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6 我们知道$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$，因此将$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$分子、分母同时乘“$\sqrt{3}-\sqrt{2}$”，分母就变成了1，原式可以化简为$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，所以有$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
请仿照上面的方法，解答下列各题。
（1）化简：$\frac{1}{\sqrt{10}+3}=$
（2）若$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$，$y=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$，求$(x-y)^2 - xy$的值；
（3）计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}$。
请仿照上面的方法，解答下列各题。
（1）化简：$\frac{1}{\sqrt{10}+3}=$
$\sqrt{10}-3$
，$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=$$\sqrt{7}+\sqrt{6}$
；（2）若$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$，$y=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$，求$(x-y)^2 - xy$的值；
（3）计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}$。
答案
(1) $\sqrt{10}-3$ $\sqrt{7}+\sqrt{6}$
(2) 因为$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$,$y=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$,所以$x-y=3-2\sqrt{2}-(3+2\sqrt{2})=-4\sqrt{2}$,$xy=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$. 所以$(x-y)^2-xy=(-4\sqrt{2})^2-1=32-1=31$
(3) 原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025}=\sqrt{2026}-1$
(2) 因为$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$,$y=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$,所以$x-y=3-2\sqrt{2}-(3+2\sqrt{2})=-4\sqrt{2}$,$xy=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$. 所以$(x-y)^2-xy=(-4\sqrt{2})^2-1=32-1=31$
(3) 原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025}=\sqrt{2026}-1$
解析
【分析】
本题核心解题方法是分母有理化，利用平方差公式，给分式的分子、分母同乘分母的有理化因式（两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式），将分母化为整数，再进行后续计算。
（1）两个小问直接仿照材料给出的方法，分别给两个分式的分子分母乘对应有理化因式即可化简；
（2）先对x、y分别分母有理化，得到化简后的x、y，再分别计算x-y和xy的值，整体代入待求式计算，比直接代入原式计算更简便；
（3）先将每一项都分母有理化，会发现拆分后相邻两项的部分可以相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算即可得到结果。
【解析】
（1）对于$\frac{1}{\sqrt{10}+3}$，分子分母同乘$\sqrt{10}-3$：
$\frac{1}{\sqrt{10}+3}=\frac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)}=\frac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10})^2-3^2}=\frac{\sqrt{10}-3}{10-9}=\sqrt{10}-3$
对于$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$，分子分母同乘$\sqrt{7}+\sqrt{6}$：
$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$
（2）先化简x、y：
$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$
$y=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$
计算$x-y$：$x-y=(3-2\sqrt{2})-(3+2\sqrt{2})=-4\sqrt{2}$
计算$xy$：$xy=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$
代入$(x-y)^2 - xy$得：
原式$=(-4\sqrt{2})^2 - 1=32-1=31$
（3）先对每一项分母有理化：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})$
观察发现相邻两项抵消：$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$抵消，$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$抵消，……，$\sqrt{2025}$和$-\sqrt{2025}$抵消，最终剩下：
原式$=\sqrt{2026}-1$
【答案】
（1）$\sqrt{10}-3$；$\sqrt{7}+\sqrt{6}$
（2）31
（3）$\sqrt{2026}-1$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，关键是掌握分母有理化的方法，即利用平方差公式找到分母的有理化因式，第三小问的裂项相消是二次根式连加计算的常用技巧，熟练掌握后可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题核心解题方法是分母有理化，利用平方差公式，给分式的分子、分母同乘分母的有理化因式（两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式），将分母化为整数，再进行后续计算。
（1）两个小问直接仿照材料给出的方法，分别给两个分式的分子分母乘对应有理化因式即可化简；
（2）先对x、y分别分母有理化，得到化简后的x、y，再分别计算x-y和xy的值，整体代入待求式计算，比直接代入原式计算更简便；
（3）先将每一项都分母有理化，会发现拆分后相邻两项的部分可以相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算即可得到结果。
【解析】
（1）对于$\frac{1}{\sqrt{10}+3}$，分子分母同乘$\sqrt{10}-3$：
$\frac{1}{\sqrt{10}+3}=\frac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)}=\frac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10})^2-3^2}=\frac{\sqrt{10}-3}{10-9}=\sqrt{10}-3$
对于$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$，分子分母同乘$\sqrt{7}+\sqrt{6}$：
$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$
（2）先化简x、y：
$x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$
$y=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$
计算$x-y$：$x-y=(3-2\sqrt{2})-(3+2\sqrt{2})=-4\sqrt{2}$
计算$xy$：$xy=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$
代入$(x-y)^2 - xy$得：
原式$=(-4\sqrt{2})^2 - 1=32-1=31$
（3）先对每一项分母有理化：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})$
观察发现相邻两项抵消：$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$抵消，$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$抵消，……，$\sqrt{2025}$和$-\sqrt{2025}$抵消，最终剩下：
原式$=\sqrt{2026}-1$
【答案】
（1）$\sqrt{10}-3$；$\sqrt{7}+\sqrt{6}$
（2）31
（3）$\sqrt{2026}-1$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，关键是掌握分母有理化的方法，即利用平方差公式找到分母的有理化因式，第三小问的裂项相消是二次根式连加计算的常用技巧，熟练掌握后可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7 先化简，再求值：
(1) $\sqrt{9a^3} + \sqrt{16a} - 2\sqrt{\dfrac{25a}{4}}$，其中 $a=\dfrac{1}{2}$；
(2) $(a+\sqrt{5})(a-\sqrt{5}) - a(a-\sqrt{2})$，其中 $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2} -1$。
(1) $\sqrt{9a^3} + \sqrt{16a} - 2\sqrt{\dfrac{25a}{4}}$，其中 $a=\dfrac{1}{2}$；
(2) $(a+\sqrt{5})(a-\sqrt{5}) - a(a-\sqrt{2})$，其中 $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2} -1$。
答案
(1) 原式$=(3a-1)\sqrt{a}$. 当$a=\frac{1}{2}$时,原式$=(3×\frac{1}{2}-1)×\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(2) 原式$=\sqrt{2}a-5$. 当$a=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$时,原式$=\sqrt{2}×(\frac{\sqrt{2}}{2}-1)-5=1-\sqrt{2}-5=-\sqrt{2}-4$
(2) 原式$=\sqrt{2}a-5$. 当$a=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$时,原式$=\sqrt{2}×(\frac{\sqrt{2}}{2}-1)-5=1-\sqrt{2}-5=-\sqrt{2}-4$
解析
【分析】
这两道题均为二次根式的化简求值类题目，解题核心思路是先化简原式，再代入数值计算，可有效降低运算量。第(1)题是二次根式的加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；第(2)题结合了整式乘法与二次根式运算，先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简，最后代入求值。
【解析】
(1) 首先化简原式：
由二次根式有意义可得$a≥0$，则
$\sqrt{9a^3}=3a\sqrt{a}$，$\sqrt{16a}=4\sqrt{a}$，$2\sqrt{\dfrac{25a}{4}}=2×\dfrac{5\sqrt{a}}{2}=5\sqrt{a}$
合并同类二次根式得：
原式$=3a\sqrt{a}+4\sqrt{a}-5\sqrt{a}=(3a-1)\sqrt{a}$
将$a=\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=(3×\dfrac{1}{2}-1)×\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
(2) 首先化简原式：
利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算前项，展开后项得：
原式$=a^2-(\sqrt{5})^2 - (a^2-\sqrt{2}a)=a^2-5-a^2+\sqrt{2}a=\sqrt{2}a-5$
将$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1$代入化简后的式子：
原式$=\sqrt{2}×(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1)-5=\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}×1 -5=1-\sqrt{2}-5=-\sqrt{2}-4$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；(2) $-\sqrt{2}-4$
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式化简求值的常规题型，掌握先化简再求值的技巧可大幅减少计算量，解题时需注意二次根式的隐含取值范围，展开运算时注意符号的正确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
这两道题均为二次根式的化简求值类题目，解题核心思路是先化简原式，再代入数值计算，可有效降低运算量。第(1)题是二次根式的加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；第(2)题结合了整式乘法与二次根式运算，先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简，最后代入求值。
【解析】
(1) 首先化简原式：
由二次根式有意义可得$a≥0$，则
$\sqrt{9a^3}=3a\sqrt{a}$，$\sqrt{16a}=4\sqrt{a}$，$2\sqrt{\dfrac{25a}{4}}=2×\dfrac{5\sqrt{a}}{2}=5\sqrt{a}$
合并同类二次根式得：
原式$=3a\sqrt{a}+4\sqrt{a}-5\sqrt{a}=(3a-1)\sqrt{a}$
将$a=\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=(3×\dfrac{1}{2}-1)×\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
(2) 首先化简原式：
利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算前项，展开后项得：
原式$=a^2-(\sqrt{5})^2 - (a^2-\sqrt{2}a)=a^2-5-a^2+\sqrt{2}a=\sqrt{2}a-5$
将$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1$代入化简后的式子：
原式$=\sqrt{2}×(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1)-5=\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}×1 -5=1-\sqrt{2}-5=-\sqrt{2}-4$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；(2) $-\sqrt{2}-4$
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式化简求值的常规题型，掌握先化简再求值的技巧可大幅减少计算量，解题时需注意二次根式的隐含取值范围，展开运算时注意符号的正确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
8 已知 $a=\sqrt{5}+2,b=\sqrt{5}-2$,求:
(1) $a^2 - b^2$ 的值;
(2) $a^3b + ab^3$ 的值.
(1) $a^2 - b^2$ 的值;
(2) $a^3b + ab^3$ 的值.
答案
(1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2)=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}$
(2) 因为$a=\sqrt{5}+2,b=\sqrt{5}-2$,所以$a+b=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$,$ab=(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)=1$. 所以$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)=ab[(a+b)^2-2ab]=1×[(2\sqrt{5})^2-2]=18$
(2) 因为$a=\sqrt{5}+2,b=\sqrt{5}-2$,所以$a+b=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$,$ab=(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)=1$. 所以$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)=ab[(a+b)^2-2ab]=1×[(2\sqrt{5})^2-2]=18$
解析
【分析】
本题若直接代入a、b的值计算会比较繁琐，因此优先考虑利用因式分解对所求代数式进行变形，再通过计算a+b、a-b、ab的整体值代入求解，既简化运算也能降低出错率。（1）问中$a^2-b^2$符合平方差公式的结构，可分解为$(a+b)(a-b)$，只需先计算$a+b$和$a-b$的值再相乘即可；（2）问先对原式提取公因式$ab$，再将剩余的$a^2+b^2$利用完全平方公式变形为$(a+b)^2-2ab$，代入提前算出的$a+b$和$ab$的值即可求解。
【解析】
(1) 利用平方差公式对原式变形：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
分别计算$a+b$和$a-b$：
$a+b = (\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$
$a-b = (\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2) = 4$
代入得：原式$=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}$
(2) 先计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b = 2\sqrt{5}$
$ab = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4=1$
对原式因式分解变形：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2) = ab[(a+b)^2 - 2ab]$
代入数值计算：
原式$=1×[(2\sqrt{5})^2 - 2×1] = 1×(20 - 2) = 18$
【答案】
(1) $8\sqrt{5}$；(2) $18$
【知识点】
平方差公式，因式分解，二次根式化简求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过乘法公式对代数式变形后整体代入计算，避免了直接代入二次根式计算的复杂过程，熟练掌握因式分解方法和乘法公式的变形是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题若直接代入a、b的值计算会比较繁琐，因此优先考虑利用因式分解对所求代数式进行变形，再通过计算a+b、a-b、ab的整体值代入求解，既简化运算也能降低出错率。（1）问中$a^2-b^2$符合平方差公式的结构，可分解为$(a+b)(a-b)$，只需先计算$a+b$和$a-b$的值再相乘即可；（2）问先对原式提取公因式$ab$，再将剩余的$a^2+b^2$利用完全平方公式变形为$(a+b)^2-2ab$，代入提前算出的$a+b$和$ab$的值即可求解。
【解析】
(1) 利用平方差公式对原式变形：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
分别计算$a+b$和$a-b$：
$a+b = (\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$
$a-b = (\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2) = 4$
代入得：原式$=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}$
(2) 先计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b = 2\sqrt{5}$
$ab = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4=1$
对原式因式分解变形：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2) = ab[(a+b)^2 - 2ab]$
代入数值计算：
原式$=1×[(2\sqrt{5})^2 - 2×1] = 1×(20 - 2) = 18$
【答案】
(1) $8\sqrt{5}$；(2) $18$
【知识点】
平方差公式，因式分解，二次根式化简求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过乘法公式对代数式变形后整体代入计算，避免了直接代入二次根式计算的复杂过程，熟练掌握因式分解方法和乘法公式的变形是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
9 阅读材料，解决问题：
问题：已知 $ x = \sqrt{5} + 2 $，求代数式 $ x^2 - 4x - 7 $ 的值。
小敏的方法：因为 $ x = \sqrt{5} + 2 $，所以 $ (x - 2)^2 = 5 $。所以 $ x^2 - 4x + 4 = 5 $。所以 $ x^2 - 4x = 1 $。所以 $ x^2 - 4x - 7 = 1 - 7 = -6 $。这是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题。
（1）已知 $ x = \sqrt{5} - 2 $，求代数式 $ x^2 + 4x - 10 $ 的值；
（2）已知 $ x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，求代数式 $ x^3 + x^2 + 1 $ 的值。
问题：已知 $ x = \sqrt{5} + 2 $，求代数式 $ x^2 - 4x - 7 $ 的值。
小敏的方法：因为 $ x = \sqrt{5} + 2 $，所以 $ (x - 2)^2 = 5 $。所以 $ x^2 - 4x + 4 = 5 $。所以 $ x^2 - 4x = 1 $。所以 $ x^2 - 4x - 7 = 1 - 7 = -6 $。这是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题。
（1）已知 $ x = \sqrt{5} - 2 $，求代数式 $ x^2 + 4x - 10 $ 的值；
（2）已知 $ x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，求代数式 $ x^3 + x^2 + 1 $ 的值。
答案
(1) 因为$x=\sqrt{5}-2$,所以$(x+2)^2=5$. 所以$x^2+4x+4=5$. 所以$x^2+4x=1$. 所以$x^2+4x-10=1-10=-9$
(2) 因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$x^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. 所以$x^3=x·x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}-2$. 所以$x^3+x^2+1=\sqrt{5}-2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2) 因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$x^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. 所以$x^3=x·x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}-2$. 所以$x^3+x^2+1=\sqrt{5}-2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
解析
【分析】
本题考查二次根式背景下的代数式求值，可仿照材料给出的整体代入思路求解：
（1）观察所求代数式含$x^2+4x$的结构，将已知$x=\sqrt{5}-2$移项得$x+2=\sqrt{5}$，两边平方后可直接得到$x^2+4x$的值，整体代入所求代数式即可快速算出结果，无需直接代入$x$展开计算。
（2）所求代数式为三次多项式，可先根据$x$的表达式计算出$x^2$的值，再通过$x$乘$x^2$得到$x^3$的值，最后将$x^3$、$x^2$代入原式合并同类二次根式即可得到结果，能有效降低计算量。
【解析】
（1）解：$\because x=\sqrt{5}-2$
$\therefore x+2=\sqrt{5}$
两边平方得：$(x+2)^2=5$
即$x^2+4x+4=5$
整理得$x^2+4x=1$
将$x^2+4x=1$代入$x^2+4x-10$得：
原式$=1-10=-9$
（2）解：$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\therefore x^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×1+1^2}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$x^3=x· x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}-5-3+\sqrt{5}}{4}=\frac{4\sqrt{5}-8}{4}=\sqrt{5}-2$
将$x^3=\sqrt{5}-2$，$x^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$代入$x^3+x^2+1$得：
原式$=\sqrt{5}-2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+1=\frac{2\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}+2}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$
【知识点】
二次根式化简求值、整体代入思想、整式混合运算
【点评】
这道题是二次根式化简求值的典型题型，核心是通过对已知条件变形或先计算低次幂的值，避免直接代入的复杂运算，熟练掌握二次根式的乘方、乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式背景下的代数式求值，可仿照材料给出的整体代入思路求解：
（1）观察所求代数式含$x^2+4x$的结构，将已知$x=\sqrt{5}-2$移项得$x+2=\sqrt{5}$，两边平方后可直接得到$x^2+4x$的值，整体代入所求代数式即可快速算出结果，无需直接代入$x$展开计算。
（2）所求代数式为三次多项式，可先根据$x$的表达式计算出$x^2$的值，再通过$x$乘$x^2$得到$x^3$的值，最后将$x^3$、$x^2$代入原式合并同类二次根式即可得到结果，能有效降低计算量。
【解析】
（1）解：$\because x=\sqrt{5}-2$
$\therefore x+2=\sqrt{5}$
两边平方得：$(x+2)^2=5$
即$x^2+4x+4=5$
整理得$x^2+4x=1$
将$x^2+4x=1$代入$x^2+4x-10$得：
原式$=1-10=-9$
（2）解：$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\therefore x^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×1+1^2}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$x^3=x· x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}-5-3+\sqrt{5}}{4}=\frac{4\sqrt{5}-8}{4}=\sqrt{5}-2$
将$x^3=\sqrt{5}-2$，$x^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$代入$x^3+x^2+1$得：
原式$=\sqrt{5}-2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+1=\frac{2\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}+2}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$
【知识点】
二次根式化简求值、整体代入思想、整式混合运算
【点评】
这道题是二次根式化简求值的典型题型，核心是通过对已知条件变形或先计算低次幂的值，避免直接代入的复杂运算，熟练掌握二次根式的乘方、乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
