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1 九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆这三种方案(如图所示),则最佳方案是 (
A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.方案1或方案2
C
)A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.方案1或方案2
答案
【解析】方案1:如图,设AD=x米,则AB=(8-2x)米,菜园的面积为x(8-2x)=-2x²+8x=-2(x-2)²+8,当x=2时,菜园的面积最大,为8平方米.
方案2:如图,过点B作BD⊥AC于点D,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×4×BD$,当∠BAC=90°,即BD与BA重合时,菜园的面积最大,为$\frac{1}{2}×4×4=$8(平方米).
方案3:半圆的半径为$\frac{8}{π}$米,此时菜园的面积为$\frac{π×(\frac{8}{π})^2}{2}=\frac{32}{π}$(平方米).$\because \frac{32}{π}＞8,$
∴最佳方案是方案3.故选C.
2[2025浙江温州调研]如图,用总长度为12 m的不锈钢材料制作如图所示的外观为矩形的框架,其中的横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为 (
A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
(第2题图)
(第3题图)
A
)A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
(第2题图)
(第3题图)
答案
【解析】设AB为x m,则$AD=\frac{12-3x}{3}=(4-x)\mathrm{m}$,
$\therefore S_{\mathrm{矩形框架}ABCD}=AB×AD=-x^2+4x=-(x-2)^2+4,$
∴当x=2时,S取得最大值4,
∴矩形框架ABCD的最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$.故选A.
$\therefore S_{\mathrm{矩形框架}ABCD}=AB×AD=-x^2+4x=-(x-2)^2+4,$
∴当x=2时,S取得最大值4,
∴矩形框架ABCD的最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$.故选A.
3[2025浙江宁波期末]如图,利用$135°$的墙角(墙足够长)修建一个四边形花坛$ABCD$,使得$AD// BC$,$∠ C=90°$,如果折线$B-C-D$总长为$15\ \mathrm{m}$,那么当$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$时,花坛的面积最大.
答案
【解析】如图,过点A作AE⊥BC于E,则四边形ADCE为矩形,$∠DAE=∠AEB=90°,$
∴$∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°$.设DC=AE=x m.在Rt△AEB中,$∠AEB=90°,$
∴$∠ABE=∠BAE=45°,$
∴AE=BE=x m,
∴AD=CE=(15-2x) m,
∴梯形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}(AD+BC)· CD=\frac{1}{2}(15-2x+15-x)· x=-\frac{3}{2}x^2+15x=-\frac{3}{2}(x-5)^2+\frac{75}{2}.\because -\frac{3}{2}＜0,$
∴该函数表达式图象开口向下,
∴当x=5时,S取得最大值$\frac{75}{2}$.故当CD=5 m时,花坛的面积最大.故答案为5.
易错警示
(2)注意自变量的取值范围是$4≤ x≤ 8$,求车棚面积的最大值时不要忽略这个条件.
关键点拨
此题考查二次函数性质的运用,利用梯形的面积公式列出二次函数表达式,再利用二次函数的性质解决问题.
4[2025广东东莞期中]如图,学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60 m),其他的边用总长为70 m的不锈钢栅栏围成,左右两侧各开一个1 m的出口.(备注信息:在自行车车棚后面距教学楼后墙8 m处规划机动车停车位)
(1)设自行车车棚面积为$S\ \mathrm{m}^2$,车棚宽度AB为$x\ \mathrm{m}$,求$S$与$x$之间的函数关系式,并求出自变量$x$的取值范围;
(2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建,请问该车棚面积最大可达到多少?请说明理由.
(1)设自行车车棚面积为$S\ \mathrm{m}^2$,车棚宽度AB为$x\ \mathrm{m}$,求$S$与$x$之间的函数关系式,并求出自变量$x$的取值范围;
(2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建,请问该车棚面积最大可达到多少?请说明理由.
答案
【解】(1)
∵车棚宽度AB为x m,
∴BC=70+2-3x=(72-3x) m,
∴$S=x(72-3x)=-3x^2+72x$.
由题可得$\begin{cases}1＜x≤ 8,\\0＜72-3x≤ 60,\end{cases}$解得$4≤ x≤ 8$,
∴S与x之间的函数关系式为$S=-3x^2+72x(4≤ x≤ 8)$.
(2)自行车车棚面积最大可达到384 $\mathrm{m}^2$.理由如下:
∵$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432,4≤ x≤ 8,$
∴当x=8时,S有最大值,$S_{\mathrm{最大}}=-3×16+432=384,$
∴该车棚面积最大可达到384 $\mathrm{m}^2$.
∵车棚宽度AB为x m,
∴BC=70+2-3x=(72-3x) m,
∴$S=x(72-3x)=-3x^2+72x$.
由题可得$\begin{cases}1＜x≤ 8,\\0＜72-3x≤ 60,\end{cases}$解得$4≤ x≤ 8$,
∴S与x之间的函数关系式为$S=-3x^2+72x(4≤ x≤ 8)$.
(2)自行车车棚面积最大可达到384 $\mathrm{m}^2$.理由如下:
∵$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432,4≤ x≤ 8,$
∴当x=8时,S有最大值,$S_{\mathrm{最大}}=-3×16+432=384,$
∴该车棚面积最大可达到384 $\mathrm{m}^2$.
5[2026浙江温州期中]已知直角三角形的两直角边长之和为4,则该三角形面积的最大值为
2
.答案
【解析】设一直角边长为x,该三角形面积为S,则另一直角边长为4-x,
∴$S=\frac{1}{2}x(4-x)=-\frac{1}{2}x^2+2x=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2.$$\because -\frac{1}{2}＜0,$
∴该函数图象开口向下,
∴当x=2时,S取得最大值2.故答案为2.
∴$S=\frac{1}{2}x(4-x)=-\frac{1}{2}x^2+2x=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2.$$\because -\frac{1}{2}＜0,$
∴该函数图象开口向下,
∴当x=2时,S取得最大值2.故答案为2.
6[2026河北保定期末]如图,矩形ABCD中,AB=2 cm,AD=7 cm,动点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动,设移动时间为t(s).连结PC,以PC为一边在PC上方作正方形PCEF,连结DE,DF,则△DEF的面积最小为
$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
【解析】设△DEF的面积为y $\mathrm{cm}^2$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=2 cm,$∠PDC=90°$.由题意得AP=t cm,则PD=(7-t) cm.
∵四边形EFPC是正方形,
∴易得$S_{△ DEF}+S_{△ PDC}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}EFPC}$.在Rt△PCD中,$PC^2=PD^2+CD^2,$
∴$PC^2=(7-t)^2+2^2=t^2-14t+53,$
∴$y=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}EFPC}-S_{△ PDC}=\frac{1}{2}(t^2-14t+53)-\frac{1}{2}×2×(7-t)=\frac{1}{2}t^2-6t+\frac{39}{2}=\frac{1}{2}(t-6)^2+\frac{3}{2}.$
$\because \frac{1}{2}＞0,$
∴当t=6时,y取得最小值$\frac{3}{2}$,
∴△DEF的面积最小为$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$.故答案为$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=2 cm,$∠PDC=90°$.由题意得AP=t cm,则PD=(7-t) cm.
∵四边形EFPC是正方形,
∴易得$S_{△ DEF}+S_{△ PDC}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}EFPC}$.在Rt△PCD中,$PC^2=PD^2+CD^2,$
∴$PC^2=(7-t)^2+2^2=t^2-14t+53,$
∴$y=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}EFPC}-S_{△ PDC}=\frac{1}{2}(t^2-14t+53)-\frac{1}{2}×2×(7-t)=\frac{1}{2}t^2-6t+\frac{39}{2}=\frac{1}{2}(t-6)^2+\frac{3}{2}.$
$\because \frac{1}{2}＞0,$
∴当t=6时,y取得最小值$\frac{3}{2}$,
∴△DEF的面积最小为$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$.故答案为$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$.
