登录
4 面积为9的正方形的边长等于 （
A.9的平方根
B.9的算术平方根
C.9的立方根
D.$\sqrt{9}$的算术平方根
B
）A.9的平方根
B.9的算术平方根
C.9的立方根
D.$\sqrt{9}$的算术平方根
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，且边长是正数。首先根据面积求出边长的具体值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断选项即可。解题关键点是明确：算术平方根是一个非负数的正的平方根，而平方根有正负两个，实际问题中的长度只能取正值。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=9$
解得$a=3$（边长为正，舍去负根$-3$）。
接下来分析各选项：
A. 9的平方根是$\pm3$，包含负值，不符合边长为正的要求，错误；
B. 9的算术平方根是$3$，和计算得到的边长一致，正确；
C. 9的立方根是$\sqrt[3]{9}≠3$，错误；
D. $\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}≠3$，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；正方形面积计算
【点评】
本题重点考查平方根与算术平方根的区别，解题时要注意结合实际问题的隐含条件（长度为正）筛选合适的结果，不要混淆平方根和算术平方根的定义。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，且边长是正数。首先根据面积求出边长的具体值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断选项即可。解题关键点是明确：算术平方根是一个非负数的正的平方根，而平方根有正负两个，实际问题中的长度只能取正值。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=9$
解得$a=3$（边长为正，舍去负根$-3$）。
接下来分析各选项：
A. 9的平方根是$\pm3$，包含负值，不符合边长为正的要求，错误；
B. 9的算术平方根是$3$，和计算得到的边长一致，正确；
C. 9的立方根是$\sqrt[3]{9}≠3$，错误；
D. $\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}≠3$，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；正方形面积计算
【点评】
本题重点考查平方根与算术平方根的区别，解题时要注意结合实际问题的隐含条件（长度为正）筛选合适的结果，不要混淆平方根和算术平方根的定义。
【难度系数】
0.8
5 一个正数的两个不相等的平方根分别是3与$a+2$,则$a$的值为
$-5$
。答案
5. $-5$
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。由此可以找到题中的等量关系：两个平方根的和等于0，据此列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不相等的平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可得方程：
$3 + (a + 2) = 0$
整理得：$a + 5 = 0$
解得：$a = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
1.平方根的性质 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方根性质的应用，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心结论，整体计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。由此可以找到题中的等量关系：两个平方根的和等于0，据此列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不相等的平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可得方程：
$3 + (a + 2) = 0$
整理得：$a + 5 = 0$
解得：$a = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
1.平方根的性质 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平方根性质的应用，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心结论，整体计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.9
6 设n是大于1的正整数，n的平方根及立方根都是整数，则n的最小值是
$64$
。答案
6. 64
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合平方根、立方根的性质拆解条件：若一个数的平方根是整数，说明这个数是完全平方数，可表示为某个正整数的平方；若一个数的立方根是整数，说明这个数是完全立方数，可表示为某个正整数的立方。要找同时满足两个条件且大于1的最小n，本质是找质因数指数同时是2和3的倍数的最小正整数，2和3的最小公倍数是6，因此最小的符合条件的数就是最小质数的6次方。
【解析】
解：由题意可知：
1. 因为n的平方根是整数，所以n是完全平方数，即存在正整数$a$，使得$n=a^2$；
2. 因为n的立方根是整数，所以n是完全立方数，即存在正整数$b$，使得$n=b^3$。
因此n的质因数分解中，每个质因数的指数需要同时是2和3的倍数，即指数最小为2和3的最小公倍数6。
取最小的质数2，可得最小的大于1的n为$2^6=64$。
验证：$\sqrt{64}=8$是整数，$\sqrt[3]{64}=4$是整数，符合要求。
【答案】
64
【知识点】
平方根的概念，立方根的概念，最小公倍数应用
【点评】
本题是平方根、立方根概念的综合应用题，解题关键是理解完全平方数和完全立方数的特征，结合公倍数的知识即可快速找到最小的符合条件的数，难度不大，侧重对基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先结合平方根、立方根的性质拆解条件：若一个数的平方根是整数，说明这个数是完全平方数，可表示为某个正整数的平方；若一个数的立方根是整数，说明这个数是完全立方数，可表示为某个正整数的立方。要找同时满足两个条件且大于1的最小n，本质是找质因数指数同时是2和3的倍数的最小正整数，2和3的最小公倍数是6，因此最小的符合条件的数就是最小质数的6次方。
【解析】
解：由题意可知：
1. 因为n的平方根是整数，所以n是完全平方数，即存在正整数$a$，使得$n=a^2$；
2. 因为n的立方根是整数，所以n是完全立方数，即存在正整数$b$，使得$n=b^3$。
因此n的质因数分解中，每个质因数的指数需要同时是2和3的倍数，即指数最小为2和3的最小公倍数6。
取最小的质数2，可得最小的大于1的n为$2^6=64$。
验证：$\sqrt{64}=8$是整数，$\sqrt[3]{64}=4$是整数，符合要求。
【答案】
64
【知识点】
平方根的概念，立方根的概念，最小公倍数应用
【点评】
本题是平方根、立方根概念的综合应用题，解题关键是理解完全平方数和完全立方数的特征，结合公倍数的知识即可快速找到最小的符合条件的数，难度不大，侧重对基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.7
7 已知$\frac{1}{2}a -1$的平方根为$\pm 2$，$b+1$的立方根为2，求代数式$\sqrt{a - b}$的值。
答案
7. 因为$\frac{1}{2}a -1$的平方根为$\pm 2$,$b+1$的立方根为2,所以$\frac{1}{2}a -1=4$,$b+1=8$,解得$a=10$,$b=7$.所以$\sqrt{a-b}=\sqrt{10-7}=\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用平方根的定义：若一个数的平方根为±m，则这个数等于m²，据此列出关于a的方程求出a的值；再利用立方根的定义：若一个数的立方根为n，则这个数等于n³，列出关于b的方程求出b的值；最后将a、b代入待求的二次根式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{2}a -1$的平方根为$\pm 2$，
根据平方根的定义可得：$\frac{1}{2}a - 1 = (\pm 2)^2 = 4$，
解得：$a = 10$。
∵$b+1$的立方根为2，
根据立方根的定义可得：$b + 1 = 2^3 = 8$，
解得：$b = 7$。
将$a=10$、$b=7$代入$\sqrt{a-b}$得：
$\sqrt{a-b} = \sqrt{10 - 7} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是准确把握平方根和立方根的定义，根据定义列方程求出未知字母的值，整体计算难度低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平方根的定义：若一个数的平方根为±m，则这个数等于m²，据此列出关于a的方程求出a的值；再利用立方根的定义：若一个数的立方根为n，则这个数等于n³，列出关于b的方程求出b的值；最后将a、b代入待求的二次根式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{2}a -1$的平方根为$\pm 2$，
根据平方根的定义可得：$\frac{1}{2}a - 1 = (\pm 2)^2 = 4$，
解得：$a = 10$。
∵$b+1$的立方根为2，
根据立方根的定义可得：$b + 1 = 2^3 = 8$，
解得：$b = 7$。
将$a=10$、$b=7$代入$\sqrt{a-b}$得：
$\sqrt{a-b} = \sqrt{10 - 7} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是准确把握平方根和立方根的定义，根据定义列方程求出未知字母的值，整体计算难度低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
8 下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（
A.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{12}$与$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{27}$与$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{45}$与$\sqrt{54}$
C
）A.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{12}$与$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{27}$与$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{45}$与$\sqrt{54}$
答案
8. C
解析
【分析】
要判断哪组式子化简后被开方数相同，核心思路是先将每个选项中的二次根式都化为最简二次根式，再对比被开方数是否一致。最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母。因此解题时先逐个化简每个选项中的根式，再对比即可。
【解析】
我们对每个选项分别化简判断：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数是2；$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数是3，二者被开方数不同，不符合要求。
B选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是3；$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数是2，二者被开方数不同，不符合要求。
C选项：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数是3；$2\sqrt{3}$的被开方数也是3，二者被开方数相同，符合要求。
D选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，被开方数是5；$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，被开方数是6，二者被开方数不同，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式识别
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，准确将二次根式化为最简形式后再对比被开方数即可得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪组式子化简后被开方数相同，核心思路是先将每个选项中的二次根式都化为最简二次根式，再对比被开方数是否一致。最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母。因此解题时先逐个化简每个选项中的根式，再对比即可。
【解析】
我们对每个选项分别化简判断：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数是2；$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数是3，二者被开方数不同，不符合要求。
B选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是3；$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数是2，二者被开方数不同，不符合要求。
C选项：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数是3；$2\sqrt{3}$的被开方数也是3，二者被开方数相同，符合要求。
D选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，被开方数是5；$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，被开方数是6，二者被开方数不同，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式识别
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，准确将二次根式化为最简形式后再对比被开方数即可得到答案。
【难度系数】
0.8
9 $\sqrt{a^2}=|a|$是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下面的问题.
（1）化简：$\sqrt{(-4)^2}=$
（2）已知实数$a$，$b$在数轴上的对应点如图所示，化简$\sqrt{a^2}-|1-a|+\sqrt{(1-b)^2}$.
（1）化简：$\sqrt{(-4)^2}=$
$4$
，$\sqrt{(3-π)^2}=$$π-3$
；（2）已知实数$a$，$b$在数轴上的对应点如图所示，化简$\sqrt{a^2}-|1-a|+\sqrt{(1-b)^2}$.
答案
9. (1) $4$，$π-3$ (2) 由数轴可知,$a＜0＜1＜b$,则$1-a＞0$,$1-b＜0$,所以$|a|=-a$,$|1-a|=1-a$,$|1-b|=-(1-b)$.所以原式$=|a|-|1-a|+|1-b|=-a-(1-a)-(1-b)=-a-1+a-1+b=b-2$
解析
【分析】
本题考查二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$的应用，解题思路如下：
（1）小题直接套用性质，先将二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值内数的正负性去绝对值符号即可；
（2）小题首先根据数轴上点的位置判断$a$、$b$与$0$、$1$的大小关系，进而判断每个绝对值内代数式的正负性，再将原式中的二次根式全部转化为绝对值，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）根据$\sqrt{x^2}=|x|$可得：
$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$；
因为$π\approx3.14＞3$，所以$3-π＜0$，因此$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$。
（2）由数轴上点的位置可知：$a＜0＜1＜b$，
由此可得：$1-a＞0$，$1-b＜0$，
根据二次根式性质，原式可转化为：
$\sqrt{a^2}-|1-a|+\sqrt{(1-b)^2}=|a|-|1-a|+|1-b|$
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|a|=-a$，$|1-a|=1-a$，$|1-b|=-(1-b)=b-1$，
代入计算得：
原式$=-a-(1-a)+(b-1)=-a-1+a+b-1=b-2$。
【答案】
（1）$\boxed{4}$，$\boxed{π-3}$；（2）$\boxed{b-2}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握二次根式的平方性质与绝对值的化简规则，解题时要先通过数轴或已知条件判断绝对值内式子的正负性，再去绝对值计算，注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
本题考查二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$的应用，解题思路如下：
（1）小题直接套用性质，先将二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值内数的正负性去绝对值符号即可；
（2）小题首先根据数轴上点的位置判断$a$、$b$与$0$、$1$的大小关系，进而判断每个绝对值内代数式的正负性，再将原式中的二次根式全部转化为绝对值，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）根据$\sqrt{x^2}=|x|$可得：
$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$；
因为$π\approx3.14＞3$，所以$3-π＜0$，因此$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3$。
（2）由数轴上点的位置可知：$a＜0＜1＜b$，
由此可得：$1-a＞0$，$1-b＜0$，
根据二次根式性质，原式可转化为：
$\sqrt{a^2}-|1-a|+\sqrt{(1-b)^2}=|a|-|1-a|+|1-b|$
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|a|=-a$，$|1-a|=1-a$，$|1-b|=-(1-b)=b-1$，
代入计算得：
原式$=-a-(1-a)+(b-1)=-a-1+a+b-1=b-2$。
【答案】
（1）$\boxed{4}$，$\boxed{π-3}$；（2）$\boxed{b-2}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握二次根式的平方性质与绝对值的化简规则，解题时要先通过数轴或已知条件判断绝对值内式子的正负性，再去绝对值计算，注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
10 下列计算正确的是（
A.$3\sqrt{10} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{\frac{7}{11}} × ( \sqrt{\frac{11}{7}} ÷ \sqrt{\frac{1}{11}} ) = \sqrt{11}$
C.$(\sqrt{75} - \sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} = 2\sqrt{5}$
D.$\frac{1}{3}\sqrt{18} - 3\sqrt{\frac{8}{9}} = \sqrt{2}$
B
）A.$3\sqrt{10} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{\frac{7}{11}} × ( \sqrt{\frac{11}{7}} ÷ \sqrt{\frac{1}{11}} ) = \sqrt{11}$
C.$(\sqrt{75} - \sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} = 2\sqrt{5}$
D.$\frac{1}{3}\sqrt{18} - 3\sqrt{\frac{8}{9}} = \sqrt{2}$
答案
10. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题时需逐个验证每个选项：首先明确只有同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算可先将被开方数对应乘除再开方，也可先化简二次根式再运算，将每个选项计算出结果后和选项给出的结论对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$3\sqrt{10}$和$2\sqrt{5}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并运算，因此A错误；
B选项：根据二次根式乘除运算法则，先计算括号内的部分：
$\sqrt{\frac{11}{7}} ÷ \sqrt{\frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{11}{7} ÷ \frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{11}{7} × 11} = \sqrt{\frac{121}{7}}$
再和括号外的项相乘：
$\sqrt{\frac{7}{11}} × \sqrt{\frac{121}{7}} = \sqrt{\frac{7}{11} × \frac{121}{7}} = \sqrt{11}$，和选项结果一致，因此B正确；
C选项：利用除法分配律计算：
$(\sqrt{75} - \sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} = \sqrt{75}÷\sqrt{3} - \sqrt{15}÷\sqrt{3} = \sqrt{25} - \sqrt{5} = 5 - \sqrt{5} ≠ 2\sqrt{5}$，因此C错误；
D选项：先化简各项再计算：
$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \frac{1}{3}×3\sqrt{2} = \sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{8}{9}} = 3×\frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}$
因此原式$= \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2} ≠ \sqrt{2}$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的加减运算；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，运算时注意先化简二次根式，加减运算前要先判断是否为同类二次根式，乘除运算可以利用运算法则先合并被开方数再化简，能有效提高正确率。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的四则运算，解题时需逐个验证每个选项：首先明确只有同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算可先将被开方数对应乘除再开方，也可先化简二次根式再运算，将每个选项计算出结果后和选项给出的结论对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$3\sqrt{10}$和$2\sqrt{5}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并运算，因此A错误；
B选项：根据二次根式乘除运算法则，先计算括号内的部分：
$\sqrt{\frac{11}{7}} ÷ \sqrt{\frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{11}{7} ÷ \frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{11}{7} × 11} = \sqrt{\frac{121}{7}}$
再和括号外的项相乘：
$\sqrt{\frac{7}{11}} × \sqrt{\frac{121}{7}} = \sqrt{\frac{7}{11} × \frac{121}{7}} = \sqrt{11}$，和选项结果一致，因此B正确；
C选项：利用除法分配律计算：
$(\sqrt{75} - \sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} = \sqrt{75}÷\sqrt{3} - \sqrt{15}÷\sqrt{3} = \sqrt{25} - \sqrt{5} = 5 - \sqrt{5} ≠ 2\sqrt{5}$，因此C错误；
D选项：先化简各项再计算：
$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \frac{1}{3}×3\sqrt{2} = \sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{8}{9}} = 3×\frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}$
因此原式$= \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2} ≠ \sqrt{2}$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的加减运算；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，运算时注意先化简二次根式，加减运算前要先判断是否为同类二次根式，乘除运算可以利用运算法则先合并被开方数再化简，能有效提高正确率。
【难度系数】
0.7
11 计算：$\sqrt{27} - \sqrt{8} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{3}} =$
$\sqrt{3}$
.答案
11. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算除法运算，利用二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算除法部分，第二步将前后两个二次根式分别化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：先计算除法部分：
$\sqrt{8} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{8 ÷ \dfrac{2}{3}} = \sqrt{8 × \dfrac{3}{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
再化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
最后计算减法：
$\sqrt{27} - \sqrt{8} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{3}} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的除法，最简二次根式，二次根式的加减
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是遵循运算顺序，熟练运用二次根式的运算法则进行化简，计算时先化简再合并可减少出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算除法运算，利用二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算除法部分，第二步将前后两个二次根式分别化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：先计算除法部分：
$\sqrt{8} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{8 ÷ \dfrac{2}{3}} = \sqrt{8 × \dfrac{3}{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
再化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
最后计算减法：
$\sqrt{27} - \sqrt{8} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{3}} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的除法，最简二次根式，二次根式的加减
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是遵循运算顺序，熟练运用二次根式的运算法则进行化简，计算时先化简再合并可减少出错概率。
【难度系数】
0.8
12 计算：$(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^2 =$
$3$
。答案
12. 3
解析
【分析】
本题考查二次根式的平方运算，解题思路如下：首先观察式子为两个分式的平方和，我们可以利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$分别将两个平方项展开，再合并分子的同类项，最后化简计算即可得到结果，展开时注意不要漏了交叉项，合并时互为相反数的项可以直接抵消，简化计算过程。
【解析】
解：根据完全平方公式展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{4}+\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}\\&=\frac{(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×1+1^2}{4}+\frac{(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×1+1^2}{4}\\&=\frac{5+2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}\\&=\frac{(5+2\sqrt{5}+1)+(5-2\sqrt{5}+1)}{4}\\&=\frac{12}{4}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，运算过程中注意交叉项的符号，展开后互为相反数的项可直接抵消，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的平方运算，解题思路如下：首先观察式子为两个分式的平方和，我们可以利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$分别将两个平方项展开，再合并分子的同类项，最后化简计算即可得到结果，展开时注意不要漏了交叉项，合并时互为相反数的项可以直接抵消，简化计算过程。
【解析】
解：根据完全平方公式展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{4}+\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}\\&=\frac{(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×1+1^2}{4}+\frac{(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×1+1^2}{4}\\&=\frac{5+2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}\\&=\frac{(5+2\sqrt{5}+1)+(5-2\sqrt{5}+1)}{4}\\&=\frac{12}{4}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，运算过程中注意交叉项的符号，展开后互为相反数的项可直接抵消，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
13 若$x - y = \sqrt{2} - 1$，$xy = \sqrt{2}$，则代数式$(x - 1)(y + 1)$的值为
$2\sqrt{2}-2$
。答案
13. $2\sqrt{2}-2$
解析
【分析】
要求代数式$(x-1)(y+1)$的值，首先可以利用多项式乘多项式的法则将该式展开，再对展开后的式子进行整理，使其出现已知条件中的$x-y$和$xy$，最后将已知的$x-y$、$xy$的值整体代入计算即可，不需要单独求解$x$、$y$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
首先展开所求代数式：
$(x-1)(y+1)=xy + x - y - 1$
整理得：$(x-1)(y+1)=xy + (x - y) - 1$
将$x - y = \sqrt{2} - 1$，$xy = \sqrt{2}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) - 1\\&=\sqrt{2} + \sqrt{2} -1 -1\\&=2\sqrt{2} - 2\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题解题的关键是先对所求代数式进行化简变形，再利用整体代入思想代入已知条件计算，避免了单独求解x、y的复杂运算，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
要求代数式$(x-1)(y+1)$的值，首先可以利用多项式乘多项式的法则将该式展开，再对展开后的式子进行整理，使其出现已知条件中的$x-y$和$xy$，最后将已知的$x-y$、$xy$的值整体代入计算即可，不需要单独求解$x$、$y$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
首先展开所求代数式：
$(x-1)(y+1)=xy + x - y - 1$
整理得：$(x-1)(y+1)=xy + (x - y) - 1$
将$x - y = \sqrt{2} - 1$，$xy = \sqrt{2}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) - 1\\&=\sqrt{2} + \sqrt{2} -1 -1\\&=2\sqrt{2} - 2\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题解题的关键是先对所求代数式进行化简变形，再利用整体代入思想代入已知条件计算，避免了单独求解x、y的复杂运算，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
14 现将某张长方形纸片的宽增加$6\sqrt{2}$ cm，长不变，就成为一张面积为128 cm²的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为
$32$
cm².答案
14. 32
解析
【分析】
解题时首先抓住“宽增加后变为正方形”这一核心条件：①正方形的边长等于原长方形的长；②正方形面积已知，可先求出正方形边长。接着用正方形边长减去增加的宽度得到原长方形的宽，最后根据长方形面积公式计算原面积即可。具体步骤为：先由正方形面积求边长→推导原长方形的长和宽→计算原长方形面积。
【解析】
第一步：求正方形纸片的边长
已知正方形面积为128 cm²，设正方形边长为$a$ cm，根据正方形面积公式$S=a^2$，得：
$a=\sqrt{128}=\sqrt{64×2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（边长为正数，故取算术平方根）
第二步：求原长方形的长和宽
由题意可知，原长方形的长等于正方形的边长，即原长$=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的宽$=$正方形边长$-$增加的宽度$=8\sqrt{2}-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
第三步：计算原长方形的面积
根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，得：
原面积$=8\sqrt{2}×2\sqrt{2}=(8×2)×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=16×2=32\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
32
【知识点】
二次根式运算；长方形与正方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是明确图形变形前后边长的对应关系，结合二次根式的运算规则求解，计算时注意二次根式乘法的运算方法，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“宽增加后变为正方形”这一核心条件：①正方形的边长等于原长方形的长；②正方形面积已知，可先求出正方形边长。接着用正方形边长减去增加的宽度得到原长方形的宽，最后根据长方形面积公式计算原面积即可。具体步骤为：先由正方形面积求边长→推导原长方形的长和宽→计算原长方形面积。
【解析】
第一步：求正方形纸片的边长
已知正方形面积为128 cm²，设正方形边长为$a$ cm，根据正方形面积公式$S=a^2$，得：
$a=\sqrt{128}=\sqrt{64×2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（边长为正数，故取算术平方根）
第二步：求原长方形的长和宽
由题意可知，原长方形的长等于正方形的边长，即原长$=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
原长方形的宽$=$正方形边长$-$增加的宽度$=8\sqrt{2}-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
第三步：计算原长方形的面积
根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，得：
原面积$=8\sqrt{2}×2\sqrt{2}=(8×2)×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=16×2=32\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
32
【知识点】
二次根式运算；长方形与正方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是明确图形变形前后边长的对应关系，结合二次根式的运算规则求解，计算时注意二次根式乘法的运算方法，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
15 计算：
(1) $( \sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}} ) × 3\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{3}} × 3\sqrt{3} - \sqrt{12} + |1 - \sqrt{3}|$；
(3) $(2\sqrt{3} - 1) × (2\sqrt{3} + 1) - (1 - 2\sqrt{3})^2$。
(1) $( \sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}} ) × 3\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{3}} × 3\sqrt{3} - \sqrt{12} + |1 - \sqrt{3}|$；
(3) $(2\sqrt{3} - 1) × (2\sqrt{3} + 1) - (1 - 2\sqrt{3})^2$。
答案
15. (1) 12 (2) $2-\sqrt{3}$ (3) $-2+4\sqrt{3}$
解析
【分析】
这三道题为二次根式的混合运算类题目，解题遵循通用思路：第一步先将式子中所有非最简二次根式化简为最简形式；第二步结合式子特征选择简便方法，有括号可优先用乘法分配律展开，符合乘法公式特征的用平方差、完全平方公式简化计算，遇到绝对值先判断绝对值内代数式的正负再去符号；第三步合并同类二次根式，整理得到最终结果。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{18}×3\sqrt{2} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}}×3\sqrt{2}\\&=3×\sqrt{18×2} - 12×\sqrt{\dfrac{1}{8}×2}\\&=3×\sqrt{36} - 12×\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\&=3×6 - 12×\dfrac{1}{2}\\&=18 - 6\\&=12\end{aligned}$
(2) 分别化简每一项再合并：
因$\sqrt{3}＞1$，故$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=3×\sqrt{\dfrac{1}{3}×3} - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3}-1)\\&=3×1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} -1\\&=3-1 -2\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=2 - \sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(2\sqrt{3})^2 - 1^2] - [1^2 - 2×1×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2]\\&=(12 - 1) - (1 - 4\sqrt{3} + 12)\\&=11 - (13 - 4\sqrt{3})\\&=11 -13 +4\sqrt{3}\\&=-2 +4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{-2+4\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础常考题，侧重考察运算规则的掌握和简便方法的运用，解题时需注意去括号、去绝对值的符号问题，熟练掌握二次根式化简技巧可大幅提升计算正确率和速度。
【难度系数】
0.75
这三道题为二次根式的混合运算类题目，解题遵循通用思路：第一步先将式子中所有非最简二次根式化简为最简形式；第二步结合式子特征选择简便方法，有括号可优先用乘法分配律展开，符合乘法公式特征的用平方差、完全平方公式简化计算，遇到绝对值先判断绝对值内代数式的正负再去符号；第三步合并同类二次根式，整理得到最终结果。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{18}×3\sqrt{2} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}}×3\sqrt{2}\\&=3×\sqrt{18×2} - 12×\sqrt{\dfrac{1}{8}×2}\\&=3×\sqrt{36} - 12×\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\&=3×6 - 12×\dfrac{1}{2}\\&=18 - 6\\&=12\end{aligned}$
(2) 分别化简每一项再合并：
因$\sqrt{3}＞1$，故$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=3×\sqrt{\dfrac{1}{3}×3} - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3}-1)\\&=3×1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} -1\\&=3-1 -2\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=2 - \sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(2\sqrt{3})^2 - 1^2] - [1^2 - 2×1×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2]\\&=(12 - 1) - (1 - 4\sqrt{3} + 12)\\&=11 - (13 - 4\sqrt{3})\\&=11 -13 +4\sqrt{3}\\&=-2 +4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{-2+4\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础常考题，侧重考察运算规则的掌握和简便方法的运用，解题时需注意去括号、去绝对值的符号问题，熟练掌握二次根式化简技巧可大幅提升计算正确率和速度。
【难度系数】
0.75
