10.如图，若$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，$∠1=∠2$，下列结论：①$AC// DE$；②$∠ A=∠3$；③$∠3=∠ EDB$；④$∠2=∠ A$，其中正确的结论为.(填序号)

10.①②③

【分析】
解题时先结合已知的垂直、角相等条件，利用平行线的判定定理先判断AC与DE的位置关系，再结合平行线的性质、同角的余角相等的性质，逐个验证4个结论是否正确：首先由∠1和∠2是内错角且相等，可推出AC//DE，验证①；再根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，推导角的等量关系，依次验证②③④即可。
【解析】
1. 验证结论①：已知∠1=∠2，∠1和∠2是直线AC、DE被CD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$，故①正确。
2. 验证结论②：因为$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，所以$∠ 1+∠ A=90°$，$∠ 1+∠ 3=90°$，根据“同角的余角相等”，可得$∠ A=∠ 3$，故②正确。
3. 验证结论③：由$AC// DE$可得$DE⊥ BC$，所以$∠ 2+∠ 3=90°$，又$CD⊥ AB$，可得$∠ 2+∠ EDB=90°$，根据“同角的余角相等”，可得$∠ 3=∠ EDB$，故③正确。
4. 验证结论④：由$CD⊥ AB$得$∠ 2+∠ EDB=90°$，又$∠ A=∠ EDB$，所以$∠ 2+∠ A=90°$，仅当$∠ A=45°$时$∠ 2=∠ A$，一般情况不成立，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定与性质；同角的余角相等；垂直的定义
【点评】
本题是基础的几何综合题，需要结合图形准确识别角的位置关系，灵活运用平行线、余角的相关性质逐步推导，注意不要随意假设角的特殊度数判断结论。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11. 解方程组：$\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1, \\ 3x - 4y = 2. \end{cases}$

11.$\begin{cases} x=\dfrac{10}{3}, \\ y=2. \end{cases}$

【分析】
这是二元一次方程组求解问题，第一个方程含分数系数，直接计算易出错，第一步先通过去分母将其转化为整数系数方程；观察发现去分母后x的系数和第二个方程中x的系数相同，可选择加减消元法消去x，先求出y的值，再代入方程求x的值，最后验证解的正确性即可。
【解析】
解：给原方程组编号如下：
$\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \ \ \ ①, \\ 3x - 4y = 2 \ \ \ \ \ \ \ \ ②. \end{cases}$
1. 化简方程①：两边同时乘分母的最小公倍数6去分母，得
$6×\dfrac{x}{2} - 6×\dfrac{y}{3} = 6×1$
化简为：$3x - 2y = 6 \ \ \ ③$
2. 加减消元求y：用③减去②消去x，得
$(3x - 2y) - (3x - 4y) = 6 - 2$
去括号、合并同类项得：$2y = 4$
解得：$y = 2$
3. 代入求x：把$y=2$代入方程②，得
$3x - 4×2 = 2$
移项计算得：$3x = 10$，即$x = \dfrac{10}{3}$
4. 检验：将$\begin{cases} x=\dfrac{10}{3} \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组，两个方程左右两边均相等，是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{10}{3}, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
1. 去分母法则 2. 加减消元法 3. 二元一次方程组解法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题，解题关键是先将分数系数方程化为整数系数方程，再根据系数特征选择简便的消元方法，计算时要注意去括号、移项的符号问题，求解后可代入原方程检验结果是否正确。
【难度系数】
0.8

12. 对于任意实数$a,b$,定义关于$@$的一种运算如下$a@b=a-2b$,例如$5@3=5-6=-1,5@(-3)=5-(-6)=11$.
(1)填空:$8@2=\_\_\_\_\_\_;2@(-1)=\_\_\_\_\_\_;$
(2)若$x@2＜1$,求$x$的取值范围;
(3)若关于$x$的不等式$3@(m-x)＜5$恰有两个正整数解,求$m$的取值范围.

12.解:(1)4;4;
(2)$\because x@2＜1$,
$\therefore x-2× 2＜1$,
$\therefore x＜5$;
(3)由 $3@(m-x)＜5$,得
$3-2(m-x)＜5$,
解得 $x＜1+m$,
$\because$不等式 $3@(m-x)＜5$ 恰有两个正整数解,
$\therefore 2＜1+m≤ 3$,
解得:$1＜m≤ 2$.

【分析】
本题是新定义运算类题型，解题核心是先准确理解新运算“@”的规则：$a@b=a-2b$，即运算结果等于第一个数减去第二个数的2倍。解题思路如下：
(1) 第一问直接将对应数值代入新运算规则，按照有理数运算法则计算即可；
(2) 第二问先将$x@2$按照新规则转化为普通代数式，再列一元一次不等式求解，即可得到$x$的取值范围；
(3) 第三问先把$3@(m-x)$按新规则转化为含$x$的不等式，解出用含$m$的代数式表示的$x$的范围，再根据“恰有两个正整数解”确定这两个正整数解为1、2，由此推导$x$取值上限的边界范围，进而求出$m$的取值范围，注意要仔细判断边界处等号是否成立。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a@b=a-2b$计算：
$8@2=8-2×2=8-4=4$
$2@(-1)=2-2×(-1)=2+2=4$
(2) 已知$x@2＜1$，按新运算规则转化为普通不等式：
$x-2×2＜1$
整理得$x-4＜1$
移项解得$x＜5$
(3) 先将$3@(m-x)＜5$按新运算规则转化：
$3-2(m-x)＜5$
去括号得$3-2m+2x＜5$
移项合并同类项得$2x＜2+2m$
两边同时除以2得$x＜1+m$
∵不等式恰有两个正整数解，可知这两个正整数解为1、2
∴$x$的上限需要满足$2＜1+m≤3$（若$1+m≤2$则正整数解只有1个，若$1+m＞3$则正整数解至少有3个）
分别解不等式：
$2＜1+m$，解得$m＞1$
$1+m≤3$，解得$m≤2$
综上可得$1＜m≤2$
【答案】
(1) $4$；$4$
(2) $x＜5$
(3) $1＜m≤2$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式，不等式整数解应用
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的解法及整数解的应用，解题关键是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的四则运算和不等式求解，处理整数解问题时要注意边界值的取舍，避免漏等号或多取等号出错。
【难度系数】
0.7

13.已知，$∠ AOB = 90°$，点C在射线OA上，$CD // OE$.
(1)如图1，若$∠ OCD = 120°$，求$∠ BOE$的度数；
(2)把“$∠ AOB = 90°$”改为“$∠ AOB = 130°$”，射线OE沿射线OB平移，得$O'E$，其他条件不变，(如图2所示)，探究$∠ OCD$和$∠ BO'E$的关系；
(3)在(2)的条件下，作$PO' ⊥ OB$，垂足为$O'$，与$∠ OCD$的平分线CP交于点P，若$∠ BO'E = α$，请用含$α$的式子表示$∠ CPO'$.(请直接写出答案)

13.解:(1)$\because CD// OE$,
$\therefore ∠ AOE=∠ OCD=120°$,
$\therefore ∠ BOE=360°-90°-120°=150°$;
(2)$∠ OCD+∠ BO'E=230°$.理由如下:
如图1,过O作$OF// O'E$,则$∠ BO'E=∠ 3$,
$\because CD// O'E$,
$\therefore CD// OF$,
$\therefore ∠ 2=∠ OCD$,
$\because ∠ 2+∠ 3+∠ AOB=360°$,
$\therefore ∠ OCD+∠ BO'E=360°-130°=230°$;

(3)由(2)可知:$∠ OCD+∠ BO'E=230°$,
如图2,
$\therefore ∠ OCD=230°-α$,
$\because PC$平分$∠ OCD$,
$\therefore ∠ 4=\frac{1}{2}∠ OCD=115°-\frac{1}{2}α$,
$\because PO'⊥ OB$,
$\therefore ∠ OO'P=90°$,
$\because ∠ AOB+∠ 4+∠ OO'P+∠ CPO'=360°$,
$\therefore 130°+115°-\frac{1}{2}α+90°+∠ CPO'=360°$,
$\therefore ∠ CPO'=25°+\frac{1}{2}α$.

【分析】
(1) 首先利用平行线的性质得到∠AOE与∠OCD的等量关系，再结合周角为360°，减去已知的∠AOB和∠AOE，即可求出∠BOE的度数。
(2) 射线OE平移得到O'E后，过点O作OF平行于O'E，利用平行的传递性可得CD也平行于OF，再根据平行线的性质将∠OCD和∠BO'E转化为与∠AOB共顶点的两个角，结合周角360°即可推出两个角的数量关系。
(3) 先利用(2)得到的∠OCD和∠BO'E的关系，用含α的式子表示∠OCD，再根据角平分线的定义得到平分后的小角度数，最后结合四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠CPO'的表达式。
【解析】
(1) $\because CD// OE$,
$\therefore ∠ AOE=∠ OCD=120°$,
$\therefore ∠ BOE=360°-90°-120°=150°$;
(2) $∠ OCD+∠ BO'E=230°$. 理由如下:
如图1,过O作$OF// O'E$,则$∠ BO'E=∠ 3$,
$\because CD// O'E$,
$\therefore CD// OF$,
$\therefore ∠ 2=∠ OCD$,
$\because ∠ 2+∠ 3+∠ AOB=360°$,
$\therefore ∠ OCD+∠ BO'E=360°-130°=230°$;

(3) 由(2)可知:$∠ OCD+∠ BO'E=230°$,
如图2,
$\therefore ∠ OCD=230°-α$,
$\because PC$平分$∠ OCD$,
$\therefore ∠ 4=\frac{1}{2}∠ OCD=115°-\frac{1}{2}α$,
$\because PO'⊥ OB$,
$\therefore ∠ OO'P=90°$,
$\because ∠ AOB+∠ 4+∠ OO'P+∠ CPO'=360°$,
$\therefore 130°+115°-\frac{1}{2}α+90°+∠ CPO'=360°$,
$\therefore ∠ CPO'=25°+\frac{1}{2}α$.

【答案】
(1) $∠ BOE=150°$；
(2) $∠ OCD+∠ BO'E=230°$；

(3) $∠ CPO'=25°+\frac{1}{2}α$。

【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、平移、角平分线相关的角度计算，通过构造辅助线转化角度关系是解题的关键，第三问需要结合前一问的结论推导，能有效锻炼逻辑推理和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6