8. (2026·郑州月考)如图,在矩形纸片ABCD中,$AD=2\sqrt{2}$,$AB=2$,点P是AB的中点,点Q是BC边上的一个动点,将$△ PBQ$沿PQ所在直线翻折,得到$△ PEQ$,连接DE,CE,则当$△ DEC$是以DE为腰的等腰三角形时,BQ的长是 ()

A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$或1
D.$\sqrt{3}$或1

8. C 解析 ①当DE=DC时,如图①,连接DQ.
∵ 点P是AB的中点,AD=$2\sqrt{2}$,AB=2,四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°, PA = PB = $\frac{1}{2} AB = 1$,
∴ DP = $\sqrt{AD^2+AP^2} = \sqrt{8+1} = 3$.
∵ 将△PBQ沿PQ所在直线翻折得到△PEQ,
∴ PE=PB=1,
∵ DE=DC=AB=2,
∴ PE+DE=1+2=3,
∴ DP=3=PE+ED,
∴ 点P,E,D三点共线.
∵ ∠B=∠DCB=90°,
∴ ∠DEQ=∠DCQ=90°,设BQ=x,则QE=x,CQ=$2\sqrt{2} -x$,在Rt△DEQ和Rt△DCQ中,根据勾股定理得 $DQ^2=DE^2+EQ^2=DC^2+CQ^2$,
∴ $2^2+x^2=2^2+(2\sqrt{2} -x)^2$,解得 $x=\sqrt{2}$,
∴ BQ=$\sqrt{2}$;②当DE=EC时,如图②,
∵ DE=EC,
∴ 点E在线段CD的垂直平分线上,
∴ 点E在线段AB的垂直平分线上.
∵ 点P是AB的中点,
∴ EP是AB的垂直平分线,
∴ ∠BPE=90°.
∵ 将△PBQ沿PQ所在直线翻折得到△PEQ,
∴ ∠B=∠PEQ=90°,PB=PE,
∴ 四边形BPEQ是正方形,
∴ BQ=PB=1.综上所述 BQ 的长为$\sqrt{2}$或1.故选 C.

9.（天水中考）如图所示，在矩形$ABCD$中，$∠ DAC=65°$，点$E$是$CD$上一点，$BE$交$AC$于点$F$，将$△ BCE$沿$BE$折叠，点$C$恰好落在$AB$边上的点$C'$处，则$∠ AFC'=$。

9. 40° 解析 在矩形ABCD中,∠DAC=65°,∠D=90°,
∴ ∠ACD=90°-∠DAC=90°-65°=25°.
∵ △BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处,
∴ 四边形BCEC'是正方形,
∴ ∠BEC=45°.由三角形的外角性质,得∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°.由翻折的性质,得∠BFC'=∠BFC=70°,
∴ ∠AFC'=180°-∠BFC-∠BFC'=180°-70°-70°=40°.

10. 在矩形$ABCD$中，$AB=5$，$BC=13$，在$DC$上取一点$E$，将$△ BCE$沿直线$BE$折叠，得到$△ BEF$。
(1)如图①，若点$F$恰好落在$AD$上，求$DE$的长；
(2)如图②，若点$E$从$C$到$D$的运动过程中，$∠ ABF$的平分线交$EF$的延长线于点$M$，求$M$到$AD$的距离。

10. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,将△BCE沿直线BE折叠,点F恰好落在AD上,
∴ BC=AD=BF=13,∠D=∠A=90°, CE=EF,
∴ AF=$\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
∴ DF=13-12=1.设DE=x,则CE=FE=5-x,在Rt△DEF中,由勾股定理得 $DE^2+DF^2=EF^2$,
∴ $x^2+1^2=(5-x)^2$,解得 x=2.4,
∴ DE=2.4.
(2)如图,过点M作MK⊥AD于点K,MH⊥BA交BA的延长线于点H,延长HM交CD的延长线于点G.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠C=∠BAD = ∠ABC = ∠ADC = 90°, AB = CD = 5, AD = BC = 13.
∵ MH⊥AB,MK⊥AD,
∴ ∠H=∠HAK=∠AKM=90°,
∴ 四边形AKMH是矩形,
∴ AH = MK.
∵ BM 平分∠ABF,
∴ ∠MBH=∠MBF.
∵ ∠H = ∠BFM = 90°, BM = BM,
∴ △BMH ≌ △BMF(AAS),
∴ BH=BF.
∵ BF = BC = 13,
∴ BH = BC = 13,
∴ MK=AH=BH-AB=13-5=8,
∴ M到AD的距离为8.

11.（枣庄中考）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE。若AB的长为2，则FM的长为（）

A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1

11. B 解析
∵ 四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,
∴ FB=AB=2,BM=1.在Rt△BMF中, FM=$\sqrt{BF^2-BM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.故选 B.

12. 如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF的大小为.

12. 45° 解析:如图,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠ABC=90°.根据折叠可得∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABD,∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠DBC.
∵ ∠1+∠2 + ∠3 + ∠4 = ∠ABC=90°,
∴ ∠2+∠3=45°,即∠EBF=45°.

13. 如图,在边长为12的正方形ABCD中,点E是边BC的中点,将△DCE沿DE折叠,点C落在正方形内的点F处,则△BEF的面积为.

13. $\frac{72}{5}$ 解析:如图,延长EF交AB于点G,连接GD,过点B作BH⊥EF,垂足为H.由折叠可知 DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90°,
∴ ∠DFG=∠A=90°.在Rt△ADG和Rt△FDG中,AD=FD,DG=DG,
∴ Rt△ADG≌Rt△FDG.
∵ 正方形的边长是12,
∴ BE=EC=EF=6.设AG=FG=x,则 EG=x+6,BG=12-x.在Rt△BEG中,由勾股定理,得 $EG^2=BE^2+BG^2$,即$(x+6)^2=6^2+(12-x)^2$,解得 x=4,
∴ AG=GF=4,BG=8,GE=10,
∴ BH=$\frac{BG · BE}{GE}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$,
∴ $S_{△BEF}=\frac{1}{2} EF · BH=\frac{1}{2}×6×\frac{24}{5}=\frac{72}{5}$.

14. 如图,已知正方形ABCD,点E是BC上任意一点,连接AE,沿AE将正方形折叠,点F与点D是对应点,连接FD分别交AB,AE于点M,N.
(1)求证:AM=BE;
(2)连接BF,若∠BAE = 30°,求∠ABF的度数.

14. (1)由折叠可得 AE⊥DF,
∴ ∠AND=90°,
∴ ∠ADN+∠DAN=90°.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD=AB,∠DAM=∠ABE=90°,
∴ ∠BAE+∠DAN=90°,
∴ ∠ADN=∠BAE,即∠ADM=∠BAE,
∴ △ADM ≌ △BAE (ASA),
∴ AM=BE.
(2)由(1)得∠ADM=∠BAE=30°,又由折叠得AD=AF,
∴ ∠ADF=∠AFD=30°,
∴ ∠DAF=180°-30°-30°=120°.
∵ AB=AD,∠BAD=90°,
∴ AF=AB,∠BAF = ∠DAF - ∠BAD = 120° - 90° = 30°,
∴ ∠ABF = ∠AFB = $\frac{180°-30°}{2}=75°$.