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1. 若一元二次方程$x^2+bx+5=0$配方后为$(x-3)^2=k$,则$b,k$的值分别是（
A.0,4
B.0,5
C.-6,5
D.-6,4
D
）A.0,4
B.0,5
C.-6,5
D.-6,4
答案
1.D 解析:$\because (x-3)^2=k,\therefore x^2-6x+9-k=0.\because$ 一元二次方程$x^2+bx+5=0$配方后为$(x-3)^2=k,\therefore b=-6,9-k=5,\therefore k=4$,$\therefore b,k$的值分别为$-6,4.$ 故选 D.
2. 已知多项式$A = x^2 - x + (3 - \dfrac{k}{2})$，若$x$取任何实数，$A$的值都不是负数，则$k$的取值范围是
$k≤\dfrac{11}{2}$
。答案
2.$k≤\dfrac{11}{2}$ 解析:将$A=x^2-x+(3-\dfrac{k}{2})$配方,则$A=(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}+(3-\dfrac{k}{2})=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{11}{4}-\dfrac{k}{2}.\because x$取任何实数,$A$的值都不是负数,$\therefore \dfrac{11}{4}-\dfrac{k}{2}≥0$,解得$k≤\dfrac{11}{2}$.
3. 若$x$为任意有理数,则多项式$4x - 4 - x^2$的值
（
A.一定为正数
B.一定为负数
C.不可能为正数
D.可能为任意有理数
（
C
）A.一定为正数
B.一定为负数
C.不可能为正数
D.可能为任意有理数
答案
3.C 解析:$4x-4-x^2=-x^2+4x-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2≤0$,则多项式$4x-4-x^2$的值不可能为正数,故选 C.
4. 若$M=3a^2 -a -1$，$N=-a^2 +3a -2$，则$M$，$N$的大小关系为（
A.$M=N$
B.$M≤ N$
C.$M≥ N$
D.无法确定
C
）A.$M=N$
B.$M≤ N$
C.$M≥ N$
D.无法确定
答案
4.C 解析:$M-N=(3a^2-a-1)-(-a^2+3a-2)=4a^2-4a+1=(2a-1)^2.\because (2a-1)^2≥0,\therefore M-N≥0,\therefore M≥N.$故选 C.
5. 若$ a,b,c $分别是$ △ ABC $的三边，且$ c=5 $，$ a^2 -6a +b^2 -8b +25=0 $，求证：$ △ ABC $是直角三角形.
答案
5.$\because a^2-6a+b^2-8b+25=0,\therefore (a-3)^2+(b-4)^2=0,\therefore a=3,b=4.$$\because c=5,\therefore a^2+b^2=c^2,\therefore △ ABC$是直角三角形.
6. 已知$a,b,c$满足$4a^2 - 12a + b^2 + 2b + c^2 - 4c + 14 = 0$，则$a^2 + b^2 + c^2$等于（
A.$\dfrac{21}{4}$
B.$\dfrac{29}{4}$
C.$14$
D.$2022$
B
）A.$\dfrac{21}{4}$
B.$\dfrac{29}{4}$
C.$14$
D.$2022$
答案
6.B 解析:原式可变形为$(b^2+2b+1)+(4a^2-12a+9)+(c^2-4c+4)=0,\therefore (b+1)^2+(2a-3)^2+(c-2)^2=0,\therefore b+1=0,2a-3=0,c-2=0,\therefore b=-1,a=\dfrac{3}{2},c=2,\therefore a^2+b^2+c^2=\dfrac{9}{4}+1+4=\dfrac{29}{4}.$故选 B.
7. 已知实数 $ x, y $ 满足等式 $ 3x^2 + 4xy + 4y^2 - 4x + 2 = 0 $，求 $ x + y $ 的值.
答案
7.$\because 3x^2+4xy+4y^2-4x+2=0$,整理,得$x^2+4xy+4y^2+2x^2-4x+2=0$,即$(x+2y)^2+2(x-1)^2=0,\therefore x+2y=0,x-1=0$,解得$x=1$,$y=-\dfrac{1}{2}$,则$x+y=\dfrac{1}{2}$.
8. 若多项式$M=a^2+2b^2-2a+4b+2027$，则$M$的最小值是（
A.2 024
B.2 025
C.2 026
D.2 027
A
）A.2 024
B.2 025
C.2 026
D.2 027
答案
8.A 解析:$M=a^2+2b^2-2a+4b+2\ 027=(a^2-2a+1)+(2b^2+4b+2)+2\ 024=(a-1)^2+2(b+1)^2+2\ 024.\because (a-1)^2≥0,(b+1)^2≥0,\therefore M≥2\ 024,\therefore M$的最小值为2 024.故选 A.
9. (2026·郑州月考)对于代数式$-3x^2 -6x +1$,当$x=$
$-1$
时,代数式有最大
（填“大”或“小”）值,其值为$4$
.答案
9.$-1$ 大 $4$ 解析:$-3x^2-6x+1=-3(x^2+2x)+1=-3(x^2+2x+1-1)+1=-3(x+1)^2+4,\because 3(x+1)^2≥0$,$\therefore -3(x+1)^2≤0,\therefore -3(x+1)^2+4≤4,\therefore$ 当$x=-1$时,$-3x^2-6x+1$有最大值为4.故答案为$-1$;大;4.
10. (呼和浩特中考)已知$a≥ 2$，$m^2 - 2am + 2 = 0$，$n^2 - 2an + 2 = 0$，试求$(m - 1)^2 + (n - 1)^2$的最小值。
答案
10.$\because m^2-2am+2=0,n^2-2an+2=0,\therefore m,n$是关于$x$的方程$x^2-2ax+2=0$的两根,$\therefore m+n=2a,mn=2,\therefore (m-1)^2+(n-1)^2=m^2-2m+1+n^2-2n+1=(m+n)^2-2mn-2(m+n)+2=4a^2-4-4a+2=4(a-\dfrac{1}{2})^2-3.\because a≥2,\therefore$ 当$a=2$时,$(m-1)^2+(n-1)^2$的值最小,最小值为$4×(2-\dfrac{1}{2})^2-3=6$.
