1[2025江苏南通中考,较难]如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.若AB=4,AD=x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象大致为 ()

【解析】
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC = ∠ABC = ∠ACB=60°,AB = BC = AC = 4.
∵AD=BE=CF,
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF,即BD=CE=AF,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DE=EF=DF.
过点A作AG⊥BC于点G,如图,则∠AGB=90°,
∴∠BAG = 30°,
∴$BG=\frac{1}{2}AB=2$,
∴$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=2\sqrt{3},$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AG=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.过点D作DH⊥BC于点H,则∠DHB=90°,
DH//AG,
∴∠BDH=∠BAG=30°,
∴$BH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(4-x),$
∴$DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(4-x),$
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BE· DH=\frac{1}{2}x· \frac{\sqrt{3}}{2}(4-x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x,$
∴$y=S_{△ ABC}-3S_{△ BDE}=4\sqrt{3}-3(-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^2-3\sqrt{3}x+4\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}(x-2)^2+\sqrt{3}\ (0≤ x≤ 4),$
∴y关于x的函数图象为抛物线,且开口向上,当x=0时,y=4√3,当x=4时,y=4√3,当x=2时,y取得最小值√3,
∴选项A,C,D均不符合题意,选项B符合题意,故选B.

2[中]圆圆同学将对一块长20 m,宽10 m的场地进行布置,设计方案如图所示.阴影区域为绿化区(四个全等的矩形),空白区域为活动区,且4个出口宽度相同,其宽度不小于4 m,不大于8 m.设出口宽度均为x m,活动区面积为y m².
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当x取多少时,活动区面积最大?最大面积是多少?
(3)若活动区布置成本为10元/m²,绿化区布置成本为8元/m²,布置场地的预算不超过1850元,当x为整数时,请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本.

【解】(1)根据题意得$y=20×10-4×\frac{20-x}{2}×\frac{10-x}{2}=200-(20-x)(10-x)=200-200+30x-x^2=-x^2+30x,$
∴y关于x的函数表达式为$y=-x^2+30x(4≤ x≤ 8)$.
(2)由(1)知$y=-x^2+30x=-(x-15)^2+225.$$\because -1＜0,$
∴当x＜15时,y随x的增大而增大.$\because 4≤ x≤ 8,$
∴当x=8时,y有最大值,最大值为176,
∴当x取8时,活动区面积最大,最大面积是176 $\mathrm{m}^2$.
(3)设布置场地所用费用为w元,则$w=10(-x^2+30x)+8[200-(-x^2+30x)]=-10x^2+300x+1\ 600+8x^2-240x=-2x^2+60x+1\ 600,$令w=1 850,则$-2x^2+60x+1\ 600=1\ 850,$解得x=25或x=5.又
∵$4≤ x≤ 8,$
∴$4≤ x≤ 5.$
∵活动区面积为$y=-x^2+30x,-1＜0,$抛物线对称轴为直线x=15,
∴当x=5时,活动区面积最大,此时的布置成本为1 850元.

3 新素材[2026 浙江宁波质检,较难]2026年是中国共产党成立105周年,也是“十五五”开局之年.如图,为迎接这一重要时刻,植物园想美化一块足够大的空地,其中有一堵长为6 m的墙,现准备一边利用墙,其他边用长为28 m的篱笆围成矩形花圃,小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示):方案甲中AD的长不超过墙长;方案乙中AD的长超过了墙长.

(1)若使用方案甲,设BC的长为x m,矩形ABCD的面积为$y m^2.$
①求y与x之间的函数关系式;
②求矩形ABCD面积的最大值.
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大?最大是多少?请说明理由.

【解】(1)①
∵BC的长为x m,
∴AB的长为$\frac{28-x}{2}$ m,
∴$y=AB· BC=x· \frac{28-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+14x$.
∵方案甲中AD的长不超过墙长,
∴0＜x≤6.故y与x之间的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}x^2+14x(0＜x≤ 6)$.
②
∵$y=-\frac{1}{2}x^2+14x=-\frac{1}{2}(x-14)^2+98,-\frac{1}{2}＜0,$
∴当0＜x≤6时,y随x的增大而增大,
∴当x=6时,矩形ABCD的面积最大,最大为$-\frac{1}{2}×(6-14)^2+98=66(\mathrm{m}^2)$.
(2)方案乙能使围成的矩形花圃的面积最大,最大是$\frac{289}{4}\ \mathrm{m}^2$.理由如下:方案乙中,设BC的长为a m,矩形ABCD的面积为S $\mathrm{m}^2$,则$S=a· \frac{28-a-(a-6)}{2}=-a^2+17a=-(a-\frac{17}{2})^2+\frac{289}{4}.$
∵方案乙中AD的长超过了墙长,
∴a＞6.
∵$\frac{28-a-(a-6)}{2}＞0,$
∴a＜17,
∴6＜a＜17,
∴当$a=\frac{17}{2}$时,矩形ABCD的面积最大,最大为$\frac{289}{4}\ \mathrm{m}^2$.
∵$\frac{289}{4}＞66,$
∴方案乙能使围成的矩形花圃的面积最大,最大是$\frac{289}{4}\ \mathrm{m}^2$.
易错警示
(1)本题易忽略当甲同学经过学校时,乙同学与学校之间的距离.
思路分析
先根据图中的信息用待定系数法求出每千克售价关于月份的一次函数表达式以及每千克成本关于月份的二次函数表达式,然后根据每千克利润=每千克售价-每千克成本,得出每千克利润关于月份的二次函数表达式,最后根据二次函数的性质得出每千克利润最大的月份.