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1. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,点M和N分别在AB,AD上,沿MN将△AMN折叠,点A恰好落在边BC的中点E上.若AB=4,则AM的长为 (
A.2.4
B.2.8
C.3
D.3.2
B
)A.2.4
B.2.8
C.3
D.3.2
答案
1. B 解析:如图,过点 M 作 MF⊥CB,交 CB 的延长线于点 F.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC=4.
∵ ∠ABC=120°,
∴ ∠FBM=60°,
∴ ∠BMF = 30°,
∴ BM = 2BF, MF = √3 BF. 设 BF = x, 则 BM=2x,EM=AM=AB-BM=4-2x, FM=√3 x,EF=BF+BE=x+2. 根据勾股定理,得 EM² = FM² + EF², 即(4-2x)² = (√3 x)² + (x+2)²,解得 x=0.6,
∴ AM=4-2x=4-2×0.6=2.8.故选 B.
2. 如图,把菱形ABCD沿AH折叠,点B落在BC边上的点E处.若∠BAE=40°,则∠EDC的大小为 (
A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$
B
)A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$
答案
2. B 解析:
∵ 菱形ABCD沿AH折叠,点B落在BC边上的点E处,
∴ AB=AE.
∵ ∠BAE=40°,
∴ ∠B=∠AEB=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°.在菱形ABCD中,AB=AD,∠ADC=∠B=70°, AD//BC,
∴ ∠DAE = ∠AEB = 70°.
∵ AB = AE, AB = AD,
∴ AE=AD,
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DAE) = $\frac{1}{2}$×(180°-70°)=55°,
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 70°-55°=15°.故选 B.
∵ 菱形ABCD沿AH折叠,点B落在BC边上的点E处,
∴ AB=AE.
∵ ∠BAE=40°,
∴ ∠B=∠AEB=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°.在菱形ABCD中,AB=AD,∠ADC=∠B=70°, AD//BC,
∴ ∠DAE = ∠AEB = 70°.
∵ AB = AE, AB = AD,
∴ AE=AD,
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DAE) = $\frac{1}{2}$×(180°-70°)=55°,
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 70°-55°=15°.故选 B.
3. 如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠B=60°,E为BC的中点,点F在AB边上,连接EF,将△BEF沿EF翻折,使点B落在点B'处,连接AB',则AB'的最小值是
$\sqrt{3}-1$
.答案
3. $\sqrt{3}-1$ 解析:连接AC,AE,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC.
∵ ∠B=60°,
∴ △ABC是等边三角形.
∵ BE=EC,
∴ AE⊥BC,∠BAE=30°.
∵ AB=BC=2,
∴ BE=1,AE=$\sqrt{3}$,当A,B',E三点共线时,AB'最小,
∴ AB'的最小值为AE-B'E=AE-BE=$\sqrt{3}-1$.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC.
∵ ∠B=60°,
∴ △ABC是等边三角形.
∵ BE=EC,
∴ AE⊥BC,∠BAE=30°.
∵ AB=BC=2,
∴ BE=1,AE=$\sqrt{3}$,当A,B',E三点共线时,AB'最小,
∴ AB'的最小值为AE-B'E=AE-BE=$\sqrt{3}-1$.
4. 如图,在边长为$\sqrt{2}$的菱形$ABCD$中,$∠ B=45°$,
$AE$是$BC$边上的高,将$△ AEB$沿$AE$所在直线
翻折得$△ AEB_1$,则$△ AEB_1$与四边形$AECD$重
叠部分的面积为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
$AE$是$BC$边上的高,将$△ AEB$沿$AE$所在直线
翻折得$△ AEB_1$,则$△ AEB_1$与四边形$AECD$重
叠部分的面积为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案
4. $\sqrt{2}-1$ 解析:
∵ AE⊥BC,∠B=45°,AB=$\sqrt{2}$,
∴ BE=AE=1.
∵ 将△AEB沿AE所在的直线翻折得到△AEB₁,
∴ ∠B₁=∠B=45°,
∴ EB₁=BE=1,CB₁=2-$\sqrt{2}$,
∴ △AEB₁的面积为$\frac{1}{2} AE · EB_1 = \frac{1}{2}$.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB // CD,
∴ ∠FCB₁=∠B=45°,
∴ △FCB₁是等腰直角三角形,
∴ 由勾股定理解得 CF=B₁F=$\sqrt{2}-1$,
∴ △FCB₁的面积为$\frac{1}{2}×(\sqrt{2}-1)^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$,
∴ △AEB₁与四边形AECD重叠部分的面积为$\frac{1}{2} - (\frac{3}{2} -\sqrt{2} )=\sqrt{2}-1$.
∵ AE⊥BC,∠B=45°,AB=$\sqrt{2}$,
∴ BE=AE=1.
∵ 将△AEB沿AE所在的直线翻折得到△AEB₁,
∴ ∠B₁=∠B=45°,
∴ EB₁=BE=1,CB₁=2-$\sqrt{2}$,
∴ △AEB₁的面积为$\frac{1}{2} AE · EB_1 = \frac{1}{2}$.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB // CD,
∴ ∠FCB₁=∠B=45°,
∴ △FCB₁是等腰直角三角形,
∴ 由勾股定理解得 CF=B₁F=$\sqrt{2}-1$,
∴ △FCB₁的面积为$\frac{1}{2}×(\sqrt{2}-1)^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$,
∴ △AEB₁与四边形AECD重叠部分的面积为$\frac{1}{2} - (\frac{3}{2} -\sqrt{2} )=\sqrt{2}-1$.
5. 如图①,一张菱形纸片$EHGF$,点$A,D,C,B$分别是$EF,EH,HG,GF$边上的点,连接$AD,DC,CB,AB,DB$,且$AD=\sqrt{3}$,$AB=\sqrt{6}$;如图②,若将$△ FAB$,$△ AED$,$△ DHC$,$△ CGB$分别沿$AB,AD,DC,CB$翻折,点$E,F$都落在$DB$上的点$P$处,点$H,G$都落在$DB$上的点$Q$处.
(1)求证:四边形$ADCB$是矩形;
(2)求菱形纸片$EHGF$的面积和边长.
(1)求证:四边形$ADCB$是矩形;
(2)求菱形纸片$EHGF$的面积和边长.
答案
5. (1)由翻折可知∠EAD=∠PAD,∠FAB=∠PAB,
∴ 2(∠PAD+∠PAB)=180°,即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°,
∴ 四边形ADCB是矩形.
(2)由翻折可知△AED≌△APD,△AFB≌△APB,△CGB≌△CQB,△CHD≌△CQD,
∴ $S_{菱形EHGF} = 2S_{矩形ADCB} = 2×\sqrt{3} ×\sqrt{6}=6\sqrt{2}$.又
∵ AE=AP=AF,
∴ A为EF的中点.同理,C为GH的中点,即AF=CG,且AF//CG,连接AC,
∴ 四边形ACGF为平行四边形,
∴ 菱形纸片EHGF的边长 $FG = AC = BD = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2}=3$.
∴ 2(∠PAD+∠PAB)=180°,即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°,
∴ 四边形ADCB是矩形.
(2)由翻折可知△AED≌△APD,△AFB≌△APB,△CGB≌△CQB,△CHD≌△CQD,
∴ $S_{菱形EHGF} = 2S_{矩形ADCB} = 2×\sqrt{3} ×\sqrt{6}=6\sqrt{2}$.又
∵ AE=AP=AF,
∴ A为EF的中点.同理,C为GH的中点,即AF=CG,且AF//CG,连接AC,
∴ 四边形ACGF为平行四边形,
∴ 菱形纸片EHGF的边长 $FG = AC = BD = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2}=3$.
6. 如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB的度数为 (
A.24°
B.33°
C.57°
D.66°
C
)A.24°
B.33°
C.57°
D.66°
答案
6. C 解析:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=∠ABC=90°, AD//BC,由折叠的性质得∠BA'E=∠ABC=∠A=90°, ∠A'BE=∠ABE,
∴ ∠A'BE = ∠ABE = $\frac{1}{2}(90° - ∠DBC) = \frac{1}{2}×(90°-24°)=33°$,
∴ ∠A'EB=90°-∠A'BE=90°-33°=57°.故选 C.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=∠ABC=90°, AD//BC,由折叠的性质得∠BA'E=∠ABC=∠A=90°, ∠A'BE=∠ABE,
∴ ∠A'BE = ∠ABE = $\frac{1}{2}(90° - ∠DBC) = \frac{1}{2}×(90°-24°)=33°$,
∴ ∠A'EB=90°-∠A'BE=90°-33°=57°.故选 C.
7.（嘉兴中考）一张矩形纸片ABCD，已知AB=3，AD=2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG的长为（
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.1
D.2
A
）A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.1
D.2
答案
7. A 解析:
∵ AB=3,AD=2,
∴ DA'=2,CA'=1,
∴ DC'=1.
∵ ∠C'DG=45°,
∴ GC'=DC'=1,
∴ DG=$\sqrt{2}$.故选 A.
∵ AB=3,AD=2,
∴ DA'=2,CA'=1,
∴ DC'=1.
∵ ∠C'DG=45°,
∴ GC'=DC'=1,
∴ DG=$\sqrt{2}$.故选 A.
