出的三角形不一定全等。
【答案】
不一定全等
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等判定条件辨析
【点评】
本题核心考查对全等三角形“SAS”判定定理的理解，重点需要区分“两边及夹角”和“两边及其中一边的对角”的差异，明确“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免对判定定理的概念混淆。
【难度系数】
0.7

例1 如图1-6，AB=AE，∠BAD=∠EAC，AC=AD。求证：BC=DE。 图1-6

证明：
∵ ∠BAD = ∠EAC，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB = AE \\∠BAC = ∠EAD \\AC = AD\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS），
∴ BC = DE。

【分析】
要证明线段BC=DE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察待证边对应的三角形：BC在△ABC中，DE在△AED中，已知AB=AE、AC=AD，缺少两个三角形的夹角相等的条件。结合已知∠BAD=∠EAC，给这两个等角同时加上公共角∠DAC，即可得到夹角∠BAC=∠EAD，满足“边角边”的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ ∠BAD = ∠EAC，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB = AE \\∠BAC = ∠EAD \\AC = AD\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS），
∴ BC = DE。
【答案】
证明过程如上，BC=DE得证。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题核心是通过角的和差关系推导得到全等所需的等角条件，熟练掌握边角边判定定理和全等三角形的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

例2 如图1-7，C是AB的中点，CD=BE，CD//BE.试判断AD与CE的关系，并说明理由.

解：AD与CE的关系是AD=CE，且AD//CE。
理由如下：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = CB。
∵ CD//BE，
∴ ∠ACD = ∠CBE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AC = CB \\∠ACD = ∠CBE \\CD = BE\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。
∴ AD = CE，∠A = ∠BCE。
∴ AD//CE（同位角相等，两直线平行）。

【分析】
要判断AD与CE的关系，需同时考虑数量关系和位置关系，我们可以通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先梳理已知条件找全等依据：由C是AB中点可得一组边相等，由CD//BE可得一组同位角相等，再结合已知的CD=BE，刚好满足“SAS”的全等判定条件。证得三角形全等后，既可直接得到对应边AD和CE的数量关系，也可通过对应角相等推导两条线的位置关系。
【解析】
解：AD与CE的关系是AD=CE，且AD//CE，理由如下：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = CB。
∵ CD//BE，
∴ ∠ACD = ∠CBE（两直线平行，同位角相等）。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AC = CB \\∠ACD = ∠CBE \\CD = BE\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。
∴ AD = CE，∠A = ∠BCE（全等三角形对应边相等，对应角相等）。
∴ AD//CE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AD=CE，且AD//CE
【知识点】
SAS判定三角形全等，平行线的判定与性质，中点的定义
【点评】
本题是全等三角形与平行线知识结合的基础题型，解题时要注意线段的关系包含数量关系和位置关系两类，避免遗漏位置关系，熟练掌握边角边判定定理和平行线的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

1. 两边及其分别相等的两个三角形全等(简写成“”或“”).
如图，∵ AB=A'B'，∠B=，BC=，
∴ △ABC≌△A'B'C'().

解：两边及其$\boldsymbol{夹角}$分别相等的两个三角形全等(简写成“$\boldsymbol{边角边}$”或“$\boldsymbol{SAS}$”).
如图，∵ $AB=A'B'$，$∠ B=\boldsymbol{∠ B'}$，$BC=\boldsymbol{B'C'}$，
∴ $△ ABC≌△ A'B'C'$($\boldsymbol{SAS}$或边角边).

【分析】
本题考查全等三角形“边角边”判定定理的识记与基础应用，解题思路如下：首先回忆该判定定理的内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”，缩写为“SAS”；再结合图形匹配两个三角形的对应元素：已知AB与A'B'相等，接下来找到∠B的对应角、BC的对应边，满足“两边夹一角”对应相等的条件，即可依据定理判定两个三角形全等。
【解析】
根据全等三角形“边角边”判定定理的内容：
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可简写成“边角边”，也可用字母表示为“SAS”；
2. 观察题图中两个三角形的对应关系：AB的对应边为A'B'，∠B的对应角为∠B'，BC的对应边为B'C'，即满足条件$AB=A'B'$，$∠B=∠B'$，$BC=B'C'$，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定要求，因此可依据SAS判定$△ABC≌△A'B'C'$。
【答案】
夹角；边角边；SAS；$\boldsymbol{∠B'}$；$\boldsymbol{B'C'}$；SAS（或边角边）
【知识点】
SAS判定定理；对应边识别；对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定模块的基础练习题，核心考查对“边角边”判定定理的掌握程度，解题时要注意定理中“夹角”的要求，只有两边和它们的夹角对应相等才能判定全等，准确识别对应边和对应角是得分的关键。
【难度系数】
0.9

2. 如图，AD是△ABD和△ACD的公共边.
（1）已知AB=AC，再具备条件，就可以根据“SAS”得到△ABD≌△ACD；
（2）已知BD=CD，再具备条件，就可以根据“SAS”得到△ABD≌△ACD.

解：
（1）在△ABD和△ACD中，已知AB=AC，AD为公共边即AD=AD，根据“SAS”判定全等，需要两组对应边的夹角相等，因此需满足条件$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；
（2）在△ABD和△ACD中，已知BD=CD，AD为公共边即AD=AD，根据“SAS”判定全等，需要两组对应边的夹角相等，因此需满足条件$\boldsymbol{∠ ADB=∠ ADC}$。

【分析】
首先回忆全等三角形“SAS”判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。解题时先明确△ABD和△ACD中已知的对应边，再找到这两组对应边的夹角，补充夹角相等的条件即可。
（1）已知AB=AC，AD是两个三角形的公共边，即AD=AD，这两组对应边的夹角为∠BAD和∠CAD，补充这两个角相等即可满足SAS判定要求；
（2）已知BD=CD，AD是两个三角形的公共边，即AD=AD，这两组对应边的夹角为∠ADB和∠ADC，补充这两个角相等即可满足SAS判定要求。
【解析】
（1）在△ABD和△ACD中，已知AB=AC，AD为公共边即AD=AD，根据“SAS”判定全等，需要两组对应边的夹角相等，因此需满足条件$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；
（2）在△ABD和△ACD中，已知BD=CD，AD为公共边即AD=AD，根据“SAS”判定全等，需要两组对应边的夹角相等，因此需满足条件$\boldsymbol{∠ ADB=∠ ADC}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；（2）$\boldsymbol{∠ ADB=∠ ADC}$
【知识点】
全等三角形SAS判定，公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形“SAS”判定定理的基础应用，解题的关键是明确“SAS”中的角必须是两组对应边的夹角，要注意区分对应边和对应角的位置关系，避免混淆边边角的错误判定。
【难度系数】
0.9

3. 如图，$AC=DB$，$∠1=∠2$，则$△ ABC≌$，$∠ ABD=$。

$△ DCB$；$∠ ACD$

【分析】
首先梳理已知条件：已知$AC=DB$，$∠1=∠2$，同时$BC$是$△ ABC$和$△ DCB$的公共边。要证明三角形全等，可对照全等判定定理，这里两边及夹角对应相等，符合SAS判定条件，可先证明$△ ABC≌△ DCB$。再利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ABC=∠DCB$，结合$∠1=∠2$，通过角的和差关系即可推出$∠ABD$的相等角。
【解析】
1. 证明$△ ABC≌△ DCB$：
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\{\begin{array}{l}AC=DB(\mathrm{已知})\\∠ 2=∠ 1(\mathrm{已知})\\BC=CB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABC ≌ △ DCB$（SAS）。
2. 推导$∠ABD$的相等角：
由$△ ABC≌△ DCB$可得，对应角$∠ABC=∠DCB$。
又
∵$∠ABC=∠1+∠ABD$，$∠DCB=∠2+∠ACD$，且已知$∠1=∠2$，
∴$∠ABC-∠1=∠DCB-∠2$，即$∠ABD=∠ACD$。
【答案】
$△ DCB$；$∠ ACD$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题的关键是挖掘图形中公共边这一隐含条件，结合已知的边、角相等关系用SAS判定全等，再利用全等性质和角的和差运算求解，重点考查对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8