登录
5[2026安徽淮南期末,中]如图,抛物线$y=ax^2+bx-3$与x轴交于点$A(-1,0)$和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线$x=1$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点D为线段BC下方抛物线上一点,过点D作$DE ⊥ x$轴于点E,再过点E作$EF ⊥ BC$于点F,请求出$DE+\sqrt{2}EF$的最大值.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点D为线段BC下方抛物线上一点,过点D作$DE ⊥ x$轴于点E,再过点E作$EF ⊥ BC$于点F,请求出$DE+\sqrt{2}EF$的最大值.
答案
5.【解】(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$,对称轴为直线$x=1$,
∴ 易得$B(3,0)$.将点$A,B$的坐标代入$y=ax^2+bx-3$,得$\begin{cases}a-b-3=0, \\9a+3b-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)在$y=x^2-2x-3$中,令$x=0$,则$y=-3$,
∴ $C(0,-3)$. 又
∵ $B(3,0)$,
∴ $OC=OB=3$,
∴ $∠ OBC=45°$.
∵ $EF⊥ BC$,
∴ $△ BEF$是等腰直角三角形,
∴ $BE=\sqrt{2}EF$. 设点$D$的坐标为$(m,m^2-2m-3)(0＜m＜3)$,则点$E$的坐标为$(m,0)$,
∴ $DE=-m^2+2m+3$,$BE=3-m$,
∴ $DE+\sqrt{2}EF=DE+BE=-m^2+2m+3+3-m=-m^2+m+6=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}$.
∵ $-1＜0$,
∴ 当$m=\frac{1}{2}$时,$DE+\sqrt{2}EF$有最大值,最大值是$\frac{25}{4}$.
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B$,对称轴为直线$x=1$,
∴ 易得$B(3,0)$.将点$A,B$的坐标代入$y=ax^2+bx-3$,得$\begin{cases}a-b-3=0, \\9a+3b-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
(2)在$y=x^2-2x-3$中,令$x=0$,则$y=-3$,
∴ $C(0,-3)$. 又
∵ $B(3,0)$,
∴ $OC=OB=3$,
∴ $∠ OBC=45°$.
∵ $EF⊥ BC$,
∴ $△ BEF$是等腰直角三角形,
∴ $BE=\sqrt{2}EF$. 设点$D$的坐标为$(m,m^2-2m-3)(0＜m＜3)$,则点$E$的坐标为$(m,0)$,
∴ $DE=-m^2+2m+3$,$BE=3-m$,
∴ $DE+\sqrt{2}EF=DE+BE=-m^2+2m+3+3-m=-m^2+m+6=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}$.
∵ $-1＜0$,
∴ 当$m=\frac{1}{2}$时,$DE+\sqrt{2}EF$有最大值,最大值是$\frac{25}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，先利用抛物线的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知A(-1,0)、对称轴为x=1，可先求出点B的坐标，再将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解关于a、b的二元一次方程组即可得到解析式。
(2) 求$DE+\sqrt{2}EF$的最大值时，先根据B、C坐标判断$△ OBC$为等腰直角三角形，结合$EF⊥ BC$可推导出$\sqrt{2}EF=BE$，将所求式子转化为DE+BE。再设点D的横坐标为m，用含m的代数式分别表示DE和BE，整理为关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$的对称轴为直线$x=1$，与x轴交于点$A(-1,0)$，
∴ 点A、B关于直线x=1对称，可得B点坐标为$(3,0)$。
将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a-b-3=0 \\9a+3b-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\b=-2\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 在$y=x^2-2x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，
∴ $C(0,-3)$。
∵ $B(3,0)$，
∴ $OB=OC=3$，即$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ OBC=45°$。
∵ $EF⊥ BC$，
∴ $△ BEF$是等腰直角三角形，
∴ $BE=\sqrt{2}EF$。
设点D的坐标为$(m,m^2-2m-3)$（$0＜m＜3$），则点E的坐标为$(m,0)$，
∴ $DE=0-(m^2-2m-3)=-m^2+2m+3$，$BE=3-m$，
∴ $DE+\sqrt{2}EF=DE+BE=-m^2+2m+3+3-m=-m^2+m+6$。
配方得：$-m^2+m+6=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}$。
∵ $-1＜0$，抛物线开口向下，且$0＜\frac{1}{2}＜3$，
∴ 当$m=\frac{1}{2}$时，$DE+\sqrt{2}EF$取得最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) $\frac{25}{4}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质转化含根号的线段，将线段和的最值问题转化为二次函数的最值问题，需要熟练掌握数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线表达式时，先利用抛物线的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知A(-1,0)、对称轴为x=1，可先求出点B的坐标，再将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解关于a、b的二元一次方程组即可得到解析式。
(2) 求$DE+\sqrt{2}EF$的最大值时，先根据B、C坐标判断$△ OBC$为等腰直角三角形，结合$EF⊥ BC$可推导出$\sqrt{2}EF=BE$，将所求式子转化为DE+BE。再设点D的横坐标为m，用含m的代数式分别表示DE和BE，整理为关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$的对称轴为直线$x=1$，与x轴交于点$A(-1,0)$，
∴ 点A、B关于直线x=1对称，可得B点坐标为$(3,0)$。
将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a-b-3=0 \\9a+3b-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\b=-2\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 在$y=x^2-2x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，
∴ $C(0,-3)$。
∵ $B(3,0)$，
∴ $OB=OC=3$，即$△ OBC$为等腰直角三角形，$∠ OBC=45°$。
∵ $EF⊥ BC$，
∴ $△ BEF$是等腰直角三角形，
∴ $BE=\sqrt{2}EF$。
设点D的坐标为$(m,m^2-2m-3)$（$0＜m＜3$），则点E的坐标为$(m,0)$，
∴ $DE=0-(m^2-2m-3)=-m^2+2m+3$，$BE=3-m$，
∴ $DE+\sqrt{2}EF=DE+BE=-m^2+2m+3+3-m=-m^2+m+6$。
配方得：$-m^2+m+6=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}$。
∵ $-1＜0$，抛物线开口向下，且$0＜\frac{1}{2}＜3$，
∴ 当$m=\frac{1}{2}$时，$DE+\sqrt{2}EF$取得最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) $\frac{25}{4}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质转化含根号的线段，将线段和的最值问题转化为二次函数的最值问题，需要熟练掌握数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.6
6[中]如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）经过点$A(-1,0),B(5,-6),C(6,0)$。
(1)求抛物线的表达式。
(2)连接AB，点P在直线AB下方的抛物线上，求出$△ ABP$的面积最大时点P的坐标。
(1)求抛物线的表达式。
(2)连接AB，点P在直线AB下方的抛物线上，求出$△ ABP$的面积最大时点P的坐标。
答案
6.【解】(1)设y=a(x+1)(x-6)(a≠0).把B(5,-6)代入,得a(5+1)(5-6)=-6,解得a=1,
∴ y=(x+1)(x-6)=x²-5x-6.
(2)大招解读：铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法,主要解决的是斜三角形面积问题.具体公式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点之间的水平距离,而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度.
S△ABC=1/2·l·h如图,连接AP,BP,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E.由A(-1,0),B(5,-6),易得直线AB的解析式为y=-x-1.设P(m,m²-5m-6)(-1＜m＜5),则E(m,-m-1),
∴ PE=(-m-1)-(m²-5m-6)=-m²+4m+5,
∴ S△ABP=1/2 PE·(x_B -x_A)=1/2(-m²+4m+5)×6=-3(m-2)²+27.
∵ -3＜0,
∴ 当m=2时,S△ABP最大,此时P(2,-12).
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、C(6,0)两点，优先选用交点式设抛物线解析式，代入点B坐标求出参数a，即可得到抛物线表达式。
(2) 求斜△ABP的面积最大值，可采用铅垂法：先求出直线AB的解析式，设点P的横坐标为m，用含m的代数式分别表示点P和直线AB上同横坐标的点E的纵坐标，得到铅垂高PE的长度；再结合A、B两点的水平距离，写出△ABP面积关于m的二次函数，根据二次函数的性质求出面积最大时m的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
(1) 抛物线过点A(-1,0)、C(6,0)，设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-6)\ (a≠0)$。
将B(5,-6)代入解析式，得：
$a×(5+1)×(5-6)=-6$
解得$a=1$，
因此抛物线解析式为$y=(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$。
(2) 先求直线AB的解析式：设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(-1,0)、B(5,-6)代入得：
$\begin{cases} -k+b=0 \\ 5k+b=-6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-x-1$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · l · h$
如图，连接AP、BP，过点P作$PD ⊥ x$轴于点D，交AB于点E。设$P(m,m^2-5m-6)\ (-1＜m＜5)$，则点E的坐标为$(m,-m-1)$，
因此铅垂高$PE=(-m-1)-(m^2-5m-6)=-m^2+4m+5$，
A、B两点的水平宽为$x_B - x_A=5-(-1)=6$，
则$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} · PE · (x_B - x_A)=\frac{1}{2}(-m^2+4m+5)×6=-3(m-2)^2+27$。
$\because -3＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$m=2$时，$S_{△ ABP}$取得最大值，此时点P的纵坐标为$2^2-5×2-6=-12$，即$P(2,-12)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-5x-6}$；
(2) $△ ABP$的面积最大时点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-12)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；铅垂法求三角形面积；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问选用交点式求解析式可简化计算，第二问的铅垂法是解决二次函数背景下斜三角形面积最值问题的常用技巧，解题时要掌握用参数表示线段长度、结合二次函数性质求最值的思路。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、C(6,0)两点，优先选用交点式设抛物线解析式，代入点B坐标求出参数a，即可得到抛物线表达式。
(2) 求斜△ABP的面积最大值，可采用铅垂法：先求出直线AB的解析式，设点P的横坐标为m，用含m的代数式分别表示点P和直线AB上同横坐标的点E的纵坐标，得到铅垂高PE的长度；再结合A、B两点的水平距离，写出△ABP面积关于m的二次函数，根据二次函数的性质求出面积最大时m的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
(1) 抛物线过点A(-1,0)、C(6,0)，设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-6)\ (a≠0)$。
将B(5,-6)代入解析式，得：
$a×(5+1)×(5-6)=-6$
解得$a=1$，
因此抛物线解析式为$y=(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$。
(2) 先求直线AB的解析式：设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(-1,0)、B(5,-6)代入得：
$\begin{cases} -k+b=0 \\ 5k+b=-6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-x-1$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · l · h$如图，连接AP、BP，过点P作$PD ⊥ x$轴于点D，交AB于点E。设$P(m,m^2-5m-6)\ (-1＜m＜5)$，则点E的坐标为$(m,-m-1)$，
因此铅垂高$PE=(-m-1)-(m^2-5m-6)=-m^2+4m+5$，
A、B两点的水平宽为$x_B - x_A=5-(-1)=6$，
则$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} · PE · (x_B - x_A)=\frac{1}{2}(-m^2+4m+5)×6=-3(m-2)^2+27$。
$\because -3＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$m=2$时，$S_{△ ABP}$取得最大值，此时点P的纵坐标为$2^2-5×2-6=-12$，即$P(2,-12)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-5x-6}$；
(2) $△ ABP$的面积最大时点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-12)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；铅垂法求三角形面积；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问选用交点式求解析式可简化计算，第二问的铅垂法是解决二次函数背景下斜三角形面积最值问题的常用技巧，解题时要掌握用参数表示线段长度、结合二次函数性质求最值的思路。
【难度系数】
0.6
7[2025安徽全椒质检,较难]如图,抛物线$y = x^2 - 4x$与x轴相交于原点O和点A,直线$y = x$与抛物线在第一象限的交点为点B,抛物线的顶点为点C.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)点E是点B关于抛物线对称轴的对称点,点F是直线OB下方的抛物线上的动点,EF与直线OB交于点G.设$△ BFG$和$△ BEG$的面积分别为$S_1$和$S_2$,求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)点E是点B关于抛物线对称轴的对称点,点F是直线OB下方的抛物线上的动点,EF与直线OB交于点G.设$△ BFG$和$△ BEG$的面积分别为$S_1$和$S_2$,求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值.
答案
7.【解】(1)联立$\begin{cases}y=x^2-4x \\y=x\end{cases}$,解得$x=0$或$x=5$,对应$y=0$或$y=5$,
∴ $B(5,5)$. 抛物线$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$,
∴ 顶点$C$的坐标为$(2,-4)$.
(2)
∵ $S_1=\frac{1}{2}FN(x_B-x_G)$,$S_2=\frac{1}{2}EM(x_B-x_G)$,
∴ $\frac{S_1}{S_2}=\frac{FN}{EM}=\frac{-m^2+5m}{6}=-\frac{1}{6}(m^2-5m)=-\frac{1}{6}(m-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{24}$,
∴ 当$m=\frac{5}{2}$时,$\frac{S_1}{S_2}$的最大值为$\frac{25}{24}$.
∴ $B(5,5)$. 抛物线$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$,
∴ 顶点$C$的坐标为$(2,-4)$.
(2)
∵ $S_1=\frac{1}{2}FN(x_B-x_G)$,$S_2=\frac{1}{2}EM(x_B-x_G)$,
∴ $\frac{S_1}{S_2}=\frac{FN}{EM}=\frac{-m^2+5m}{6}=-\frac{1}{6}(m^2-5m)=-\frac{1}{6}(m-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{24}$,
∴ 当$m=\frac{5}{2}$时,$\frac{S_1}{S_2}$的最大值为$\frac{25}{24}$.
解析
【分析】
(1)求点B坐标时，B是直线$y=x$与抛物线的交点，联立两个函数的解析式解方程，结合第一象限的坐标特征即可得到B的坐标；求顶点C的坐标时，将抛物线的一般式配方为顶点式，即可直接读出顶点坐标。
(2)先根据抛物线的对称性求出点E的坐标；观察$△ BFG$和$△ BEG$，两个三角形共底边$BG$，因此面积比等于点F、点E到直线$OB$的距离之比；再设F的横坐标为$m$，用含$m$的代数式表示出面积比，将其整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
(1)联立直线与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-4x \\y=x\end{cases}$
将$y=x$代入抛物线方程得$x=x^2-4x$，整理得$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$。
因为点B在第一象限，所以$x=5$，$y=5$，即$B(5,5)$。
将抛物线解析式配方：$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$，因此抛物线顶点C的坐标为$(2,-4)$。
(2)抛物线的对称轴为直线$x=2$，点E是B关于对称轴的对称点，因此E的横坐标为$2×2-5=-1$，纵坐标与B相同为5，即$E(-1,5)$。
$△ BFG$和$△ BEG$共底边$BG$，面积比等于F、E到直线$OB:y=x$的距离之比。
设点F的横坐标为$m$（$0＜m＜5$），则F的坐标为$(m,m^2-4m)$。
点到直线$x-y=0$的距离公式为$\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}$，因此：
E到OB的距离为$\frac{|-1-5|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$；
F在OB下方，故$m＞m^2-4m$，F到OB的距离为$\frac{|m-(m^2-4m)|}{\sqrt{2}}=\frac{-m^2+5m}{\sqrt{2}}$。
因此$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{-m^2+5m}{\sqrt{2}}}{\frac{6}{\sqrt{2}}}=\frac{-m^2+5m}{6}=-\frac{1}{6}(m-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{24}$。
因为$-\frac{1}{6}＜0$，二次函数开口向下，所以当$m=\frac{5}{2}$时，$\frac{S_1}{S_2}$取得最大值$\frac{25}{24}$。
【答案】
(1) $B(5,5)$，$C(2,-4)$；
(2) $\frac{25}{24}$
【知识点】
二次函数顶点坐标，函数交点求解，二次函数最值应用
【点评】
本题属于二次函数综合题，核心考查二次函数的基本性质、面积比的转化技巧，解题的关键是将两个三角形的面积比转化为可计算的距离比，再结合二次函数的最值性质求解，是二次函数最值类的典型考法。
【难度系数】
0.4
(1)求点B坐标时，B是直线$y=x$与抛物线的交点，联立两个函数的解析式解方程，结合第一象限的坐标特征即可得到B的坐标；求顶点C的坐标时，将抛物线的一般式配方为顶点式，即可直接读出顶点坐标。
(2)先根据抛物线的对称性求出点E的坐标；观察$△ BFG$和$△ BEG$，两个三角形共底边$BG$，因此面积比等于点F、点E到直线$OB$的距离之比；再设F的横坐标为$m$，用含$m$的代数式表示出面积比，将其整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
(1)联立直线与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-4x \\y=x\end{cases}$
将$y=x$代入抛物线方程得$x=x^2-4x$，整理得$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$。
因为点B在第一象限，所以$x=5$，$y=5$，即$B(5,5)$。
将抛物线解析式配方：$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$，因此抛物线顶点C的坐标为$(2,-4)$。
(2)抛物线的对称轴为直线$x=2$，点E是B关于对称轴的对称点，因此E的横坐标为$2×2-5=-1$，纵坐标与B相同为5，即$E(-1,5)$。
$△ BFG$和$△ BEG$共底边$BG$，面积比等于F、E到直线$OB:y=x$的距离之比。
设点F的横坐标为$m$（$0＜m＜5$），则F的坐标为$(m,m^2-4m)$。
点到直线$x-y=0$的距离公式为$\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}$，因此：
E到OB的距离为$\frac{|-1-5|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$；
F在OB下方，故$m＞m^2-4m$，F到OB的距离为$\frac{|m-(m^2-4m)|}{\sqrt{2}}=\frac{-m^2+5m}{\sqrt{2}}$。
因此$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{-m^2+5m}{\sqrt{2}}}{\frac{6}{\sqrt{2}}}=\frac{-m^2+5m}{6}=-\frac{1}{6}(m-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{24}$。
因为$-\frac{1}{6}＜0$，二次函数开口向下，所以当$m=\frac{5}{2}$时，$\frac{S_1}{S_2}$取得最大值$\frac{25}{24}$。
【答案】
(1) $B(5,5)$，$C(2,-4)$；
(2) $\frac{25}{24}$
【知识点】
二次函数顶点坐标，函数交点求解，二次函数最值应用
【点评】
本题属于二次函数综合题，核心考查二次函数的基本性质、面积比的转化技巧，解题的关键是将两个三角形的面积比转化为可计算的距离比，再结合二次函数的最值性质求解，是二次函数最值类的典型考法。
【难度系数】
0.4
