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2002年国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会。这次大会的会徽(图3-1)选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弘扬了我国古代的数学文化。弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么你能求出$(a+b)^2$的值吗？
图3-1
图3-1
答案
解：
由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个全等直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1 = 12$
即 $2ab = 12$
由完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$，$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
答：$(a+b)^2$的值为25。
由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个全等直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1 = 12$
即 $2ab = 12$
由完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$，$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
答：$(a+b)^2$的值为25。
解析
【分析】
要求$(a+b)^2$的值，首先可利用完全平方公式将其展开为$a^2+2ab+b^2$，因此只需分别求出$a^2+b^2$和$2ab$的值即可求解：①求$a^2+b^2$：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，也就是大正方形的面积，由此可得$a^2+b^2$的值；②求$2ab$：四个全等直角三角形的总面积等于大正方形面积减去中间小正方形的面积，而4个直角三角形的总面积可表示为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，计算即可得到$2ab$的值，最后代入展开式就能求出结果。
【解析】
由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个全等直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1 = 12$
即 $2ab = 12$
由完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$，$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形的面积关系与代数公式相结合，体现了数形结合的思想，解题的关键是从图形特征中提取对应的代数等量关系。
【难度系数】
0.7
要求$(a+b)^2$的值，首先可利用完全平方公式将其展开为$a^2+2ab+b^2$，因此只需分别求出$a^2+b^2$和$2ab$的值即可求解：①求$a^2+b^2$：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，也就是大正方形的面积，由此可得$a^2+b^2$的值；②求$2ab$：四个全等直角三角形的总面积等于大正方形面积减去中间小正方形的面积，而4个直角三角形的总面积可表示为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，计算即可得到$2ab$的值，最后代入展开式就能求出结果。
【解析】
由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个全等直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1 = 12$
即 $2ab = 12$
由完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$，$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形的面积关系与代数公式相结合，体现了数形结合的思想，解题的关键是从图形特征中提取对应的代数等量关系。
【难度系数】
0.7
例1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边分别为$a,b$，斜边为$c$.
（1）已知$a=6,c=10$，求$b$；
（2）已知$a=40,b=9$，求$c$；
（3）已知$b=8,c=17$，求$a$.
（1）已知$a=6,c=10$，求$b$；
（2）已知$a=40,b=9$，求$c$；
（3）已知$b=8,c=17$，求$a$.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 已知$a=6,c=10$，
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
(2) 已知$a=40,b=9$，
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{40^2 + 9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$。
(3) 已知$b=8,c=17$，
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 已知$a=6,c=10$，
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
(2) 已知$a=40,b=9$，
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{40^2 + 9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$。
(3) 已知$b=8,c=17$，
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
解析
【分析】
这是直角三角形已知两边求第三边的基础计算题，解题核心为应用勾股定理。首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此a、b是直角边，c是斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。解题时先判断已知边的类型：若求斜边，直接将两个直角边代入公式求和后开算术平方根；若求直角边，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开算术平方根（边长为正数，仅取正的平方根），依次计算三个小问即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 已知$a=6,c=10$，
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
(2) 已知$a=40,b=9$，
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{40^2 + 9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$。
(3) 已知$b=8,c=17$，
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=41$；(3)$a=15$
【知识点】
勾股定理；算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，重点考查对勾股定理公式的掌握和变形使用能力，解题时需准确区分直角边和斜边，计算过程中注意平方运算及开方的准确性，有助于夯实勾股定理的应用基础。
【难度系数】
0.9
这是直角三角形已知两边求第三边的基础计算题，解题核心为应用勾股定理。首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此a、b是直角边，c是斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。解题时先判断已知边的类型：若求斜边，直接将两个直角边代入公式求和后开算术平方根；若求直角边，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开算术平方根（边长为正数，仅取正的平方根），依次计算三个小问即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 已知$a=6,c=10$，
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
(2) 已知$a=40,b=9$，
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{40^2 + 9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$。
(3) 已知$b=8,c=17$，
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=41$；(3)$a=15$
【知识点】
勾股定理；算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，重点考查对勾股定理公式的掌握和变形使用能力，解题时需准确区分直角边和斜边，计算过程中注意平方运算及开方的准确性，有助于夯实勾股定理的应用基础。
【难度系数】
0.9
例2 在数轴上画出$-\sqrt{2}$对应的点.
答案
解：
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
解析
【分析】
要在数轴上表示$-\sqrt{2}$，核心是先构造出长度为$\sqrt{2}$的线段。根据勾股定理，两条直角边长均为1的直角三角形的斜边长恰好为$\sqrt{2}$，因此我们可以先画好数轴，再构造符合要求的直角三角形得到长度为$\sqrt{2}$的线段，最后利用圆规将该长度截取到数轴的负半轴上，即可得到$-\sqrt{2}$对应的点。
【解析】
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
【答案】
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
【知识点】
勾股定理、实数与数轴、尺规作图
【点评】
本题将勾股定理、数轴和尺规作图相结合，考查了构造特定长度线段的方法，直观展现了无理数可以在数轴上找到对应点，有助于加深对实数性质的理解。
【难度系数】
0.7
要在数轴上表示$-\sqrt{2}$，核心是先构造出长度为$\sqrt{2}$的线段。根据勾股定理，两条直角边长均为1的直角三角形的斜边长恰好为$\sqrt{2}$，因此我们可以先画好数轴，再构造符合要求的直角三角形得到长度为$\sqrt{2}$的线段，最后利用圆规将该长度截取到数轴的负半轴上，即可得到$-\sqrt{2}$对应的点。
【解析】
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
【答案】
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
【知识点】
勾股定理、实数与数轴、尺规作图
【点评】
本题将勾股定理、数轴和尺规作图相结合，考查了构造特定长度线段的方法，直观展现了无理数可以在数轴上找到对应点，有助于加深对实数性质的理解。
【难度系数】
0.7
