7.已知,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,求证:AH=AB.
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,AH=AB还成立吗?如果不成立,请写出理由;如果成立,请证明.

(1)
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
∴ $∠B = ∠BAD = ∠D = 90°$,$AB=AD$.在 $△ABM$ 和 $△ADN$ 中,
∵ $AB=AD$,$∠B=∠D$,$BM=DN$,
∴ $△ABM≌△ADN$,
∴ $AM=AN$,$∠BAM = ∠DAN$,
∴ $△AMN$ 是等腰三角形. 又
∵ $AH⊥MN$,
∴ $∠AHM = 90°$, $∠HAM = ∠HAN$.
∵ $∠MAN = 45°$,
∴ $∠HAM = \frac{1}{2}×45° = 22.5°$,$∠BAM+∠DAN=45°$,
∴ $∠BAM = 22.5° = ∠HAM$. 在 $△ABM$ 和 $△AHM$ 中,
∵ $∠B = ∠AHM$,$∠BAM = ∠HAM$, $AM=AM$,
∴ $△ABM≌△AHM$,
∴ $AH=AB$.
(2)$AH=AB$ 成立.证明如下:
如图,延长 $CB$ 至 $E$,使 $BE=DN$.
∵ 四边形$ABCD$ 是正方形,
∴ $AB=AD$,$∠D = ∠ABE = 90°$.
在 $△AEB$ 和 $△AND$ 中,
∵ $AB=AD$,$∠ABE = ∠D$,$BE=DN$,
∴ $△AEB ≌ △AND$,
∴ $AE = AN$, $∠EAB = ∠NAD$.
∵ $∠MAN = 45°$,
∴ $∠NAD+∠BAM = 45° = ∠EAB+∠BAM$,
∴ $∠EAM=45°=∠MAN$,
∴ $∠EAN=90°$.在 $△AEM$ 和 $△ANM$ 中,
∵ $AE = AN$, $∠EAM = ∠NAM$, $AM = AM$,
∴ $△AEM ≌ △ANM$,
∴ $S_{△AEM}=S_{△ANM}$,$EM=MN$.
∵ $AB$,$AH$ 分别是 $△AEM$ 和 $△ANM$ 对应边上的高,
∴ $AB=AH$.

8. (湘潭中考)小红同学在学习了正方形的知识后,进一步进行以下探究活动:在正方形ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.
(1)当BG在BC上时,连接DF,与AC相交于点P,小红发现点P恰为DF的中点,如图①.针对小红发现的结论,请给出证明.
(2)小红继续连接EG,并延长与DF相交,发现交点恰好是DF的中点P,如图②.证明小红的结论,并根据此结论判断△APE的形状,并说明理由.
(3)如图③,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α,连接DF,点P是DF的中点,连接AP,EP,AE,△APE的形状是否发生改变?请说明理由.

(1)如图①,延长 $FG$ 交 $AC$ 于点 $H$,
∵ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $BEFG$ 是正方形,
∴ $BC=CD$,$FG=BG$,$CD//AE$,$FG//AE$, $∠CGH=∠BGF=90°$,
∴ $∠CHG=45°$,$CD//FG$,
∴ $∠ACB=∠CHG$,$∠CDP=∠HFP$,$∠DCP=∠FHP$,
∴ $CG=GH$,
∴ $CG+BG=GH+FG$,
∴ $BC=FH$,
∴ $CD=FH$,
∴ $△CDP≌△HFP$ ( ASA ),
∴ $DP=FP$,
∴ 点 $P$ 是 $DF$ 的中点.
(2)$△APE$ 是等腰直角三角形,理由:如图②,延长 $EG$,交 $AD$ 的延长线于点 $M$,设 $DF$ 和 $EM$ 交于点 $Q$,
∵ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $BEFG$ 是正方形,
∴ $∠BAD=90°$,$∠BEG=45°$,$AD=AB$,$BE=EF$,$AD//BC//EF$,$∠BAC=45°$,
∴ $∠M=45°$,$∠M=∠GEF$,$∠MDQ=∠EFQ$,
∴ $∠M=∠BEG$,
∴ $AM=AE$,
∴ $AM-AD=AE-AB$,
∴ $DM=BE$,
∴ $DM=EF$,
∴ $△DQM≌△FQE$( ASA ),
∴ $DQ=FQ$,
∴ 点 $Q$ 和点 $P$ 重合, 即 $EG$ 与 $DF$ 的交点恰好也是 $DF$ 的中点 $P$.
∵ $∠BAC=45°$, $∠BEG=45°$,
∴ $∠APE=90°$,$AP=EP$,
∴ $△APE$ 是等腰直角三角形.
(3)$△APE$ 的形状不发生变化,理由:如图③,延长 $EP$ 至点 $Q$,使 $PQ=PE$,连接 $DQ$,$AQ$,延长 $DA$ 和 $FE$,交于点 $N$,
∵ $DP=PF$,$∠DPQ=∠EPF$,
∴ $△PDQ≌△PFE$ ( SAS ),
∴ $DQ=EF$, $∠PQD = ∠PEF$,
∴ $DQ//FN$,
∴ $∠N+∠ADQ=180°$.
∵ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $BEFG$ 是正方形,
∴ $∠BAN=∠DAB=90°$,$∠BEN=∠BEF=90°$,$AB=AD$,$BE=EF$,
∴ $∠N+∠ABE=360°-∠BAN-∠BEN=360°-90°-90°=180°$,$DQ=BE$,
∴ $∠ABE=∠ADQ$,
∴ $△ADQ≌△ABE$( SAS ),
∴ $AE=AQ$,$∠DAQ=∠BAE$,
∴ $∠BAE+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90°$,
∴ $∠QAE=90°$,
∴ $AP⊥EQ$,$AP=PE=\frac{1}{2}EQ$,
∴ $△APE$ 是等腰直角三角形,形状不发生变化.