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16 我们利用平方差公式可以计算形如$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$的运算. 如$(\sqrt{10}+\sqrt{2})×(\sqrt{15}-\sqrt{3})=[\sqrt{2}×(\sqrt{5}+1)]×[\sqrt{3}×(\sqrt{5}-1)]=\sqrt{6}×4=4\sqrt{6}$. 请仿照例子计算:$(\sqrt{14}+\sqrt{35})×(\sqrt{6}-\sqrt{15})$.
答案
16. 原式$=[\sqrt{7}×(\sqrt{2}+\sqrt{5})]×[\sqrt{3}×(\sqrt{2}-\sqrt{5})]=\sqrt{21}×(2-5)=-3\sqrt{21}$
解析
【分析】
解题时先模仿例题的思路：首先观察两个括号内的二次根式，分别提取公因式，将原式变形为“两个二次根式的乘积 × 两数和乘两数差”的结构，再利用平方差公式计算即可。第一步先对第一个括号$\sqrt{14}+\sqrt{35}$提取公因式$\sqrt{7}$，得到$\sqrt{7}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$；第二步对第二个括号$\sqrt{6}-\sqrt{15}$提取公因式$\sqrt{3}$，得到$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{5})$；第三步先计算两个二次根式的乘积，再对$(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})$用平方差公式计算，最后将两部分结果相乘得到最终答案。
【解析】
解：原式$=[\sqrt{7}× (\sqrt{2}+\sqrt{5})]× [\sqrt{3}× (\sqrt{2}-\sqrt{5})]$
$=(\sqrt{7}× \sqrt{3})× [(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})]$
$=\sqrt{21}× [(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2]$
$=\sqrt{21}× (2-5)$
$=\sqrt{21}× (-3)$
$=-3\sqrt{21}$
【答案】
$-3\sqrt{21}$
【知识点】
平方差公式、二次根式化简、二次根式乘法
【点评】
本题属于二次根式的简便运算题，需要学生先观察式子特征，通过提取公因式凑出平方差公式的结构，再代入公式计算，有效降低了运算量，考查了学生对公式的灵活运用能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
解题时先模仿例题的思路：首先观察两个括号内的二次根式，分别提取公因式，将原式变形为“两个二次根式的乘积 × 两数和乘两数差”的结构，再利用平方差公式计算即可。第一步先对第一个括号$\sqrt{14}+\sqrt{35}$提取公因式$\sqrt{7}$，得到$\sqrt{7}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$；第二步对第二个括号$\sqrt{6}-\sqrt{15}$提取公因式$\sqrt{3}$，得到$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{5})$；第三步先计算两个二次根式的乘积，再对$(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})$用平方差公式计算，最后将两部分结果相乘得到最终答案。
【解析】
解：原式$=[\sqrt{7}× (\sqrt{2}+\sqrt{5})]× [\sqrt{3}× (\sqrt{2}-\sqrt{5})]$
$=(\sqrt{7}× \sqrt{3})× [(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})]$
$=\sqrt{21}× [(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2]$
$=\sqrt{21}× (2-5)$
$=\sqrt{21}× (-3)$
$=-3\sqrt{21}$
【答案】
$-3\sqrt{21}$
【知识点】
平方差公式、二次根式化简、二次根式乘法
【点评】
本题属于二次根式的简便运算题，需要学生先观察式子特征，通过提取公因式凑出平方差公式的结构，再代入公式计算，有效降低了运算量，考查了学生对公式的灵活运用能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
17 一个正方体的棱长为$a$，体积为$b$，则下列说法正确的是（
A.$b$的立方根为$\pm a$
B.$a$是$b$的立方根
C.$a=\sqrt{b}$
D.$b=\sqrt{a}$
B
）A.$b$的立方根为$\pm a$
B.$a$是$b$的立方根
C.$a=\sqrt{b}$
D.$b=\sqrt{a}$
答案
17. B
解析
【分析】
解题时首先根据正方体体积与棱长的关系得出a和b的数量关系，再结合立方根的定义对每个选项逐一判断即可。首先明确正方体体积公式为体积=棱长³，可推出b=a³；再结合立方根的定义：若x³=m，则x叫做m的立方根，且任意实数的立方根仅有1个，正数的立方根为正数，据此逐个分析选项正误。
【解析】
根据正方体体积公式可得：棱长为a的正方体体积$b=a^3$。
对各选项逐一分析：
A选项：正数的立方根是唯一的正数，因此b的立方根仅为a，不存在负的立方根，该选项错误；
B选项：由$a^3=b$，符合立方根的定义，因此a是b的立方根，该选项正确；
C选项：$\sqrt{b}$是b的算术平方根，而a是b的立方根，即$a=\sqrt[3]{b}$，该选项错误；
D选项：b是a的立方，即$b=a^3$，而非$\sqrt{a}$，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是熟练掌握立方根的定义，注意区分立方根与算术平方根的差异，避免混淆二者的运算规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正方体体积与棱长的关系得出a和b的数量关系，再结合立方根的定义对每个选项逐一判断即可。首先明确正方体体积公式为体积=棱长³，可推出b=a³；再结合立方根的定义：若x³=m，则x叫做m的立方根，且任意实数的立方根仅有1个，正数的立方根为正数，据此逐个分析选项正误。
【解析】
根据正方体体积公式可得：棱长为a的正方体体积$b=a^3$。
对各选项逐一分析：
A选项：正数的立方根是唯一的正数，因此b的立方根仅为a，不存在负的立方根，该选项错误；
B选项：由$a^3=b$，符合立方根的定义，因此a是b的立方根，该选项正确；
C选项：$\sqrt{b}$是b的算术平方根，而a是b的立方根，即$a=\sqrt[3]{b}$，该选项错误；
D选项：b是a的立方，即$b=a^3$，而非$\sqrt{a}$，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是熟练掌握立方根的定义，注意区分立方根与算术平方根的差异，避免混淆二者的运算规则。
【难度系数】
0.8
18 已知$k=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，则与$k$最接近的整数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
18. B 【解析】因为$k=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$,而$1.4＜\sqrt{2}＜1.5$,所以$2.8＜2\sqrt{2}＜3$.所以与$k$最接近的整数为3.
解析
【分析】
解题时首先观察算式结构，发现后面$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$符合平方差公式的形式，优先用平方差公式计算这部分可以简化运算，避免复杂的根式乘法；算出这部分的结果后再和$\sqrt{2}$相乘得到$k$的最简形式，最后通过估算无理数$\sqrt{2}$的取值范围，求出$k$的范围，就能判断出和$k$最接近的整数。
【解析】
第一步，利用平方差公式计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$：
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$
第二步，代入原式计算$k$的值：
$k=\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$
第三步，估算$2\sqrt{2}$的范围：
已知$1.4 ＜ \sqrt{2} ＜ 1.5$，不等式三边同时乘2可得：
$2×1.4 ＜ 2\sqrt{2} ＜ 2×1.5$，即$2.8 ＜ k ＜ 3$
$k$的值在2.8和3之间，与3的差值更小，因此与$k$最接近的整数是3。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；无理数估算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方差公式在二次根式运算中的应用以及无理数的大小估算，熟练运用平方差公式可有效简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察算式结构，发现后面$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$符合平方差公式的形式，优先用平方差公式计算这部分可以简化运算，避免复杂的根式乘法；算出这部分的结果后再和$\sqrt{2}$相乘得到$k$的最简形式，最后通过估算无理数$\sqrt{2}$的取值范围，求出$k$的范围，就能判断出和$k$最接近的整数。
【解析】
第一步，利用平方差公式计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$：
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$
第二步，代入原式计算$k$的值：
$k=\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$
第三步，估算$2\sqrt{2}$的范围：
已知$1.4 ＜ \sqrt{2} ＜ 1.5$，不等式三边同时乘2可得：
$2×1.4 ＜ 2\sqrt{2} ＜ 2×1.5$，即$2.8 ＜ k ＜ 3$
$k$的值在2.8和3之间，与3的差值更小，因此与$k$最接近的整数是3。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；无理数估算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方差公式在二次根式运算中的应用以及无理数的大小估算，熟练运用平方差公式可有效简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
19 若 $ x^2 - \sqrt{49} = \sqrt[3]{-27} $，则 $ x = $
$\pm2$
。答案
19. $\pm2$
解析
【分析】
解题时先化简等式中的根式项，将已知的算术平方根、立方根计算出具体数值，再通过移项整理得到$x^2$的取值，最后根据平方根的性质求出$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：先计算等式中的根式：
$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，
将结果代入原式得：
$x^2 - 7 = -3$
移项计算得：
$x^2 = -3 +7 = 4$
根据平方根的定义，4的平方根为$\pm2$，因此$x=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；开平方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查根式的计算和平方根的性质，解题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免遗漏负根。
【难度系数】
0.8
解题时先化简等式中的根式项，将已知的算术平方根、立方根计算出具体数值，再通过移项整理得到$x^2$的取值，最后根据平方根的性质求出$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：先计算等式中的根式：
$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，
将结果代入原式得：
$x^2 - 7 = -3$
移项计算得：
$x^2 = -3 +7 = 4$
根据平方根的定义，4的平方根为$\pm2$，因此$x=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；开平方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查根式的计算和平方根的性质，解题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免遗漏负根。
【难度系数】
0.8
20 已知 $a=(\dfrac{1}{2})^{-1}+(-\sqrt{3})^{0}, b=(\sqrt{3}+\sqrt{2}) × (\sqrt{3}-\sqrt{2})$, 则 $\sqrt{a+b}=$
$2$
.答案
20. 2
解析
【分析】
解题时需分三步计算：第一步先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出a的值；第二步利用平方差公式计算出b的值；第三步将a、b的值代入a+b求和，再求所得和的算术平方根即可得到结果。
【解析】
1. 计算a的值：
根据负整数指数幂法则：$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
根据零指数幂法则（非零数的0次幂等于1）：$(-\sqrt{3})^0=1$；
因此$a=2+1=3$。
2. 计算b的值：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得：
$b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$。
3. 计算$\sqrt{a+b}$：
先求$a+b$的和：$a+b=3+1=4$；
再求算术平方根：$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂运算、零指数幂运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查了指数幂运算规则和乘法公式的应用，运算过程中只要牢记相关法则，避免概念混淆即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解题时需分三步计算：第一步先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出a的值；第二步利用平方差公式计算出b的值；第三步将a、b的值代入a+b求和，再求所得和的算术平方根即可得到结果。
【解析】
1. 计算a的值：
根据负整数指数幂法则：$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
根据零指数幂法则（非零数的0次幂等于1）：$(-\sqrt{3})^0=1$；
因此$a=2+1=3$。
2. 计算b的值：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得：
$b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$。
3. 计算$\sqrt{a+b}$：
先求$a+b$的和：$a+b=3+1=4$；
再求算术平方根：$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂运算、零指数幂运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查了指数幂运算规则和乘法公式的应用，运算过程中只要牢记相关法则，避免概念混淆即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
21 如果最简二次根式$\sqrt{3a - 8}$与$\sqrt{17 - 2a}$可以合并，那么化简二次根式$\sqrt{10a}$的结果为
$5\sqrt{2}$
。答案
21. $5\sqrt{2}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确性质：可以合并的最简二次根式是同类二次根式，它们的被开方数相等。我们可以先根据这个性质列关于a的一元一次方程，求出a的值；再验证a的取值能让两个二次根式有意义（被开方数非负）；最后将a代入$\sqrt{10a}$，按二次根式化简规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{3a - 8}$与$\sqrt{17 - 2a}$可以合并
∴二者的被开方数相等，可列方程：
$3a - 8 = 17 - 2a$
移项得：$3a + 2a = 17 + 8$
合并同类项得：$5a = 25$
解得：$a = 5$
验证：当$a=5$时，$3a-8=7≥0$，$17-2a=7≥0$，均满足二次根式有意义的条件。
将$a=5$代入$\sqrt{10a}$得：
$\sqrt{10a}=\sqrt{10×5}=\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查可合并最简二次根式的性质，解题时要注意求出a后验证是否符合二次根式有意义的要求，再正确化简即可，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确性质：可以合并的最简二次根式是同类二次根式，它们的被开方数相等。我们可以先根据这个性质列关于a的一元一次方程，求出a的值；再验证a的取值能让两个二次根式有意义（被开方数非负）；最后将a代入$\sqrt{10a}$，按二次根式化简规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{3a - 8}$与$\sqrt{17 - 2a}$可以合并
∴二者的被开方数相等，可列方程：
$3a - 8 = 17 - 2a$
移项得：$3a + 2a = 17 + 8$
合并同类项得：$5a = 25$
解得：$a = 5$
验证：当$a=5$时，$3a-8=7≥0$，$17-2a=7≥0$，均满足二次根式有意义的条件。
将$a=5$代入$\sqrt{10a}$得：
$\sqrt{10a}=\sqrt{10×5}=\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
同类二次根式，二次根式化简，一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查可合并最简二次根式的性质，解题时要注意求出a后验证是否符合二次根式有意义的要求，再正确化简即可，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
22 先来看一个有趣的式子：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$. 这里根号里的2经过一系列演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数
还有许多，如$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
（1）猜想：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$，并验证你的猜想.
（2）你能用含有正整数$n(n≥2)$的式子来表示上述规律吗？
（3）试说明你找到的规律.
（4）请你再写出一个具有“穿墙”性质的数.
还有许多，如$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
（1）猜想：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$，并验证你的猜想.
（2）你能用含有正整数$n(n≥2)$的式子来表示上述规律吗？
（3）试说明你找到的规律.
（4）请你再写出一个具有“穿墙”性质的数.
答案
22. （1）$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
（2）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（3）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（4）答案不唯一，如$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
（2）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（3）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（4）答案不唯一，如$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
解析
【分析】
解题时先观察给出的“穿墙”示例的数字特征：带分数的整数部分、分子相同，分母等于整数部分的平方减1，开根号后结果为整数部分乘根号下（分子/分母）。（1）按照前面的规律直接写出结果，再通过将带分数化为假分数，拆分被开方数为平方数乘剩余部分的形式验证；（2）结合示例的数字规律，把整数部分替换为n（n≥2），分别写出等式左右两边的表达式；（3）通过二次根式的化简步骤，对左边的式子通分、整理，证明其和右边相等即可；（4）任取一个大于等于2的正整数n，代入规律式写出对应的数即可。
【解析】
（1）根据给出的示例规律，可猜想$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$。
验证：先将带分数化为假分数：$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5×24 +5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}$，再拆分被开方数：$\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}$，根据二次根式性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，猜想成立。
（2）观察数字特征：整数部分为n时，分子也为n，分母为$n^2-1$，因此规律为$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}(n≥2)$。
（3）对左边式子化简：先通分计算被开方数$n+\frac{n}{n^2-1}=\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}=\frac{n^3-n+n}{n^2-1}=\frac{n^3}{n^2-1}$，再开根号得$\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2·n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，和右边相等，规律成立。
（4）取n=6，代入规律可得具有“穿墙”性质的数为$\sqrt{6\frac{6}{35}}=6\sqrt{\frac{6}{35}}$（答案不唯一）。
【答案】
（1）$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
（2）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（3）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（4）答案不唯一，如$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
【知识点】
二次根式化简、数字规律探究、分式运算
【点评】
本题属于规律探究类题目，以新颖的“穿墙”现象为载体，既考查了二次根式运算、带分数与假分数转化等基础运算能力，也考查了归纳推理、从特殊到一般的数学思维能力，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的“穿墙”示例的数字特征：带分数的整数部分、分子相同，分母等于整数部分的平方减1，开根号后结果为整数部分乘根号下（分子/分母）。（1）按照前面的规律直接写出结果，再通过将带分数化为假分数，拆分被开方数为平方数乘剩余部分的形式验证；（2）结合示例的数字规律，把整数部分替换为n（n≥2），分别写出等式左右两边的表达式；（3）通过二次根式的化简步骤，对左边的式子通分、整理，证明其和右边相等即可；（4）任取一个大于等于2的正整数n，代入规律式写出对应的数即可。
【解析】
（1）根据给出的示例规律，可猜想$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$。
验证：先将带分数化为假分数：$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5×24 +5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}$，再拆分被开方数：$\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}$，根据二次根式性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，猜想成立。
（2）观察数字特征：整数部分为n时，分子也为n，分母为$n^2-1$，因此规律为$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}(n≥2)$。
（3）对左边式子化简：先通分计算被开方数$n+\frac{n}{n^2-1}=\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}=\frac{n^3-n+n}{n^2-1}=\frac{n^3}{n^2-1}$，再开根号得$\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2·n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，和右边相等，规律成立。
（4）取n=6，代入规律可得具有“穿墙”性质的数为$\sqrt{6\frac{6}{35}}=6\sqrt{\frac{6}{35}}$（答案不唯一）。
【答案】
（1）$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
（2）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（3）$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
（4）答案不唯一，如$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
【知识点】
二次根式化简、数字规律探究、分式运算
【点评】
本题属于规律探究类题目，以新颖的“穿墙”现象为载体，既考查了二次根式运算、带分数与假分数转化等基础运算能力，也考查了归纳推理、从特殊到一般的数学思维能力，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
