24. 正方形ABCD中，E为BC上一动点（不与端点重合），连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，过点D作DG⊥AE于点G。
(1)如图1，若BF=3，FG=5，求DG的长度。
(2)如图2，连结DF，CG，判断DF和CG的数量关系，并说明理由。
(3)如图3，H，I分别为GF，CD中点，连结HI，判断∠AHI和∠GDF的数量关系，并说明理由。

(1)因为正方形ABCD，所以$AB=DA$，$∠ DAB=90°$，所以$∠ BAF+∠ DAG=90°$，因为$DG⊥ AE$，$BF⊥ AE$，所以$∠ BAF+∠ ABF=90°$，$∠ AFB=∠ DGA=90°$，所以$∠ ABF=∠ DAG$，在$△ ABF$和$△ DAG$中，$\begin{cases}∠ AFB=∠ DGA,\\∠ ABF=∠ DAG,\\AB=DA,\end{cases}$所以$△ ABF≌△ DAG(\mathrm{AAS})$，所以$AG=BF=3$，$DG=AF$，因为$AF=AG+GF=3+5=8$，所以$DG=AF=8$。
(2)$DF=CG$，理由如下:因为$△ ABF≌△ DAG$，所以$DG=AF$，$∠ BAF=∠ ADG$，因为正方形ABCD，所以$CD=DA$，$∠ BAD=∠ ADC=90°$，所以$90°-∠ BAF=90°-∠ ADG$，所以$∠ DAF=∠ CDG$，在$△ DAF$和$△ CDG$中，$\begin{cases}DA=CD,\\∠ DAF=∠ CDG,\\AF=DG,\end{cases}$所以$△ DAF≌△ CDG$，所以$DF=CG$。
(3)$∠ AHI+∠ GDF=135°$。理由如下:设$DF$，$HI$的交点是$O$，取$DG$的中点$N$，连结$NH$，$NI$，则$NH$，$NI$分别是$△ DGF$，$△ DGC$的中位线，所以$NH// DF$，$NH=\frac{1}{2}DF$，$NI// GC$，$NI=\frac{1}{2}GC$，因为$DF=CG$，所以$NH=NI$，设$DF$，$CG$的交点为$L$，$NI$，$DF$的交点为$M$，$NH$，$CG$的交点为$K$，因为$△ DAF≌△ CDG$，所以$∠ DGC=∠ DFA$，因为$∠ DGC+∠ FGL=90°$，所以$∠ AFL+∠ FGL=90°$，所以$∠ GLF=90°$，因为$NH// DF$，$NI// GC$，所以$∠ NML=90°$，$∠ NKL=90°$，所以四边形$KLMN$是矩形，所以$∠ HNI=90°$，因为$NH=NI$，所以$△ NHI$为等腰直角三角形，所以$∠ NHI=∠ NIH=45°$，因为$NH// DF$，所以$∠ GDF=∠ GNH$，因为$DG⊥ AE$，所以$∠ GNH+∠ GHN=90°$，所以$∠ GDF+∠ GHN=90°$，因为$∠ GHI=∠ GHN+∠ NHI$，所以$∠ AHI+∠ GDF=∠ GNH+∠ GHN+∠ NHI=135°$。