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6. 比较$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}+1$的大小.
答案
解：
分别对两个正数平方，得
$(\sqrt{5})^2 = 5$，
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$2\sqrt{2}＞2$，
所以$3+2\sqrt{2} ＞ 3+2 =5$，
即$(\sqrt{2}+1)^2 ＞ (\sqrt{5})^2$。
又因为$\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{2}+1＞0$，
所以$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{5}$。
分别对两个正数平方，得
$(\sqrt{5})^2 = 5$，
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$2\sqrt{2}＞2$，
所以$3+2\sqrt{2} ＞ 3+2 =5$，
即$(\sqrt{2}+1)^2 ＞ (\sqrt{5})^2$。
又因为$\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{2}+1＞0$，
所以$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{5}$。
解析
【分析】
要比较两个带根号的正数的大小，可利用“两个正数，平方大的数本身也更大”的性质，通过平方法去掉根号简化计算。首先先判断两个数均为正数，再分别计算两数的平方，比较平方结果的大小，最后反推原数的大小关系即可。
【解析】
因为$\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{2}+1＞0$，可通过比较两数平方的大小判断原数大小：
分别计算两数的平方：
$(\sqrt{5})^2 = 5$，
根据完全平方公式，$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$2\sqrt{2}＞2×1=2$，
因此$3+2\sqrt{2} ＞ 3+2 =5$，即$(\sqrt{2}+1)^2 ＞ (\sqrt{5})^2$。
根据正数平方越大，原数越大的性质，可得$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的运算；完全平方公式
【点评】
平方法是比较带根号正数大小的常用方法，使用时需先确认两个数均为正数，才能通过平方结果的大小反推原数的大小关系，解题过程中要注意二次根式运算和乘法公式的正确使用。
【难度系数】
0.8
要比较两个带根号的正数的大小，可利用“两个正数，平方大的数本身也更大”的性质，通过平方法去掉根号简化计算。首先先判断两个数均为正数，再分别计算两数的平方，比较平方结果的大小，最后反推原数的大小关系即可。
【解析】
因为$\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{2}+1＞0$，可通过比较两数平方的大小判断原数大小：
分别计算两数的平方：
$(\sqrt{5})^2 = 5$，
根据完全平方公式，$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$2\sqrt{2}＞2×1=2$，
因此$3+2\sqrt{2} ＞ 3+2 =5$，即$(\sqrt{2}+1)^2 ＞ (\sqrt{5})^2$。
根据正数平方越大，原数越大的性质，可得$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{2}+1 ＞ \sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的运算；完全平方公式
【点评】
平方法是比较带根号正数大小的常用方法，使用时需先确认两个数均为正数，才能通过平方结果的大小反推原数的大小关系，解题过程中要注意二次根式运算和乘法公式的正确使用。
【难度系数】
0.8
7. 填写下表，并回答问题：
（1）表格中$x=$，$y=$.
（2）从表格中观察$a$与$\sqrt{a}$的数位，你发现了什么？
（3）你能从立方根出发，发现类似的结论吗？
（1）表格中$x=$，$y=$.
（2）从表格中观察$a$与$\sqrt{a}$的数位，你发现了什么？
（3）你能从立方根出发，发现类似的结论吗？
答案
解：
(1) $\because x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$，
$\therefore x=\boldsymbol{0.1}$，$y=\boldsymbol{10}$。
(2) 发现的规律：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(3) 立方根的类似结论：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(1) $\because x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$，
$\therefore x=\boldsymbol{0.1}$，$y=\boldsymbol{10}$。
(2) 发现的规律：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(3) 立方根的类似结论：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
解析
【分析】
（1）求x、y的值需依据算术平方根的定义求解：x是0.01的算术平方根，y是100的算术平方根，找到平方后分别等于0.01、100的正数，即可得到x、y的结果。
（2）总结规律时，依次对比表格中每组a和$\sqrt{a}$的小数点移动方向、移动位数，就能归纳出二者的数位变化关系。
（3）类比算术平方根的规律，结合立方运算的次数特征，调整对应移动位数即可得到立方根的类似结论。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于$a$，这个正数就是$a$的算术平方根。
计算$x$：$\because 0.1^2=0.01$，$\therefore x=\sqrt{0.01}=0.1$；
计算$y$：$\because 10^2=100$，$\therefore y=\sqrt{100}=10$。
(2) 观察表格中对应数据：
$a$从0.0001到0.01，小数点向右移动2位，对应的$\sqrt{a}$从0.01到0.1，小数点向右移动1位；$a$从0.01到1、从1到100等都符合该变化规律，向左移动时规律同样成立，因此可得规律。
(3) 类比算术平方根的规律，结合立方运算的次数为3，推导可得立方根的对应规律。
【答案】
(1) $0.1$；$10$
(2) 被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(3) 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 开方运算数位规律
3. 立方根的性质
【点评】
本题既考查基础的开方运算能力，又引导学生通过观察归纳总结规律，渗透了类比推理的数学思想，能帮助学生理解开方运算和乘方运算的对应关系，提升规律探究的能力。
【难度系数】
0.8
（1）求x、y的值需依据算术平方根的定义求解：x是0.01的算术平方根，y是100的算术平方根，找到平方后分别等于0.01、100的正数，即可得到x、y的结果。
（2）总结规律时，依次对比表格中每组a和$\sqrt{a}$的小数点移动方向、移动位数，就能归纳出二者的数位变化关系。
（3）类比算术平方根的规律，结合立方运算的次数特征，调整对应移动位数即可得到立方根的类似结论。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于$a$，这个正数就是$a$的算术平方根。
计算$x$：$\because 0.1^2=0.01$，$\therefore x=\sqrt{0.01}=0.1$；
计算$y$：$\because 10^2=100$，$\therefore y=\sqrt{100}=10$。
(2) 观察表格中对应数据：
$a$从0.0001到0.01，小数点向右移动2位，对应的$\sqrt{a}$从0.01到0.1，小数点向右移动1位；$a$从0.01到1、从1到100等都符合该变化规律，向左移动时规律同样成立，因此可得规律。
(3) 类比算术平方根的规律，结合立方运算的次数为3，推导可得立方根的对应规律。
【答案】
(1) $0.1$；$10$
(2) 被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(3) 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 开方运算数位规律
3. 立方根的性质
【点评】
本题既考查基础的开方运算能力，又引导学生通过观察归纳总结规律，渗透了类比推理的数学思想，能帮助学生理解开方运算和乘方运算的对应关系，提升规律探究的能力。
【难度系数】
0.8
