22. 如图 1,在$□ ABCD$中,点 E,F 分别在 AB,CD 上,满足 $DE// BF$。
(1)求证:四边形 BFDE 是平行四边形。
(2)如图 2,连结 EF,若 $AD=13,AE=14,DE=DF=15$,求 EF 的长。

(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// CD$，因为$DE// BF$，所以四边形BFDE是平行四边形。
(2)如图，过点D作$DG⊥ AB$于点G，连结BD，交EF于点O，则$∠ AGD=∠ BGD=90°$。因为四边形BFDE是平行四边形，$DE=DF=15$，所以四边形BFDE是菱形，所以$OE=\frac{1}{2}EF$，$DO=\frac{1}{2}BD$，$BD⊥ EF$，$BE=DE=15$，设$AG=x$，则$GE=14-x$，根据勾股定理得:$DG^2=AD^2-AG^2=DE^2-EG^2$，所以$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$，解得:$x=5$，所以$AG=5$，$EG=14-5=9$，所以$BG=EG+BE=24$，根据勾股定理得:$DG^2=\sqrt{DE^2-EG^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$，所以$DB=\sqrt{DG^2+BG^2}=\sqrt{12^2+24^2}=12\sqrt{5}$，所以$DO=6\sqrt{5}$，所以$EO=\sqrt{DE^2-DO^2}=3\sqrt{5}$，所以$EF=2EO=6\sqrt{5}$。

23. 2025年初,中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球,于是某书店开始销售《哪吒2》绘本。已知现在每套售价定为30元时,平均每天可售出60套;根据以往同类绘本销售规律:在每套涨价小于10元时,如果每套书每涨价1元,那么少售出4套/天;在每套降价小于10元时,如果每套书每降价1元,那么多售出1套/天。
(1)若该书店计划每套书涨价5元,根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少。
(2)能否通过每套书降价$ x $元($ x $为整数,$ 0＜x＜10 $),根据以往同类绘本销售规律估计,使每天获得的总销售额刚好与题(1)中的总销售额相等?若能,求出$ x $的值;若不能,请说明理由。
(3)根据以往同类绘本销售规律,书店设计了两种销售方案:书店方案一:每套书涨价$ m $元($ m $为整数,$ 0＜m＜10 $);书店方案二:每套书降价$ n $元($ n $为整数,$ 0＜n＜10 $)。是否存在这样的$ m,n $数值,使得两种方案总销售额相等?若存在,求$ m:n $的比值;若不存在,请说明理由。

(1)由题意得:$(30+5)(60-4×5)=1400$(元)，答:书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元。
(2)不能，由题意可得:$(30-x)(60+x)=1400$，解得$x_1=-40$或$x_2=10$，因为$x$为整数且$0＜x＜10$，所以都不满足题意，都舍去，所以每套书降价$x$元($x$为整数，$0＜x＜10$)时，每天的总销售额不能与题(1)中的总销售额相等。
(3)存在，由题意可得:$(30+m)(60-4m)=(30-n)(60+n)$，整理得$(2m-n)(30+2m+n)=0$，因为$0＜m＜10$，$0＜n＜10$，所以$30+2m+n≠0$，所以$2m-n=0$，所以当$m:n=\frac{1}{2}$时，两种方案的总销售额相等，此时$0＜m＜5$，$0＜n＜10$。