1. (黄石中考改编)阅读材料,解答问题:
已知实数$m,n$满足$m^2 - m - 1 = 0, n^2 - n - 1 = 0$,且$m≠n$,显然$m,n$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知$m + n = 1, mn = -1$.
(1)已知实数$a,b$满足$a^2 - 15a = 5, b^2 = 15b + 5$,则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值为;
(2)已知实数$m,n$满足$m^2 - 2m = 1, n^2 + 2n = 1$且$mn≠1$,求$\frac{mn + n + 1}{n}$的值;
(3)已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^4} + \frac{1}{m^2} = 7, n^2 - n = 7$且$n＞0$,求$\frac{1}{m^4} + n^2$的值.

1.(1)2或-47 解析:当$a=b$时,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$;当$a≠b$时,$\because a,b$满足$a^2-15a-5=0,b^2-15b-5=0$,$\therefore a,b$是方程$x^2-15x-5=0$的两个根.$\because \Delta＞0$,$\therefore a+b=15,ab=-5$,$\therefore \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{15^2-2×(-5)}{-5}=-47$.
(2)方法一:由$n^2+2n-1=0$可知$n≠0$,$\therefore 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}=0$,即$\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n}-1=0$.又$m^2-2m-1=0$且$mn≠1$,即$m≠\frac{1}{n}$,$\therefore m,\frac{1}{n}$是方程$x^2-2x-1=0$的两个不相等的实数根,$\therefore m+\frac{1}{n}=2$,$\therefore \frac{mn+n+1}{n}=m+1+\frac{1}{n}=2+1=3$.
方法二:$\because m^2-2m-1=0,n^2+2n-1=0$,$\therefore (-m)^2+2×(-m)-1=0$,$\therefore -m$和$n$都是方程$x^2+2x-1=0$的根,$\Delta＞0$.如果$-m$和$n$是两个不相等的实数根,那么由根与系数的关系可知$-mn=-1$,与题干$mn≠1$矛盾,$\therefore -m$和$n$是同一个实数根,即$-m=n$,$\therefore \frac{mn+n+1}{n}=\frac{-n^2+n+1}{n}=\frac{2n-1+n+1}{n}=3$.
(3)令$\frac{1}{m^2}=a,-n=b$,则$a^2+a-7=0,b^2+b-7=0$.$\because n＞0$,$\therefore \frac{1}{m^2}≠-n$,即$a≠b$,$\therefore a,b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不相等的实数根,$\therefore a+b=-1,ab=-7$,故$\frac{1}{m^4}+n^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=15$.

2. (1) $( \dfrac{3+\sqrt{3^2 -4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} )^2 + ( \dfrac{3-\sqrt{3^2 -4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} )^2 = \_\_\_\_\_\_.$
(2) 代数式 $( \dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} )^3 - ( \dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} )^2 + a ( \dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} ) -2$ 的值为 $\_\_\_\_\_\_.$

2.(1)$\frac{9}{2}-\sqrt{2}$ 解析:对比求根公式$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$可知$a=\sqrt{2}$,$b=-3,c=1$,构造一元二次方程$\sqrt{2}x^2-3x+1=0$,设两个根分别为$x_1,x_2$,$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{3}{\sqrt{2}})^2-2×\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}-\sqrt{2}$.
(2)$-2$ 解析:设$m=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$,$\therefore (\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2})^3-(\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2})^2+a(\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2})-2=m^3-m^2+am-2$.$\because m=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}=\frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^2-4×1· a}}{2×1}$,$\therefore m$是方程$x^2-x+a=0$的根,$\therefore m^2-m=-a$,$\therefore m^3-m^2+am-2=m(m^2-m)+am-2=-am+am-2=-2$.

3. 改编题 阅读材料,解答问题:
如果关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$的两个根是$x_1, x_2$,那么$x_1 + x_2 = -p$, $x_1 · x_2 = q$,这种根与系
数的关系被称为韦达定理.韦达定理的逆定理同样成立.
(1)已知某一元二次方程的二次项系数为2,两个根分别为$\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1$,则该方程的一般形式为.
(2)①已知实数$x,y,z$满足$x=6-y,z^2=xy-9$,则$z=$;
②已知$a,b,c$满足$a+b+c=0,4abc=64$,求正数$c$的最小值.
(3)解方程组$\begin{cases}(m+1)(3m^2+5mn)=144, \\ m^2+4m+5n=24.\end{cases}$

3.(1)$2x^2-4\sqrt{2}x+2=0$ 解析:$\because$ 一元二次方程的两根分别为$\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1$,由韦达定理可得$x_1+x_2=-p=2\sqrt{2}$,$p=-2\sqrt{2}$,$x_1· x_2=q=2-1=1$,$\therefore$ 该方程为$x^2-2\sqrt{2}x+1=0$.又$\because$ 方程二次项系数为2,$\therefore$ 一般形式为$2x^2-4\sqrt{2}x+2=0$.
(2)①$0$ 解析:$\because x=6-y,z^2=xy-9$,$\therefore x+y=6,xy=z^2+9$.设两根为$x,y$的一元二次方程为$a^2-6a+z^2+9=0$.$\because$ 方程有两个根,$\therefore \Delta=(-6)^2-4(z^2+9)=36-4z^2-36=-4z^2≥0$,$\therefore z^2=0$,$\therefore z=0$.
②$\because a+b+c=0,4abc=64$,$\therefore a+b=-c,ab=\frac{16}{c}$,$\therefore a,b$是方程$x^2+cx+\frac{16}{c}=0$的解,$\therefore \Delta=c^2-4·\frac{16}{c}≥0$,即$c^2-\frac{64}{c}≥0$.$\because c$是正数,$\therefore c^3-4^3≥0$,即$c^3≥4^3$,解得$c≥4$,$\therefore$ 正数$c$的最小值是4.
(3)原方程组整理得$\begin{cases}m(m+1)(3m+5n)=144, \\ m^2+m+3m+5n=24.\end{cases}$令$a=m^2+m,b=3m+5n$,则原方程组为$\begin{cases}ab=144, \\ a+b=24.\end{cases}$设以$a,b$为两根的一元二次方程为$y^2-24y+144=0$,解得$y_1=y_2=12$,即$a=12,b=12$,$\therefore m^2+m=12,3m+5n=12$,$\therefore m_1=3,n_1=\frac{3}{5}$或$m_2=-4,n_2=\frac{24}{5}$.

4. 阅读下列材料：
求函数 $y=\dfrac{3x^2+2x}{x^2+x+0.25}$ 的最大值.
解: 将原函数化为关于 $x$ 的一元二次方程, 得
$(y-3)x^2+(y-2)x+\dfrac{1}{4}y=0$, 因为 $x$ 为实数, 所以 $b^2-4ac=(y-2)^2-4(y-3)×\dfrac{1}{4}y=-y+4≥0$,
所以 $y≤4$.
根据上述材料, 函数 $y=\dfrac{3x^2+x+2}{x^2+2x+1}$ 的最小值是 .

4.$\frac{23}{16}$ 解析:将$y=\frac{3x^2+x+2}{x^2+2x+1}$转化为关于$x$的一元二次方程,得$(y-3)x^2+(2y-1)x+y-2=0$,$\because x$为实数,$\therefore b^2-4ac=(2y-1)^2-4(y-3)(y-2)=16y-23≥0$,$\therefore y≥\frac{23}{16}$.$\therefore$ 函数$y=\frac{3x^2+x+2}{x^2+2x+1}$的最小值是$\frac{23}{16}$.

5. 一题多解 已知$m^2 + n^2 + mn + m - n + 1 = 0$，则$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$。

5.$0$ 解析:方法一:把$m^2+n^2+mn+m-n+1=0$看作关于$m$的一元二次方程,整理得$m^2+(n+1)m+n^2-n+1=0$,由题意可知$m$必然有实数根,$\therefore \Delta=(n+1)^2-4(n^2-n+1)=-3(n-1)^2≥0$,$\therefore n=1$,代入方程可解得$m=-1$,$\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1+1=0$.
方法二:将$m^2+n^2+mn+m-n+1=0$变形,得$2m^2+2n^2+2mn+2m-2n+2=0$,整理得$(m^2+2m+1)+(n^2-2n+1)+(m^2+2mn+n^2)=0$,即$(m+1)^2+(n-1)^2+(m+n)^2=0$,$\therefore m+1=0,n-1=0$,解得$m=-1,n=1$,$\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=-1+1=0$.