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13. 在实数范围内,关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根分别为$x_1,x_2$,则方程可写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 -a(x_1+x_2)x +ax_1x_2=0$,容易发现根与系数的关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.设关于$x$的一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个非零实数根分别为$x_1,x_2,x_3$,则$x_1x_2x_3=$
$-\dfrac{d}{a}$
;若$x^3-6x^2+11x-6=0$,则$x_1^2+x_2^2+x_3^2=$14
.答案
$-\dfrac{d}{a}$ 14 解析:
∵关于 $x$ 的一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0(a\ne0)$ 的三个非零实数根分别为 $x_1,x_2,x_3$,$\therefore$ 方程可以写成 $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,即 $ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,$\therefore -ax_1x_2x_3=d$,$\therefore x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}$.
∵$x^3-6x^2+11x-6=0$,$\therefore x^3-6x^2+9x+(2x-6)=0$,即 $x(x-3)^2+2(x-3)=0$,即 $(x-3)(x^2-3x+2)=0$,$\therefore (x-3)(x-1)(x-2)=0$,$\therefore x-3=0$ 或 $x-1=0$ 或 $x-2=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=1$,$x_3=2$,$\therefore x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2+1^2+2^2=14$.故答案为$-\dfrac{d}{a}$;14.
∵关于 $x$ 的一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0(a\ne0)$ 的三个非零实数根分别为 $x_1,x_2,x_3$,$\therefore$ 方程可以写成 $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,即 $ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,$\therefore -ax_1x_2x_3=d$,$\therefore x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}$.
∵$x^3-6x^2+11x-6=0$,$\therefore x^3-6x^2+9x+(2x-6)=0$,即 $x(x-3)^2+2(x-3)=0$,即 $(x-3)(x^2-3x+2)=0$,$\therefore (x-3)(x-1)(x-2)=0$,$\therefore x-3=0$ 或 $x-1=0$ 或 $x-2=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=1$,$x_3=2$,$\therefore x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2+1^2+2^2=14$.故答案为$-\dfrac{d}{a}$;14.
14. 关于$x$的方程$x^2-(2k-1)x+k^2-2k+3=0$有两个不相等的实数根.
(1) 实数$k$的取值范围为
(2) 设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,是否存在实数$k$,使得$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$? 若存在,求出$k$的值;若不存在,说明理由.
(1) 实数$k$的取值范围为
$k＞\dfrac{11}{4}$
.(2) 设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,是否存在实数$k$,使得$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$? 若存在,求出$k$的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)$k＞\dfrac{11}{4}$ 解析:
∵方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11＞0$,解得 $k＞\dfrac{11}{4}$.
(2)存在.$\because x_1+x_2=2k-1＞0$,$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$,$\therefore x_1,x_2$ 都是正数,$\therefore$ 将 $|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$ 两边平方可得 $x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$,即 $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$,代入得 $(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$,即 $4k-11=5$,解得 $k=4$.
∵方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11＞0$,解得 $k＞\dfrac{11}{4}$.
(2)存在.$\because x_1+x_2=2k-1＞0$,$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$,$\therefore x_1,x_2$ 都是正数,$\therefore$ 将 $|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$ 两边平方可得 $x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$,即 $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$,代入得 $(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$,即 $4k-11=5$,解得 $k=4$.
15. (2026·郑州期中)若关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2+m=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)$m$的取值范围为________;
(2)若$x_1,x_2$恰好是对角线长为$2\sqrt{3}$的矩形的相邻两边的边长,求这个矩形的周长.
(1)$m$的取值范围为________;
(2)若$x_1,x_2$恰好是对角线长为$2\sqrt{3}$的矩形的相邻两边的边长,求这个矩形的周长.
答案
(1)$m\le0$ 解析:由题意得,$\Delta=(2m)^2-4×1×(m^2+m)\ge0$,解得 $m\le0$,$\therefore m$ 的取值范围是 $m\le0$.
(2)由题意得,$x_1+x_2=-2m$,$x_1x_2=m^2+m$,$\because x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1· x_2=12$,$\therefore (-2m)^2-2(m^2+m)=12$,即 $m^2-m-6=0$,解得 $m_1=-2$,$m_2=3$(舍去),此时方程变为 $x^2-4x+2=0$,此时 $x_1+x_2=4＞0$,$x_1x_2=2＞0$,满足两根为正的条件,$\therefore m$ 的值为-2,$\therefore x_1+x_2=4$,$\therefore$ 矩形的周长为 $4×2=8$.
(2)由题意得,$x_1+x_2=-2m$,$x_1x_2=m^2+m$,$\because x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1· x_2=12$,$\therefore (-2m)^2-2(m^2+m)=12$,即 $m^2-m-6=0$,解得 $m_1=-2$,$m_2=3$(舍去),此时方程变为 $x^2-4x+2=0$,此时 $x_1+x_2=4＞0$,$x_1x_2=2＞0$,满足两根为正的条件,$\therefore m$ 的值为-2,$\therefore x_1+x_2=4$,$\therefore$ 矩形的周长为 $4×2=8$.
16. 阅读材料并解答相关问题.
材料1:规定:如果实数$a,b,c$满足$a+c=b$,那么称一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和差”二次方程.
材料2:韦达定理:若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1·x_2=\frac{c}{a}$.
(1)【概念辨析】下列方程是“和差”二次方程的有
①$x^2+3x-2=0$;②$2x^2+5x+3=0$;③$x^2+2x+1=0$;④$x^2+2x+3=0$.
(2)【特例感知】①分别求出(1)中所有“和差”二次方程的根.
②若“和差”二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根是5,求这个方程的另一个根.
(3)【结论归纳】设$m,n$是“和差”二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根,请写出你发现的关于两根$m,n$的结论,并说明理由.
材料1:规定:如果实数$a,b,c$满足$a+c=b$,那么称一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和差”二次方程.
材料2:韦达定理:若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1·x_2=\frac{c}{a}$.
(1)【概念辨析】下列方程是“和差”二次方程的有
②③
(填写序号).①$x^2+3x-2=0$;②$2x^2+5x+3=0$;③$x^2+2x+1=0$;④$x^2+2x+3=0$.
(2)【特例感知】①分别求出(1)中所有“和差”二次方程的根.
②若“和差”二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根是5,求这个方程的另一个根.
(3)【结论归纳】设$m,n$是“和差”二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根,请写出你发现的关于两根$m,n$的结论,并说明理由.
答案
(1)②③ 解析:①$x^2+3x-2=0$ 中 $a+c=1-2\ne3=b$,不是“和差”二次方程;②$2x^2+5x+3=0$ 中 $a+c=2+3=5=b$,是“和差”二次方程;③$x^2+2x+1=0$ 中 $a+c=1+1=2=b$,是“和差”二次方程;④$x^2+2x+3=0$ 中 $a+c=1+3\ne2=b$,不是“和差”二次方程.故答案为②③.
(2)①解方程 $2x^2+5x+3=0$,$\because a=2$,$b=5$,$c=3$,$\therefore \Delta=5^2-4×2×3=1$,$\therefore x=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=-\dfrac{3}{2}$;解方程 $x^2+2x+1=0$,$(x+1)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-1$.
②设方程的另一根是 $x_2$,由韦达定理可得,$x_2+5=-\dfrac{b}{a}$,$5· x_2=\dfrac{c}{a}$.
∵$a+c=b$,$\therefore x_2+5=-\dfrac{a+c}{a}=-1-\dfrac{c}{a}$,即 $x_2+5=-1-5x_2$,解得 $x_2=-1$.
(3)$m=-1$ 或 $n=-1$.理由:
∵$m,n$ 是“和差”二次方程 $ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ 的两个根,$\therefore m+n=-\dfrac{b}{a}$,$m· n=\dfrac{c}{a}$.又
∵$a+c=b$,$\therefore m+n=-\dfrac{a+c}{a}=-1-\dfrac{c}{a}$ ,$\therefore m+n=-1-mn$,$mn+m+n+1=0$,$\therefore (m+1)(n+1)=0$,$\therefore m+1=0$ 或 $n+1=0$,$\therefore m=-1$ 或 $n=-1$.
(2)①解方程 $2x^2+5x+3=0$,$\because a=2$,$b=5$,$c=3$,$\therefore \Delta=5^2-4×2×3=1$,$\therefore x=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=-\dfrac{3}{2}$;解方程 $x^2+2x+1=0$,$(x+1)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-1$.
②设方程的另一根是 $x_2$,由韦达定理可得,$x_2+5=-\dfrac{b}{a}$,$5· x_2=\dfrac{c}{a}$.
∵$a+c=b$,$\therefore x_2+5=-\dfrac{a+c}{a}=-1-\dfrac{c}{a}$,即 $x_2+5=-1-5x_2$,解得 $x_2=-1$.
(3)$m=-1$ 或 $n=-1$.理由:
∵$m,n$ 是“和差”二次方程 $ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ 的两个根,$\therefore m+n=-\dfrac{b}{a}$,$m· n=\dfrac{c}{a}$.又
∵$a+c=b$,$\therefore m+n=-\dfrac{a+c}{a}=-1-\dfrac{c}{a}$ ,$\therefore m+n=-1-mn$,$mn+m+n+1=0$,$\therefore (m+1)(n+1)=0$,$\therefore m+1=0$ 或 $n+1=0$,$\therefore m=-1$ 或 $n=-1$.
