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4. 如图，点D在AC上，点E在AB上，AB=AC，AD=AE. 求证：△ABD≌△ACE.
答案
证明：在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角}),\\AD=AE\quad(\mathrm{已知}),\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角}),\\AD=AE\quad(\mathrm{已知}),\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
解析
【分析】
要证明△ABD≌△ACE，首先梳理已知条件：题目给出AB=AC、AD=AE两组对应边相等，接下来需找到两组边的夹角相等。观察图形可得∠A是△ABD和△ACE的公共角，且恰好是两组已知相等对应边的夹角，符合“边角边（SAS）”的全等判定条件，按规范格式整理条件即可完成证明。
【解析】
证明：在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角}),\\AD=AE\quad(\mathrm{已知}),\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
【答案】
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角}),\\AD=AE\quad(\mathrm{已知}),\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
【知识点】
SAS判定三角形全等、公共角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，主要考查边角边判定定理的应用，解题关键是挖掘出图形中隐含的公共角相等的条件，熟练掌握全等判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要证明△ABD≌△ACE，首先梳理已知条件：题目给出AB=AC、AD=AE两组对应边相等，接下来需找到两组边的夹角相等。观察图形可得∠A是△ABD和△ACE的公共角，且恰好是两组已知相等对应边的夹角，符合“边角边（SAS）”的全等判定条件，按规范格式整理条件即可完成证明。
【解析】
证明：在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角}),\\AD=AE\quad(\mathrm{已知}),\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
【答案】
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad(\mathrm{已知}),\\∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角}),\\AD=AE\quad(\mathrm{已知}),\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
【知识点】
SAS判定三角形全等、公共角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，主要考查边角边判定定理的应用，解题关键是挖掘出图形中隐含的公共角相等的条件，熟练掌握全等判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5. 如图,点A,B,C在一条直线上,AD//BE,AD=BC,AB=BE.求证:BD=CE. 
（第5题）
（第5题）答案
证明：
∵ AD//BE，
∴ ∠A = ∠EBC（两直线平行，同位角相等）。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠A = ∠EBC \\AB = BE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ BD = CE。
∵ AD//BE，
∴ ∠A = ∠EBC（两直线平行，同位角相等）。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠A = ∠EBC \\AB = BE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ BD = CE。
解析
【分析】
要证明BD=CE，可通过证明BD、CE所在的△ABD和△BCE全等来推导。首先根据已知AD//BE，可利用平行线的性质得到一组同位角相等；再结合题目给出的AD=BC、AB=BE两组边相等的条件，刚好符合全等三角形“边角边”的判定要求，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ AD//BE，
∴ ∠A = ∠EBC（两直线平行，同位角相等）。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠A = ∠EBC \\AB = BE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ BD = CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题的核心是结合平行性质找到全等所需的等角条件，再利用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等，整体逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，可通过证明BD、CE所在的△ABD和△BCE全等来推导。首先根据已知AD//BE，可利用平行线的性质得到一组同位角相等；再结合题目给出的AD=BC、AB=BE两组边相等的条件，刚好符合全等三角形“边角边”的判定要求，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ AD//BE，
∴ ∠A = ∠EBC（两直线平行，同位角相等）。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC \\∠A = ∠EBC \\AB = BE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ BD = CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题的核心是结合平行性质找到全等所需的等角条件，再利用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等，整体逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC延长线上的一点，连接AD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE。用学过的知识探索AC，CD，CE三条线段之间的数量关系，试写出探究过程。
（第6题）
（第6题）答案
证明：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ BD=CE。
∵ 点D在BC的延长线上，
∴ BD = BC + CD，
又∵ BC=AC，
∴ BD = AC + CD，
∴ CE = AC + CD。
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ BD=CE。
∵ 点D在BC的延长线上，
∴ BD = BC + CD，
又∵ BC=AC，
∴ BD = AC + CD，
∴ CE = AC + CD。
解析
【分析】
要探究AC、CD、CE三条线段的数量关系，首先结合已知的两个等边三角形，可尝试通过全等三角形转化线段。首先由等边三角形的性质可得AC=BC，而BC与CD的和为BD，因此只需证明BD=CE即可建立三条线段的联系。要证BD=CE，可证明△BAD和△CAE全等：先利用等边三角形的性质得到两组边相等，再通过角的和差推导得到两组边的夹角相等，即可用SAS判定两个三角形全等，再结合线段和的关系即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ BD=CE。
∵ 点D在BC的延长线上，
∴ BD = BC + CD，
又
∵ BC=AC，
∴ BD = AC + CD，
∴ CE = AC + CD。
【答案】
$\boldsymbol{CE=AC+CD}$
【知识点】
等边三角形的性质、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形结合的常规题型，解题的核心是抓住共顶点等边三角形的特征，推导得到全等三角形，进而实现线段的转化，熟练掌握全等的判定方法和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要探究AC、CD、CE三条线段的数量关系，首先结合已知的两个等边三角形，可尝试通过全等三角形转化线段。首先由等边三角形的性质可得AC=BC，而BC与CD的和为BD，因此只需证明BD=CE即可建立三条线段的联系。要证BD=CE，可证明△BAD和△CAE全等：先利用等边三角形的性质得到两组边相等，再通过角的和差推导得到两组边的夹角相等，即可用SAS判定两个三角形全等，再结合线段和的关系即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ BD=CE。
∵ 点D在BC的延长线上，
∴ BD = BC + CD，
又
∵ BC=AC，
∴ BD = AC + CD，
∴ CE = AC + CD。
【答案】
$\boldsymbol{CE=AC+CD}$
【知识点】
等边三角形的性质、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形结合的常规题型，解题的核心是抓住共顶点等边三角形的特征，推导得到全等三角形，进而实现线段的转化，熟练掌握全等的判定方法和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线。
（1）求证：$AD=A'D'$。
（2）用文字语言叙述第（1）题的结论。
（1）求证：$AD=A'D'$。
（2）用文字语言叙述第（1）题的结论。
答案
证明：(1)
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$∠ B = ∠ B'$。
∵ $AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
∴ $BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BD = B'D'\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SAS），
∴ $AD = A'D'$。
(2) 全等三角形的对应中线相等。
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$，
∴ $AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$∠ B = ∠ B'$。
∵ $AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
∴ $BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BD = B'D'\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SAS），
∴ $AD = A'D'$。
(2) 全等三角形的对应中线相等。
解析
【分析】
要证明$AD=A'D'$，可通过证明两条线段所在的$△ ABD$和$△ A'B'D'$全等来实现。首先由已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，可得到对应边、对应角相等的关系；再结合中线的定义，可推导出$BD=B'D'$，此时满足SAS全等判定条件，即可证明两个小三角形全等，进而得到对应边$AD=A'D'$。第二问只需将推导得到的结论用规范的文字语言表述即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$∠ B = ∠ B'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BD = B'D'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'$（SAS），
$\therefore AD = A'D'$。
(2) 把上述结论用文字表述为：全等三角形的对应中线相等。
【答案】
(1) $AD=A'D'$，证明见解析；
(2) 全等三角形的对应中线相等。
【知识点】
全等三角形的性质、SAS判定三角形全等、三角形中线的定义
【点评】
本题属于全等三角形性质与判定的基础应用题目，解题核心是从待证的相等线段出发，定位线段所在的三角形，结合已知条件推导全等所需的边、角相等关系，熟练掌握全等三角形的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明$AD=A'D'$，可通过证明两条线段所在的$△ ABD$和$△ A'B'D'$全等来实现。首先由已知$△ ABC≌△ A'B'C'$，可得到对应边、对应角相等的关系；再结合中线的定义，可推导出$BD=B'D'$，此时满足SAS全等判定条件，即可证明两个小三角形全等，进而得到对应边$AD=A'D'$。第二问只需将推导得到的结论用规范的文字语言表述即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$∠ B = ∠ B'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BD = B'D'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'$（SAS），
$\therefore AD = A'D'$。
(2) 把上述结论用文字表述为：全等三角形的对应中线相等。
【答案】
(1) $AD=A'D'$，证明见解析；
(2) 全等三角形的对应中线相等。
【知识点】
全等三角形的性质、SAS判定三角形全等、三角形中线的定义
【点评】
本题属于全等三角形性质与判定的基础应用题目，解题核心是从待证的相等线段出发，定位线段所在的三角形，结合已知条件推导全等所需的边、角相等关系，熟练掌握全等三角形的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
