登录
1[2026浙江温州期末]当公路上行驶的汽车遇到紧急情况时,司机会紧急刹车,但由于惯性,汽车要滑行一段距离才能停下来,若滑行时汽车的行驶路程$s$(米)与时间$t$(秒)的函数关系式为$s=20t-5t^2$,则下列说法正确的是 (
A.汽车滑行4秒后停止
B.汽车滑行2秒后停止
C.滑行速度先变大后变小
D.滑行的最远距离是22米
B
)A.汽车滑行4秒后停止
B.汽车滑行2秒后停止
C.滑行速度先变大后变小
D.滑行的最远距离是22米
答案
∵ s = 20t - 5t² = -5(t - 2)² + 20, -5 ＜ 0,
∴ 当t=2时,s有最大值20,即汽车滑行2秒后停止,此时距离最远,为20米,由题意知滑行速度越来越小,直到0,故选项A,C,D不合题意,选项B符合题意. 故选B.
2[2025浙江杭州质检]甲同学在学校正北方向30 km处,以15 km/h的速度骑车向学校方向前行,同时,乙同学在学校正东方向15 km处,以15 km/h的速度骑车向学校方向前行,假设两人的行驶方向和速度都不变,问:
(1)当其中一人经过学校时,另一人与学校之间的距离为多少?
(2)在这一过程中,两人的最近距离是多少?
(1)当其中一人经过学校时,另一人与学校之间的距离为多少?
(2)在这一过程中,两人的最近距离是多少?
答案
(1)由题可知乙同学1 h时到达学校,而此时甲同学前进了15 km,则甲同学距离学校15 km;甲同学2 h时经过学校,此时乙同学前进了30 km,则乙同学距离学校15 km. 故当其中一人经过学校时,另一人与学校之间的距离为15 km.
(2)如图所示,设x h时,甲、乙两人所处的位置分别在A,B两处,则根据题意可得AC=|30 - 15x| km, BC = |15 - 15x| km,
∴ AB² = (|30 -15x|)² + (|15 - 15x|)² = 450(x - 3/2)² + 225/2.
∵ 450＞0,
∴ 当x=3/2时,AB²取最小值225/2,
∴ AB的最小值为15√2/2,
∴ 两人的最近距离是15√2/2 km.
3[2026北京海淀区质检]将成本价为50元/个的某种商品按零售价60元/个出售时,每周能卖出100个,若这种商品的零售价每涨1元,周销售量就减少2个,但物价部门规定,利润不能超过成本价的30%,则每周获得的最大利润为(
A.80元
B.1 000元
C.1 350元
D.1 800元
C
)A.80元
B.1 000元
C.1 350元
D.1 800元
答案
设每个商品涨价x元,每周的利润为y元,则每周的销售量为(100-2x)个,每个商品的利润为(60+x-50)元,
∴ y = (60+x-50)(100-2x) = -2x²+80x+1 000.
∵ 利润不能超过成本价的30%,
∴ 60+x-50 ≤ 50×30%,
∴ x ≤ 5.
∵ 抛物线y=-2x²+80x+1 000的对称轴为直线x=-80/(2×(-2))=20,-2＜0,
∴ 当x＜20时,y随x的增大而增大,
∴ 当x=5时,y有最大值,最大值为-2×5²+80×5+1 000=1 350,
∴ 每周获得的最大利润为1 350元. 故选C.
∴ y = (60+x-50)(100-2x) = -2x²+80x+1 000.
∵ 利润不能超过成本价的30%,
∴ 60+x-50 ≤ 50×30%,
∴ x ≤ 5.
∵ 抛物线y=-2x²+80x+1 000的对称轴为直线x=-80/(2×(-2))=20,-2＜0,
∴ 当x＜20时,y随x的增大而增大,
∴ 当x=5时,y有最大值,最大值为-2×5²+80×5+1 000=1 350,
∴ 每周获得的最大利润为1 350元. 故选C.
4[2025浙江湖州调研]在1~7月份,某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜,并向
他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息(如图所示),则出售该种蔬菜每千克获得的利润最大的月份可能是
他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息(如图所示),则出售该种蔬菜每千克获得的利润最大的月份可能是
5
月份.答案
设x月份出售时,每千克售价为y₁元,每千克成本为y₂元,则根据图象,可设y₁=kx+b, y₂=a(x-6)²+1. 将(3,5),(6,3)分别代入y₁,得
{3k+b=5,
{6k+b=3,
∴ {k=-2/3,
{b=7,
∴ y₁=-2/3 x+7. 将(3,4)代入y₂,得4=a(3-6)²+1,
∴ a=1/3,
∴ y₂=1/3(x-6)²+1.
设每千克利润为w元,
∴ w = y₁ - y₂,
∴ w = -2/3 x+7-[1/3(x-6)²+1] = -1/3 x² + 10/3 x -6 = -1/3(x-5)² +7/3,故当x=5时,w有最大值. 故答案为5.
{3k+b=5,
{6k+b=3,
∴ {k=-2/3,
{b=7,
∴ y₁=-2/3 x+7. 将(3,4)代入y₂,得4=a(3-6)²+1,
∴ a=1/3,
∴ y₂=1/3(x-6)²+1.
设每千克利润为w元,
∴ w = y₁ - y₂,
∴ w = -2/3 x+7-[1/3(x-6)²+1] = -1/3 x² + 10/3 x -6 = -1/3(x-5)² +7/3,故当x=5时,w有最大值. 故答案为5.
5 某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40 m和30 m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（
A.$y=-\dfrac{8}{45}x^2-\dfrac{16}{3}x$
B.$y=30x^2-40x$
C.$y=-\dfrac{8}{45}x^2+\dfrac{16}{3}x$
D.$y=-40x^2+30x$
C
）A.$y=-\dfrac{8}{45}x^2-\dfrac{16}{3}x$
B.$y=30x^2-40x$
C.$y=-\dfrac{8}{45}x^2+\dfrac{16}{3}x$
D.$y=-40x^2+30x$
答案
由二次函数的图象可得,抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(30,0),
∴ 对称轴为直线x=(0+30)/2=15.
∵ 桥墩的高度为40 m,
∴ 抛物线的顶点坐标为(15,40). 设抛物线的表达式为y = a(x-15)²+40(a≠0),把(0,0)代入上式得,a×15²+40=0,
∴ a=-8/45,
∴ 该抛物线的表达式为y=-8/45(x-15)²+40,即y=-8/45 x² + 16/3 x,故选C.
∴ 对称轴为直线x=(0+30)/2=15.
∵ 桥墩的高度为40 m,
∴ 抛物线的顶点坐标为(15,40). 设抛物线的表达式为y = a(x-15)²+40(a≠0),把(0,0)代入上式得,a×15²+40=0,
∴ a=-8/45,
∴ 该抛物线的表达式为y=-8/45(x-15)²+40,即y=-8/45 x² + 16/3 x,故选C.
6[2025浙江宁波调研]如图(1)是某城市广场的音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图(2)所示，点B是该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为D，若BD=7 m，OD=2 m，OC=(2+√7)m，则OA的长为
3
m.答案
根据题意可设抛物线表达式为y=a(x-2)²+7,将点C(2+√7,0)代入,得0=a(2+√7-2)²+7,解得a=-1,
∴ 抛物线表达式为y=-(x-2)²+7,当x=0时,y=-(0-2)²+7=3,即OA=3 m. 故答案为3.
∴ 抛物线表达式为y=-(x-2)²+7,当x=0时,y=-(0-2)²+7=3,即OA=3 m. 故答案为3.
