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1[中]如图,已知抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,其对称轴为直线$x=2$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限.
①当$△ OAB$的面积为$15$时,求点$B$的坐标;
②在①的条件下,$P$是抛物线上的动点,当$PA-PB$取得最大值时,求点$P$的坐标.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限.
①当$△ OAB$的面积为$15$时,求点$B$的坐标;
②在①的条件下,$P$是抛物线上的动点,当$PA-PB$取得最大值时,求点$P$的坐标.
答案
1.【解】(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,且它的对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(4,0)$.设抛物线表达式为$y=ax(x-4)$.把$A(5,5)$代入,得$5a=5$,解得$a=1$,
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2-4x$.
(2)①如图(1),点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限,
∴ 设$B(2,m)(m＞0)$,直线$OA$的表达式为$y=kx$,则$5k=5$,解得$k=1$,
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$.设直线$OA$与抛物线对称轴交于点$H$,则$H(2,2)$,
∴ $BH=|m-2|$.
∵ $S_{△ OAB}=15$,
∴ $\frac{1}{2}×|m-2|×5=15$,解得$m=8$或$m=-4$(舍去),
∴ 点$B$的坐标为$(2,8)$.
②设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$.把$A(5,5)$,$B(2,8)$代入得$\begin{cases}5c+d=5, \\2c+d=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-1, \\d=10,\end{cases}$
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$.
如图(2),当$PA-PB$的值最大时,点$A,B,P$在同一条直线上.
∵ $P$是抛物线上的动点,
∴ 联立得$\begin{cases}y=-x+10, \\y=x^2-4x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-2, \\y_1=12,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=5, \\y_2=5,\end{cases}$(舍去),
∴ $P(-2,12)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过原点且对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性可推出其与x轴的另一交点为(4,0)，因此选用交点式设解析式，代入已知点A的坐标即可快速求出参数，得到解析式。
(2) ① 点B在对称轴x=2上，可设其坐标为(2,m)（m＞0），先求直线OA的解析式，找到OA与对称轴的交点H，将△OAB的面积拆分为两个共底BH的小三角形面积之和，两个小三角形的高之和为点O到点A的水平距离5，结合已知面积列方程即可求出m，得到B点坐标。
② 根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知PA-PB≤AB，当且仅当P、A、B三点共线时，PA-PB取得最大值等于AB的长度，因此联立直线AB与抛物线的解析式，舍去与A重合的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(4,0)$，
设抛物线的表达式为$y=ax(x-4)$，
将$A(5,5)$代入得：$5a=5$，解得$a=1$，
∴ 抛物线的表达式为$y=x(x-4)=x^2-4x$。
(2) ① 设点B的坐标为$(2,m)(m＞0)$，
设直线$OA$的表达式为$y=kx$，将$A(5,5)$代入得$5k=5$，解得$k=1$，
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$，
直线$OA$与对称轴$x=2$的交点$H$的坐标为$(2,2)$，则$BH=|m-2|$，
∵ $S_{△OAB}=15$，即$\frac{1}{2}×BH×5=15$，
∴ $|m-2|=6$，解得$m=8$或$m=-4$，
∵ 点B在第一象限，$m＞0$，
∴ $m=8$，即$B(2,8)$。
② 当$P、A、B$三点共线时，$PA-PB$取得最大值，
设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$，将$A(5,5)$、$B(2,8)$代入得：
$\begin{cases}5c+d=5 \\2c+d=8 \end{cases}$，解得$\begin{cases}c=-1 \\d=10 \end{cases}$，
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$，
联立直线$AB$与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-x+10 \\y=x^2-4x \end{cases}$，
整理得$x^2-3x-10=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=5$，
其中$x=5$对应点A，舍去，将$x=-2$代入$y=-x+10$得$y=12$，
∴ 点P的坐标为$(-2,12)$。
【答案】
1.【解】(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,且它的对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(4,0)$.设抛物线表达式为$y=ax(x-4)$.把$A(5,5)$代入,得$5a=5$,解得$a=1$,
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2-4x$.
(2)①如图(1),点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限,
∴ 设$B(2,m)(m＞0)$,直线$OA$的表达式为$y=kx$,则$5k=5$,解得$k=1$,
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$.设直线$OA$与抛物线对称轴交于点$H$,则$H(2,2)$,
∴ $BH=|m-2|$.
∵ $S_{△ OAB}=15$,
∴ $\frac{1}{2}×|m-2|×5=15$,解得$m=8$或$m=-4$(舍去),
∴ 点$B$的坐标为$(2,8)$.
②设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$.把$A(5,5)$,$B(2,8)$代入得$\begin{cases}5c+d=5, \\2c+d=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-1, \\d=10,\end{cases}$
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$.
如图(2),当$PA-PB$的值最大时,点$A,B,P$在同一条直线上.
∵ $P$是抛物线上的动点,
∴ 联立得$\begin{cases}y=-x+10, \\y=x^2-4x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-2, \\y_1=12,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=5, \\y_2=5,\end{cases}$(舍去),
∴ $P(-2,12)$.
【知识点】
二次函数解析式确定，三角形面积计算，线段差最值求解
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了二次函数性质、一次函数求解、图形面积计算及线段最值等考点，解题关键是灵活运用抛物线对称性设解析式，用割补法计算不规则三角形面积，结合三点共线性质求解线段差的最大值，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过原点且对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性可推出其与x轴的另一交点为(4,0)，因此选用交点式设解析式，代入已知点A的坐标即可快速求出参数，得到解析式。
(2) ① 点B在对称轴x=2上，可设其坐标为(2,m)（m＞0），先求直线OA的解析式，找到OA与对称轴的交点H，将△OAB的面积拆分为两个共底BH的小三角形面积之和，两个小三角形的高之和为点O到点A的水平距离5，结合已知面积列方程即可求出m，得到B点坐标。
② 根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知PA-PB≤AB，当且仅当P、A、B三点共线时，PA-PB取得最大值等于AB的长度，因此联立直线AB与抛物线的解析式，舍去与A重合的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(4,0)$，
设抛物线的表达式为$y=ax(x-4)$，
将$A(5,5)$代入得：$5a=5$，解得$a=1$，
∴ 抛物线的表达式为$y=x(x-4)=x^2-4x$。
(2) ① 设点B的坐标为$(2,m)(m＞0)$，
设直线$OA$的表达式为$y=kx$，将$A(5,5)$代入得$5k=5$，解得$k=1$，
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$，
直线$OA$与对称轴$x=2$的交点$H$的坐标为$(2,2)$，则$BH=|m-2|$，
∵ $S_{△OAB}=15$，即$\frac{1}{2}×BH×5=15$，
∴ $|m-2|=6$，解得$m=8$或$m=-4$，
∵ 点B在第一象限，$m＞0$，
∴ $m=8$，即$B(2,8)$。
② 当$P、A、B$三点共线时，$PA-PB$取得最大值，
设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$，将$A(5,5)$、$B(2,8)$代入得：
$\begin{cases}5c+d=5 \\2c+d=8 \end{cases}$，解得$\begin{cases}c=-1 \\d=10 \end{cases}$，
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$，
联立直线$AB$与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-x+10 \\y=x^2-4x \end{cases}$，
整理得$x^2-3x-10=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=5$，
其中$x=5$对应点A，舍去，将$x=-2$代入$y=-x+10$得$y=12$，
∴ 点P的坐标为$(-2,12)$。
【答案】
1.【解】(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,且它的对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(4,0)$.设抛物线表达式为$y=ax(x-4)$.把$A(5,5)$代入,得$5a=5$,解得$a=1$,
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2-4x$.
(2)①如图(1),点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限,
∴ 设$B(2,m)(m＞0)$,直线$OA$的表达式为$y=kx$,则$5k=5$,解得$k=1$,
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$.设直线$OA$与抛物线对称轴交于点$H$,则$H(2,2)$,
∴ $BH=|m-2|$.
∵ $S_{△ OAB}=15$,
∴ $\frac{1}{2}×|m-2|×5=15$,解得$m=8$或$m=-4$(舍去),
∴ 点$B$的坐标为$(2,8)$.
②设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$.把$A(5,5)$,$B(2,8)$代入得$\begin{cases}5c+d=5, \\2c+d=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-1, \\d=10,\end{cases}$
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$.
如图(2),当$PA-PB$的值最大时,点$A,B,P$在同一条直线上.
∵ $P$是抛物线上的动点,
∴ 联立得$\begin{cases}y=-x+10, \\y=x^2-4x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-2, \\y_1=12,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=5, \\y_2=5,\end{cases}$(舍去),
∴ $P(-2,12)$.
【知识点】
二次函数解析式确定，三角形面积计算，线段差最值求解
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了二次函数性质、一次函数求解、图形面积计算及线段最值等考点，解题关键是灵活运用抛物线对称性设解析式，用割补法计算不规则三角形面积，结合三点共线性质求解线段差的最大值，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2[2026安徽合肥瑶海区校级质检,较难]如图,抛物线$y=x^2 -4x +3$与y轴交于点A,与x轴交于点B,E,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且$CD=BE$.当$AD+BC$的值最小时,点C的坐标是 (
A.$(2,1)$
B.$(2,\frac{2}{3})$
C.$(2,\frac{1}{3})$
D.$(1,\frac{1}{3})$
C
)A.$(2,1)$
B.$(2,\frac{2}{3})$
C.$(2,\frac{1}{3})$
D.$(1,\frac{1}{3})$
答案
2. C 【解析】对于$y=x^2-4x+3$,令$x=0$,则$y=3$,
∴ $A(0,3)$;令$y=0$,则$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1$,$x_2=3$,
∴ $B(1,0)$,$E(3,0)$,
∴ $BE=2$.
∵ $CD=BE$,
∴ $CD=2$. 在$OA$上取点$F$,使得$AF=2$,连接$CF$,$CE$,$EF$,如图,
∴ $AF=CD$.
∵ $CD// AF$,
∴ 四边形$CDAF$是平行四边形,
∴ $AD=CF$.
∵ 点$C$在对称轴上,
∴ $BC=CE$,
∴ $AD+BC=CF+CE≥ EF$,
∴ 当$F,C,E$三点共线,即点$C$是直线$EF$与抛物线对称轴的交点时,$AD+BC$的值最小.
∵ $A(0,3)$,$AF=2$,
∴ $F(0,1)$.设直线$EF$的表达式为$y=kx+b$,将点$E,F$的坐标代入,得$\begin{cases}3k+b=0, \\b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}, \\b=1,\end{cases}$
∴ 直线$EF$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+1$.抛物线$y=x^2-4x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×1}=2$,将$x=2$代入$y=-\frac{1}{3}x+1$,得$y=-\frac{1}{3}×2+1=\frac{1}{3}$,
∴ $C(2,\frac{1}{3})$,故选C.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、E的坐标，计算BE的长度，得到CD的长度；2. 要使AD+BC最小，需要对这两条线段进行转化：首先在y轴上截取AF=CD，利用CD与y轴平行的特点构造平行四边形CDAF，将AD转化为CF；再利用抛物线对称轴的轴对称性质，对称轴上的点C到对称点B、E的距离相等，将BC转化为CE；3. 此时AD+BC转化为CF+CE，根据两点之间线段最短，当F、C、E三点共线时，和最小；4. 求出直线EF的解析式，再将对称轴x=2代入解析式，即可得到点C的坐标。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-4x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，
∴ $A(0,3)$；
令$y=0$，则$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴ $B(1,0)$，$E(3,0)$，
因此$BE=3-1=2$，结合$CD=BE$得$CD=2$。
在OA上取点F，使$AF=2$，则$AF=CD$，
∵ CD在抛物线对称轴上，对称轴平行于y轴，
∴ $CD// AF$，
∴ 四边形CDAF是平行四边形，得$AD=CF$。
∵ 抛物线对称轴为直线$x=2$，点B和E关于对称轴对称，点C在对称轴上，
∴ $BC=CE$，
因此$AD+BC=CF+CE$，根据两点之间线段最短，$CF+CE≥ EF$，当且仅当F、C、E三点共线时，$AD+BC$取得最小值，此时点C为直线EF与抛物线对称轴的交点。
由$A(0,3)$、$AF=2$得$F(0,1)$，设直线EF的解析式为$y=kx+b$，将$E(3,0)$、$F(0,1)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0 \\b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3} \\b=1\end{cases}$，
即直线EF的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+1$。
将对称轴$x=2$代入直线解析式，得$y=-\frac{1}{3}×2+1=\frac{1}{3}$，
因此点C的坐标为$(2,\frac{1}{3})$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的性质，最短路径问题，一次函数解析式求解
【点评】
本题将二次函数与线段最值问题结合，通过构造平行四边形、利用轴对称性质完成线段转化，将动态线段和的最小值转化为两点间线段最短问题，解题的关键是合理转化线段，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：1. 先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、E的坐标，计算BE的长度，得到CD的长度；2. 要使AD+BC最小，需要对这两条线段进行转化：首先在y轴上截取AF=CD，利用CD与y轴平行的特点构造平行四边形CDAF，将AD转化为CF；再利用抛物线对称轴的轴对称性质，对称轴上的点C到对称点B、E的距离相等，将BC转化为CE；3. 此时AD+BC转化为CF+CE，根据两点之间线段最短，当F、C、E三点共线时，和最小；4. 求出直线EF的解析式，再将对称轴x=2代入解析式，即可得到点C的坐标。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-4x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，
∴ $A(0,3)$；
令$y=0$，则$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴ $B(1,0)$，$E(3,0)$，
因此$BE=3-1=2$，结合$CD=BE$得$CD=2$。
在OA上取点F，使$AF=2$，则$AF=CD$，
∵ CD在抛物线对称轴上，对称轴平行于y轴，
∴ $CD// AF$，
∴ 四边形CDAF是平行四边形，得$AD=CF$。
∵ 抛物线对称轴为直线$x=2$，点B和E关于对称轴对称，点C在对称轴上，
∴ $BC=CE$，
因此$AD+BC=CF+CE$，根据两点之间线段最短，$CF+CE≥ EF$，当且仅当F、C、E三点共线时，$AD+BC$取得最小值，此时点C为直线EF与抛物线对称轴的交点。
由$A(0,3)$、$AF=2$得$F(0,1)$，设直线EF的解析式为$y=kx+b$，将$E(3,0)$、$F(0,1)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0 \\b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3} \\b=1\end{cases}$，
即直线EF的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+1$。
将对称轴$x=2$代入直线解析式，得$y=-\frac{1}{3}×2+1=\frac{1}{3}$，
因此点C的坐标为$(2,\frac{1}{3})$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的性质，最短路径问题，一次函数解析式求解
【点评】
本题将二次函数与线段最值问题结合，通过构造平行四边形、利用轴对称性质完成线段转化，将动态线段和的最小值转化为两点间线段最短问题，解题的关键是合理转化线段，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.3
3[中]如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,$OA=2,OC=8$,连接AC和BC.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点D在抛物线的对称轴上,当$△ ACD$的周长最小时,求点D的坐标.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点D在抛物线的对称轴上,当$△ ACD$的周长最小时,求点D的坐标.
答案
3.【解】(1)
∵ $OA=2$,$OC=8$,
∴ $A(-2,0)$,$C(0,-8)$.将$A(-2,0)$,$C(0,-8)$代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}4-2b+c=0, \\c=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2, \\c=-8,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-8$.
(2)由$y=x^2-2x-8$可知,抛物线对称轴为直线$x=1$. 由抛物线的对称性可知,点$A$与点$B$关于对称轴对称. 如图,设$BC$交对称轴于点$D$,连接$AD$,则$AD=BD$. 由两点之间线段最短可知,此时$AD+CD$的值最小,而$AC$的长度是定值,故此时$△ ACD$的周长取得最小值. 由$y=x^2-2x-8$可知,点$B$的坐标为$(4,0)$. 设直线$BC$的表达式为$y=kx-8$,将点$B(4,0)$代入,得$k=2$,
∴ 直线$BC$的表达式为$y=2x-8$,当$x=1$时,$y=-6$,
∴ 点$D$的坐标为$(1,-6)$.
解析
【分析】
（1）求抛物线表达式需要确定解析式中的未知系数b和c，已知OA=2、OC=8，结合图像中A在x轴负半轴、C在y轴负半轴，可先得到A(-2,0)、C(0,-8)两个点的坐标，将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线表达式。
（2）△ACD的周长=AC+CD+AD，其中AC长度是固定值，因此要让周长最小，只需满足AD+CD的值最小。根据抛物线的对称性，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴上的点D满足AD=BD，可将AD+CD转化为BD+CD，根据两点之间线段最短，当B、D、C三点共线时，BD+CD的值最小，即D为直线BC与抛物线对称轴的交点。先求出抛物线对称轴，再求出直线BC的解析式，将对称轴的x值代入直线解析式即可求出D点坐标。
【解析】
(1) 已知$OA=2$，$OC=8$，结合图像得点A坐标为$(-2,0)$，点C坐标为$(0,-8)$。
将$A(-2,0)$、$C(0,-8)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}4-2b+c=0 \\c=-8\end{cases}$
把$c=-8$代入第一个方程，解得$4-2b-8=0$，即$-2b=4$，$b=-2$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2-2x-8$。
(2) 对于抛物线$y=x^2-2x-8$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$。
由抛物线对称性可知，点A与点B关于对称轴对称，因此对对称轴上任意一点D，都有$AD=BD$。
△ACD的周长为$AC+CD+AD$，AC为定值，因此当$AD+CD$最小时，△ACD周长最小，即$BD+CD$最小，根据两点之间线段最短，当D为直线BC与对称轴的交点时，$BD+CD$最小。
令$y=x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x=4$或$x=-2$，因此点B坐标为$(4,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(4,0)$、$C(0,-8)$代入得：
$\begin{cases}4k+m=0 \\m=-8\end{cases}$
解得$k=2$，因此直线BC的解析式为$y=2x-8$。
将对称轴$x=1$代入直线BC解析式，得$y=2×1-8=-6$，因此点D的坐标为$(1,-6)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,-6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的对称性，最短路径问题
【点评】
本题是二次函数与几何最值的综合题，第一问考查基础的待定系数法求函数解析式，属于二次函数的基础考点；第二问利用抛物线的对称性将线段和的最值转化为共线问题，体现了转化思想的应用，是二次函数最值类问题的典型考法，需熟练掌握此类最短路径问题的转化思路。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线表达式需要确定解析式中的未知系数b和c，已知OA=2、OC=8，结合图像中A在x轴负半轴、C在y轴负半轴，可先得到A(-2,0)、C(0,-8)两个点的坐标，将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线表达式。
（2）△ACD的周长=AC+CD+AD，其中AC长度是固定值，因此要让周长最小，只需满足AD+CD的值最小。根据抛物线的对称性，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴上的点D满足AD=BD，可将AD+CD转化为BD+CD，根据两点之间线段最短，当B、D、C三点共线时，BD+CD的值最小，即D为直线BC与抛物线对称轴的交点。先求出抛物线对称轴，再求出直线BC的解析式，将对称轴的x值代入直线解析式即可求出D点坐标。
【解析】
(1) 已知$OA=2$，$OC=8$，结合图像得点A坐标为$(-2,0)$，点C坐标为$(0,-8)$。
将$A(-2,0)$、$C(0,-8)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}4-2b+c=0 \\c=-8\end{cases}$
把$c=-8$代入第一个方程，解得$4-2b-8=0$，即$-2b=4$，$b=-2$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2-2x-8$。
(2) 对于抛物线$y=x^2-2x-8$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$。
由抛物线对称性可知，点A与点B关于对称轴对称，因此对对称轴上任意一点D，都有$AD=BD$。
△ACD的周长为$AC+CD+AD$，AC为定值，因此当$AD+CD$最小时，△ACD周长最小，即$BD+CD$最小，根据两点之间线段最短，当D为直线BC与对称轴的交点时，$BD+CD$最小。
令$y=x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x=4$或$x=-2$，因此点B坐标为$(4,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(4,0)$、$C(0,-8)$代入得：
$\begin{cases}4k+m=0 \\m=-8\end{cases}$
解得$k=2$，因此直线BC的解析式为$y=2x-8$。
将对称轴$x=1$代入直线BC解析式，得$y=2×1-8=-6$，因此点D的坐标为$(1,-6)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,-6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的对称性，最短路径问题
【点评】
本题是二次函数与几何最值的综合题，第一问考查基础的待定系数法求函数解析式，属于二次函数的基础考点；第二问利用抛物线的对称性将线段和的最值转化为共线问题，体现了转化思想的应用，是二次函数最值类问题的典型考法，需熟练掌握此类最短路径问题的转化思路。
【难度系数】
0.6
4[中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^2 -4x +c$与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点C的坐标为$(0,5)$.
(1)求点A的坐标;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值.
(1)求点A的坐标;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值.
答案
4.【解】(1)
∵ 点$C(0,5)$在抛物线$y=-x^2-4x+c$上,
∴ $c=5$,
∴ $y=-x^2-4x+5$. 令$y=0$,得$0=-x^2-4x+5$,解得$x=1$或$-5$,
∴ 点$A$的坐标为$(-5,0)$.
(2)由(1)知,$B(1,0)$.过$P$作$PE⊥ AC$于点$E$,过点$P$作$PF⊥ x$轴于点$F$,交$AC$于点$H$,如图.
∵ $A(-5,0)$,$C(0,5)$,
∴ $OA=OC$,
∴ $△ AOC$是等腰直角三角形,
∴ $∠ CAO=45°$.
∵ $PF⊥ x$轴,
∴ $∠ AHF=45°=∠ PHE$,
∴ $△ PHE$是等腰直角三角形,
∴ $PE=\frac{\sqrt{2}}{2}PH$,
∴ 当$PH$最大时,$PE$最大. 设直线$AC$的表达式为$y=kx+5$,将$A(-5,0)$代入得$0=-5k+5$,
∴ $k=1$,
∴ 直线$AC$的表达式为$y=x+5$. 设$P(m,-m^2-4m+5)(-5＜m＜0)$,则$H(m,m+5)$,
∴ $PH=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$.
∵ $-1＜0$,
∴ 当$m=-\frac{5}{2}$时,$PH$取得最大值,为$\frac{25}{4}$,
∴ $PE=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{25}{4}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$,
∴ 点$P$到直线$AC$距离的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$.
解析
【分析】
（1）求点A坐标需先确定抛物线解析式：已知点C在抛物线上，将C点坐标代入可求出参数c，得到完整抛物线解析式后，令y=0解一元二次方程，结合点A在点B左侧的位置特征，即可得到A点坐标。
（2）求点P到直线AC的最大距离时，先利用A、C坐标判断△AOC为等腰直角三角形，可将点P到AC的斜向距离转化为竖直方向线段PH的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，把距离最值问题转化为线段PH的最值问题。先求出直线AC的解析式，设P点横坐标为参数m，用m分别表示P、H两点的纵坐标，作差得到PH关于m的二次函数，利用二次函数的最值性质求出PH最大值，再换算为距离最大值即可。
【解析】
(1)
∵ 点$C(0,5)$在抛物线$y=-x^2-4x+c$上，
∴ 代入得$c=5$，抛物线解析式为$y=-x^2-4x+5$。
令$y=0$，得$-x^2-4x+5=0$，
解得$x_1=-5$，$x_2=1$，
∵ 点A在点B左侧，
∴ 点A的坐标为$(-5,0)$。
(2) 过点P作$PE⊥AC$于点E，过点P作$PF⊥x$轴于点F，交AC于点H，如图。
由$A(-5,0)$、$C(0,5)$可得$OA=OC=5$，
∴ △AOC是等腰直角三角形，$∠CAO=45°$，
∵ $PF⊥x$轴，
∴ $∠AHF=45°=∠PHE$，
∴ △PHE是等腰直角三角形，即$PE=\frac{\sqrt{2}}{2}PH$，因此当PH最大时，PE最大。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-5,0)$、$C(0,5)$代入得：
$\begin{cases}0=-5k+b\\b=5\end{cases}$，解得$k=1$，即直线AC解析式为$y=x+5$。
设第二象限内抛物线上点P的坐标为$(m,-m^2-4m+5)$（$-5＜m＜0$），则点H的坐标为$(m,m+5)$，
∴ $PH=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-m^2-5m=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$，
∵ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$m=-\frac{5}{2}$时，PH取得最大值为$\frac{25}{4}$，
此时$PE=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{25}{4}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$，即点P到直线AC距离的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-5,0)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{25\sqrt{2}}{8}}$
【知识点】
1. 二次函数交点求解
2. 一次函数解析式确定
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数几何最值的典型题型，核心是通过几何性质将斜向距离转化为便于用坐标表示的竖直线段长度，再利用二次函数性质求解最值，掌握坐标参数法和转化思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）求点A坐标需先确定抛物线解析式：已知点C在抛物线上，将C点坐标代入可求出参数c，得到完整抛物线解析式后，令y=0解一元二次方程，结合点A在点B左侧的位置特征，即可得到A点坐标。
（2）求点P到直线AC的最大距离时，先利用A、C坐标判断△AOC为等腰直角三角形，可将点P到AC的斜向距离转化为竖直方向线段PH的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，把距离最值问题转化为线段PH的最值问题。先求出直线AC的解析式，设P点横坐标为参数m，用m分别表示P、H两点的纵坐标，作差得到PH关于m的二次函数，利用二次函数的最值性质求出PH最大值，再换算为距离最大值即可。
【解析】
(1)
∵ 点$C(0,5)$在抛物线$y=-x^2-4x+c$上，
∴ 代入得$c=5$，抛物线解析式为$y=-x^2-4x+5$。
令$y=0$，得$-x^2-4x+5=0$，
解得$x_1=-5$，$x_2=1$，
∵ 点A在点B左侧，
∴ 点A的坐标为$(-5,0)$。
(2) 过点P作$PE⊥AC$于点E，过点P作$PF⊥x$轴于点F，交AC于点H，如图。
由$A(-5,0)$、$C(0,5)$可得$OA=OC=5$，
∴ △AOC是等腰直角三角形，$∠CAO=45°$，
∵ $PF⊥x$轴，
∴ $∠AHF=45°=∠PHE$，
∴ △PHE是等腰直角三角形，即$PE=\frac{\sqrt{2}}{2}PH$，因此当PH最大时，PE最大。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-5,0)$、$C(0,5)$代入得：
$\begin{cases}0=-5k+b\\b=5\end{cases}$，解得$k=1$，即直线AC解析式为$y=x+5$。
设第二象限内抛物线上点P的坐标为$(m,-m^2-4m+5)$（$-5＜m＜0$），则点H的坐标为$(m,m+5)$，
∴ $PH=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-m^2-5m=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$，
∵ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$m=-\frac{5}{2}$时，PH取得最大值为$\frac{25}{4}$，
此时$PE=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{25}{4}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$，即点P到直线AC距离的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-5,0)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{25\sqrt{2}}{8}}$
【知识点】
1. 二次函数交点求解
2. 一次函数解析式确定
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数几何最值的典型题型，核心是通过几何性质将斜向距离转化为便于用坐标表示的竖直线段长度，再利用二次函数性质求解最值，掌握坐标参数法和转化思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
