1[2025浙江衢州期中,中]如图(1)是玻璃水杯的截面图,其左右轮廓线AC,BD为某抛物线的一部分,杯口AB=8 cm,杯底CD=4 cm,且AB//CD,杯深12 cm.如图(2),将盛有部分水的水杯倾斜,水面正好经过点B,且∠ABP=45°.嘉淇在图(1)中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上),对于下列结论,其中不正确的是 ()

A.轮廓线AC,BD所在抛物线的表达式为$y=x^2 -16$
B.直线PB的表达式为$y=x-4$
C.点P到杯口AB的距离为5 cm
D.点P到点D的距离为$5\sqrt{2}$ cm

由题意得A(-4,0),B(4,0),C(-2,-12),D(2,-12). 设轮廓线AC,BD所在抛物线的表达式为y=ax²+k,记BP与y轴的交点为E,把A(-4,0),C(-2,-12)代入得{16a+k=0, 4a+k=-12, 解得{a=1, k=-16,
∴ y=x²-16,故A正确.
∵ ∠EOB=90°,∠ABP=45°,
∴ ∠OEB=∠ABP=45°,
∴ OB=OE,
∴ E(0,-4). 设直线PB的表达式为y=mx+n,把B(4,0),E(0,-4)代入得{4m+n=0, n=-4, 解得{m=1, n=-4,
∴ 直线PB的表达式为y=x-4,故B正确. 令x²-16=x-4,解得x₁=-3,x₂=4(舍去),当x=-3时,y=-3-4=-7,
∴ P(-3,-7),
∴ 点P到杯口AB的距离为7 cm,故C不正确. 连结PD,则PD=√((2+3)²+(-12+7)²)=5√2(cm),故D正确. 故选C.

2[2026天津和平区质检,中]如图所示,足球从距离地面5米处的空中沿x轴正方向抛射,在距离初始发射位置9米处第一次落地,经地面反弹后,在距离初始发射位置12米时第二次达到最大高度3米,此后足球第二次落地,已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线,根据图中的信息,回答以下问题:

(1)当x=时,足球距离地面的高度最大;当x=时,足球第二次落地;
(2)当足球距离地面的高度小于2米时,x的取值范围是.

(1)由题图可知,对于第一段抛物线,其对称轴为直线x=(0+6)/2=3,故当x=3时,足球距离地面的高度最大;对于第二段抛物线,其对称轴为直线x=12,
∴ 当x=12+12-9=15时,足球第二次落地.
(2)由(1)知第一段抛物线的对称轴是直线x=3,故其与x轴的另外一个交点的横坐标为3×2-9=-3,故可设第一段抛物线的表达式为y=a(x-9)(x+3). 将(0,5)代入得5=-27a,
∴ a=-5/27,
∴ 第一段抛物线的表达式为y=-5/27(x-9)(x+3). 令-5/27(x-9)(x+3)=2,解得x=(15±3√70)/5,
∴ 对于第一段抛物线,当(15+3√70)/5 ＜x≤9时,足球距离地面的高度小于2米. 由(1)可设第二段抛物线的表达式为y=a₁(x-9)(x-15). 将(12,3)代入得3=a₁(12-9)(12-15),
∴ a₁=-1/3,
∴ 第二段抛物线的表达式为y=-1/3(x-9)(x-15). 令-1/3(x-9)(x-15)=2,解得x=12±√3,
∴ 对于第二段抛物线,当9≤x＜12-√3或12+√3＜x≤15时,足球距离地面的高度小于2米. 综上,当(15+3√70)/5 ＜x＜12-√3或12+√3＜x≤15时,足球距离地面的高度小于2米.

3[2026浙江衢州调研,中]某农户种植的农产品在某月(按30天计)的第$x$天($x$为正整数)的售价$p$(元/kg)与$x$之间的函数关系式为$p=\begin{cases} \dfrac{2}{5}x + 4(0 ＜ x ≤ 20), \\ -\dfrac{1}{5}x + 12(20 ＜ x ≤ 30), \end{cases}$ 销售量$y$(kg)与$x$之间的关系如图所示.
(1)写出$y$与$x$之间的函数关系式及$x$的取值范围: .
(2)当月第几天该农产品的销售额(销售额=销售量×售价)最大?最大销售额是多少?

(1)当0＜x≤20时,设y与x之间的函数关系式为y=ax+b,则{20a+b=40, b=80, 解得{a=-2, b=80, 即当0＜x≤20时,y与x之间的函数关系式为y=-2x+80;
当20＜x≤30时,设y与x之间的函数关系式为y=mx+n,则{20m+n=40, 30m+n=80, 解得{m=4, n=-40, 即当20＜x≤30时,y与x之间的函数关系式为y=4x-40.
综上所述,y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}-2x+80(0＜x≤20),\\4x-40(20＜x≤30)\end{cases}$.
(2)设当月第x天该农产品的销售额是w元. 当0＜x≤20时,w=(2/5 x +4)(-2x+80) = -4/5(x-15)² + 500,
∴ 当x=15时,w取得最大值,此时w最大=500.
当20＜x≤30时,w=(-1/5 x +12)(4x-40) = -4/5(x-35)² + 500,
∴ 当x=30时,w取得最大值,此时w最大=480.
∵ 500＞480,
∴ 当月第15天该农产品的销售额最大,最大销售额是500元.

4[较难]如图(1)是一座抛物线形拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24 m,在距离D点6米的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部O离水面的距离;
(2)如图(2),桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线的函数表达式;
②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,则彩带长度最小是多少?

刷素养 走向重高

(1)根据题意可知点F的坐标为(6,-1.5),可设拱桥侧面所在抛物线的表达式为y₁=a₁x². 将F(6,-1.5)代入y₁=a₁x²,得-1.5=36a₁,解得a₁=-1/24,
∴ y₁=-1/24 x². 当x=12时,y₁=-1/24 ×12²=-6,
∴ 桥拱顶部O离水面的距离为6 m.
(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),可设其表达式为y₂=a₂(x-6)²+1,将H(0,4)代入,得4=(0-6)²a₂+1,解得a₂=1/12,
∴ 右边钢缆所在抛物线表达式为y₂=1/12(x-6)²+1.
(同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y₃=1/12(x+6)²+1,任选其一回答即可)
②设彩带的长度为L m,则L=y₂ - y₁ = 1/12(x-6)² +1 - (-1/24 x²) = 1/8 x² -x +4 = 1/8(x-4)² +2,
∴ 当x=4时,L最小=2.
答:彩带长度最小是2 m.