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1 有下列各数：$\frac{22}{7}$，0，$\frac{π}{2}$，$\sqrt{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0.101 001，$\sqrt[3]{-27}$。其中，无理数有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数的方根；③结构特殊的无限不循环小数。解题时先将题目中能化简的数先化简，再逐一判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
首先明确：有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于有理数），无理数是无限不循环小数。我们逐个分析所给的数：
1. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $\frac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数；
5. $\frac{\sqrt{3}}{3}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$属于无理数；
6. $0.101001$是有限小数，属于有理数；
7. $\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数。
综上，无理数有$\frac{π}{2}$、$\sqrt{8}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；根式化简
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的常见类型，注意带根号的数要先化简再判断是否为无理数，不要误把有限小数、可开尽方的根式当成无理数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数的方根；③结构特殊的无限不循环小数。解题时先将题目中能化简的数先化简，再逐一判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
首先明确：有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于有理数），无理数是无限不循环小数。我们逐个分析所给的数：
1. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $\frac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数；
5. $\frac{\sqrt{3}}{3}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$属于无理数；
6. $0.101001$是有限小数，属于有理数；
7. $\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数。
综上，无理数有$\frac{π}{2}$、$\sqrt{8}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；根式化简
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的常见类型，注意带根号的数要先化简再判断是否为无理数，不要误把有限小数、可开尽方的根式当成无理数。
【难度系数】
0.7
2 如图，数轴上的无理数a被挡住了，则数a可能是（
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$-\sqrt{5}$
A
）A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$-\sqrt{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先从数轴读取被挡住的数a的取值范围：1＜a＜2，且a为正数。第一步先排除数值为负的选项，第二步通过平方法估算剩余选项中无理数的大小，判断哪个无理数落在1到2的区间内，即可得到正确答案。
【解析】
解：由数轴可得，被挡住的数a满足$1 ＜ a ＜ 2$，且a是正数。
1. 排除负数选项：
$-\sqrt{2}＜0$，$-\sqrt{5}＜0$，均不符合a＞1的要求，故排除B、D选项；
2. 估算剩余无理数的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以当被开方数x满足$1＜x＜4$时，$1＜\sqrt{x}＜2$。
A选项：$\sqrt{2}$的被开方数为2，$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，符合要求；
C选项：$\sqrt{5}$的被开方数为5，$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，不符合$a＜2$的要求，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的识别，无理数大小估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题是基础题型，将数轴和无理数估算结合考查，解题核心是先确定所求数的取值范围，再通过平方法估算无理数大小，逐一排除错误选项即可得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先从数轴读取被挡住的数a的取值范围：1＜a＜2，且a为正数。第一步先排除数值为负的选项，第二步通过平方法估算剩余选项中无理数的大小，判断哪个无理数落在1到2的区间内，即可得到正确答案。
【解析】
解：由数轴可得，被挡住的数a满足$1 ＜ a ＜ 2$，且a是正数。
1. 排除负数选项：
$-\sqrt{2}＜0$，$-\sqrt{5}＜0$，均不符合a＞1的要求，故排除B、D选项；
2. 估算剩余无理数的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以当被开方数x满足$1＜x＜4$时，$1＜\sqrt{x}＜2$。
A选项：$\sqrt{2}$的被开方数为2，$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，符合要求；
C选项：$\sqrt{5}$的被开方数为5，$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，不符合$a＜2$的要求，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的识别，无理数大小估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题是基础题型，将数轴和无理数估算结合考查，解题核心是先确定所求数的取值范围，再通过平方法估算无理数大小，逐一排除错误选项即可得到答案。
【难度系数】
0.8
3 $\sqrt{5} - 3$ 的相反数是
$3-\sqrt{5}$
，绝对值是 $3-\sqrt{5}$
，倒数是 $\frac{-\sqrt{5}+3}{4}$
。答案
3. 相反数是$3-\sqrt{5}$，绝对值是$3-\sqrt{5}$，倒数是$\frac{-\sqrt{5}+3}{4}$
解析
【分析】
解这道题我们需要结合相反数、绝对值、倒数的定义及性质逐步计算：首先回忆三个核心概念：①只有符号不同的两个数互为相反数；②负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身；③乘积为1的两个数互为倒数，无理数的倒数需要做分母有理化处理。其次先判断$\sqrt{5}-3$的正负：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，可推出$\sqrt{5}-3＜0$，为后续计算绝对值做准备。最后分别按对应规则计算三个结果即可。
【解析】
1. 求相反数：根据相反数定义，$a$的相反数为$-a$，因此$\sqrt{5}-3$的相反数为$-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$；
2. 求绝对值：已判断$\sqrt{5}-3＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$\vert\sqrt{5}-3\vert=-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$；
3. 求倒数：根据倒数定义，$\sqrt{5}-3$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{5}-3}$，对其进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+3$，利用平方差公式计算：
$\frac{1}{\sqrt{5}-3}=\frac{1×(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)}=\frac{\sqrt{5}+3}{(\sqrt{5})^2-3^2}=\frac{\sqrt{5}+3}{5-9}=\frac{\sqrt{5}+3}{-4}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}=\frac{-\sqrt{5}+3}{4}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$；$3-\sqrt{5}$；$\frac{-\sqrt{5}+3}{4}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；分母有理化
【点评】
本题是实数基础运算题，重点考查对实数相关基本概念的掌握，解题时先判断$\sqrt{5}-3$的正负是准确求绝对值的关键，求倒数时要注意分母有理化的运算规则，避免出现符号或平方计算错误。
【难度系数】
0.7
解这道题我们需要结合相反数、绝对值、倒数的定义及性质逐步计算：首先回忆三个核心概念：①只有符号不同的两个数互为相反数；②负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身；③乘积为1的两个数互为倒数，无理数的倒数需要做分母有理化处理。其次先判断$\sqrt{5}-3$的正负：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，可推出$\sqrt{5}-3＜0$，为后续计算绝对值做准备。最后分别按对应规则计算三个结果即可。
【解析】
1. 求相反数：根据相反数定义，$a$的相反数为$-a$，因此$\sqrt{5}-3$的相反数为$-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$；
2. 求绝对值：已判断$\sqrt{5}-3＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$\vert\sqrt{5}-3\vert=-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$；
3. 求倒数：根据倒数定义，$\sqrt{5}-3$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{5}-3}$，对其进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+3$，利用平方差公式计算：
$\frac{1}{\sqrt{5}-3}=\frac{1×(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)}=\frac{\sqrt{5}+3}{(\sqrt{5})^2-3^2}=\frac{\sqrt{5}+3}{5-9}=\frac{\sqrt{5}+3}{-4}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}=\frac{-\sqrt{5}+3}{4}$
【答案】
$3-\sqrt{5}$；$3-\sqrt{5}$；$\frac{-\sqrt{5}+3}{4}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；分母有理化
【点评】
本题是实数基础运算题，重点考查对实数相关基本概念的掌握，解题时先判断$\sqrt{5}-3$的正负是准确求绝对值的关键，求倒数时要注意分母有理化的运算规则，避免出现符号或平方计算错误。
【难度系数】
0.7
