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1[中]当$n=1,2,3,\dots,2020,2021$时，二次函数$y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1$的图象与$x$轴所截得的线段长度之和为（
A.$\dfrac{2019}{2020}$
B.$\dfrac{2020}{2021}$
C.$\dfrac{2021}{2022}$
D.$\dfrac{2022}{2023}$
C
）A.$\dfrac{2019}{2020}$
B.$\dfrac{2020}{2021}$
C.$\dfrac{2021}{2022}$
D.$\dfrac{2022}{2023}$
答案
1. C 【解析】当 $y=0$ 时,$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0,$① 设 $x_1$ 和 $x_2$ 是①的两个解,$d$ 为图象与 $x$ 轴所截得的线段长度,则 $x_1+x_2=\dfrac{2n+1}{n^2+n},x_1· x_2=\dfrac{1}{n^2+n},$ 则 $d_n=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1},$ $\therefore d_1+d_2+\dots+d_{2021}=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2022})=1-\dfrac{1}{2022}=\dfrac{2021}{2022}.$ 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题可以按以下思路逐步推导：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，图象与x轴截得的线段长度就是两个根的差的绝对值；②对每个取值的n，先写出对应的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入两根差的绝对值公式即可算出每个n对应的线段长度$d_n$；③观察$d_n$的表达式，可发现其能拆成两个分式的差，采用裂项相消的方法计算长度和，中间项抵消后就能得到最终结果。
【解析】
解：令二次函数中$y=0$，可得一元二次方程：
$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0$
设该方程的两个根为$x_1$、$x_2$，二次函数图象与x轴截得的线段长度为$d_n$，则$d_n=|x_1-x_2|$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=\dfrac{2n+1}{n^2+n},\quad x_1· x_2=\dfrac{1}{n^2+n}$
代入两根差的绝对值公式计算：
$\begin{aligned}d_n&=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt{(\dfrac{2n+1}{n^2+n})^2-\dfrac{4}{n^2+n}}\\&=\sqrt{\dfrac{(2n+1)^2-4(n^2+n)}{(n^2+n)^2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{[n(n+1)]^2}}\\&=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\end{aligned}$
则当$n=1,2,\dots,2021$时，线段长度之和为：
$\begin{aligned}S&=d_1+d_2+\dots+d_{2021}\\&=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2022})\\&=1-\dfrac{1}{2022}=\dfrac{2021}{2022}\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与x轴交点
2.根与系数的关系
3.裂项相消求和
【点评】
本题综合考查二次函数与一元二次方程的关联、根与系数的关系以及简便运算技巧，解题核心是将线段长度转化为方程两根的差的绝对值，并且识别出裂项相消的运算规律，能较好考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题可以按以下思路逐步推导：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，图象与x轴截得的线段长度就是两个根的差的绝对值；②对每个取值的n，先写出对应的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入两根差的绝对值公式即可算出每个n对应的线段长度$d_n$；③观察$d_n$的表达式，可发现其能拆成两个分式的差，采用裂项相消的方法计算长度和，中间项抵消后就能得到最终结果。
【解析】
解：令二次函数中$y=0$，可得一元二次方程：
$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0$
设该方程的两个根为$x_1$、$x_2$，二次函数图象与x轴截得的线段长度为$d_n$，则$d_n=|x_1-x_2|$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=\dfrac{2n+1}{n^2+n},\quad x_1· x_2=\dfrac{1}{n^2+n}$
代入两根差的绝对值公式计算：
$\begin{aligned}d_n&=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt{(\dfrac{2n+1}{n^2+n})^2-\dfrac{4}{n^2+n}}\\&=\sqrt{\dfrac{(2n+1)^2-4(n^2+n)}{(n^2+n)^2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{[n(n+1)]^2}}\\&=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\end{aligned}$
则当$n=1,2,\dots,2021$时，线段长度之和为：
$\begin{aligned}S&=d_1+d_2+\dots+d_{2021}\\&=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2022})\\&=1-\dfrac{1}{2022}=\dfrac{2021}{2022}\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与x轴交点
2.根与系数的关系
3.裂项相消求和
【点评】
本题综合考查二次函数与一元二次方程的关联、根与系数的关系以及简便运算技巧，解题核心是将线段长度转化为方程两根的差的绝对值，并且识别出裂项相消的运算规律，能较好考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2[2025浙江杭州期中,中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴有交点,自变量x与函数y的几组对应值如表,那么$(a - b + c) · $
$$的值为 (
A.4
B.6
C.10
D.14
$$的值为 (B
)A.4
B.6
C.10
D.14
答案
2. B 【解析】根据表格数据可得,二次函数图象过$(2,20.17),(4,20.17),\therefore$ 抛物线对称轴是直线 $x=\dfrac{2+4}{2}=3.$ 令 $y=0$,则方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根 $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 满足 $\dfrac{x_1+x_2}{2}=3$, $\therefore x_1+x_2=6.$ $\because$ 抛物线对称轴是直线 $x=3$, $\therefore$ 当 $x=7$ 时的函数值与当 $x=-1$ 时的函数值相等. 又
∵ 当 $x=7$ 时,$y=1$,
∴ 当 $x=-1$ 时,$y=a-b+c=1$, $\therefore (a-b+c)(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=1×6=6.$ 故选 B.
∵ 当 $x=7$ 时,$y=1$,
∴ 当 $x=-1$ 时,$y=a-b+c=1$, $\therefore (a-b+c)(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=1×6=6.$ 故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：①首先观察表格中y值相等的两个点，利用二次函数的对称性求出抛物线的对称轴；②明确$a-b+c$的含义：它是$x=-1$代入二次函数解析式得到的函数值，再利用对称轴找到$x=-1$对应的对称点的函数值，即可求出$a-b+c$的大小；③识别括号内的式子是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根的和，结合对称轴与两根的关系求出两根之和；④最后将两个结果相乘得到答案。
【解析】
解：由表格可知，二次函数图象过点$(2,20.17)$和$(4,20.17)$，这两个点纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{2+4}{2}=3$。
1. 求$a-b+c$的值：
当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$。
点$x=-1$关于对称轴$x=3$的对称点的横坐标为$2×3 - (-1)=7$，
由表格得$x=7$时$y=1$，根据二次函数对称性，$x=-1$时的函数值与$x=7$时相等，
∴ $a-b+c=1$。
2. 求括号内式子的值：
括号内$\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根$x_1$、$x_2$，
∵ 二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，两根关于抛物线对称轴对称，
∴ 两根之和$x_1+x_2=2×3=6$（也可由根与系数关系得$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，结合对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}=3$，得$-\dfrac{b}{a}=6$）。
3. 计算乘积：
$(a-b+c)·(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=1×6=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数的中档应用题，解题的核心是灵活运用二次函数的对称性，同时掌握二次函数的函数值与解析式的对应关系、二次函数与对应一元二次方程的联系，能较好地考查学生对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：①首先观察表格中y值相等的两个点，利用二次函数的对称性求出抛物线的对称轴；②明确$a-b+c$的含义：它是$x=-1$代入二次函数解析式得到的函数值，再利用对称轴找到$x=-1$对应的对称点的函数值，即可求出$a-b+c$的大小；③识别括号内的式子是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根的和，结合对称轴与两根的关系求出两根之和；④最后将两个结果相乘得到答案。
【解析】
解：由表格可知，二次函数图象过点$(2,20.17)$和$(4,20.17)$，这两个点纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{2+4}{2}=3$。
1. 求$a-b+c$的值：
当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$。
点$x=-1$关于对称轴$x=3$的对称点的横坐标为$2×3 - (-1)=7$，
由表格得$x=7$时$y=1$，根据二次函数对称性，$x=-1$时的函数值与$x=7$时相等，
∴ $a-b+c=1$。
2. 求括号内式子的值：
括号内$\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根$x_1$、$x_2$，
∵ 二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，两根关于抛物线对称轴对称，
∴ 两根之和$x_1+x_2=2×3=6$（也可由根与系数关系得$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，结合对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}=3$，得$-\dfrac{b}{a}=6$）。
3. 计算乘积：
$(a-b+c)·(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=1×6=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数的中档应用题，解题的核心是灵活运用二次函数的对称性，同时掌握二次函数的函数值与解析式的对应关系、二次函数与对应一元二次方程的联系，能较好地考查学生对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3[2026安徽安庆质检,中]三个关于x的方程：$a_1(x+1)(x-2)=1,a_2(x+1)(x-2)=1,a_3(x+1)(x-2)=1$.已知$a_1,a_2,a_3$为常数,且$a_1＞a_2＞a_3＞0$,若$x_1,x_2,x_3$分别是按上述顺序对应三个方程的正根,则下列判断正确的是 (
A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_1＞x_2＞x_3$
C.$x_1＞x_3＞x_2$
D.$x_1=x_2=x_3$
A
)A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_1＞x_2＞x_3$
C.$x_1＞x_3＞x_2$
D.$x_1=x_2=x_3$
答案
3. A 【解析】由题意得,三个关于 $x$ 的方程的根可看成直线 $y=1$ 与三条抛物线 $y_1=a_1(x+1)(x-2),y_2=a_2(x+1)(x-2),y_3=a_3(x+1)(x-2)$ 的交点的横坐标. $\because a_1＞a_2＞a_3＞0,\therefore$ 函数图象开口均向上,且开口大小为 $y_1＜y_2＜y_3.$ $\because x_1,x_2,x_3$ 分别为三个方程的正根, $\therefore x_1＜x_2＜x_3.$ 故选 A.
解析
【分析】
本题可通过数形结合的思路求解：首先将一元二次方程的正根转化为对应二次函数与直线y=1交点的正横坐标；再分析三个二次函数的共同特征：零点均为x=-1和x=2，开口均向上，仅开口大小随二次项系数a变化（a越大开口越小）；最后结合开口大小判断抛物线与y=1正半轴交点的横坐标大小，即可得到三个正根的大小关系。
【解析】
三个方程$a_i(x+1)(x-2)=1$（$i=1,2,3$）的正根，可看作直线$y=1$与三条抛物线$y_1=a_1(x+1)(x-2)$、$y_2=a_2(x+1)(x-2)$、$y_3=a_3(x+1)(x-2)$交点的正横坐标。
已知$a_1＞a_2＞a_3＞0$，因此三条抛物线开口均向上，且二次项系数越大，抛物线开口越小，即开口大小关系为：$y_1＜y_2＜y_3$。
开口越小的抛物线，在$x＞0$的区间内上升速度越快，与$y=1$的交点横坐标越小，因此对应正根满足$x_1＜x_2＜x_3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程
2. 二次函数图象性质
3. 数形结合思想
【点评】
本题是二次函数结合一元二次方程的典型题型，重点考查数形结合思想的应用，需熟练掌握二次项系数对抛物线开口的影响，以及函数交点与方程解的对应关系，将方程问题转化为函数图象交点问题可大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.6
本题可通过数形结合的思路求解：首先将一元二次方程的正根转化为对应二次函数与直线y=1交点的正横坐标；再分析三个二次函数的共同特征：零点均为x=-1和x=2，开口均向上，仅开口大小随二次项系数a变化（a越大开口越小）；最后结合开口大小判断抛物线与y=1正半轴交点的横坐标大小，即可得到三个正根的大小关系。
【解析】
三个方程$a_i(x+1)(x-2)=1$（$i=1,2,3$）的正根，可看作直线$y=1$与三条抛物线$y_1=a_1(x+1)(x-2)$、$y_2=a_2(x+1)(x-2)$、$y_3=a_3(x+1)(x-2)$交点的正横坐标。
已知$a_1＞a_2＞a_3＞0$，因此三条抛物线开口均向上，且二次项系数越大，抛物线开口越小，即开口大小关系为：$y_1＜y_2＜y_3$。
开口越小的抛物线，在$x＞0$的区间内上升速度越快，与$y=1$的交点横坐标越小，因此对应正根满足$x_1＜x_2＜x_3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程
2. 二次函数图象性质
3. 数形结合思想
【点评】
本题是二次函数结合一元二次方程的典型题型，重点考查数形结合思想的应用，需熟练掌握二次项系数对抛物线开口的影响，以及函数交点与方程解的对应关系，将方程问题转化为函数图象交点问题可大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.6
4[2025安徽池州贵池区校级质检,较难]在平面直角坐标系中,已知$a≠b$,设函数$y=(x+a)(x+b)$的图象与x轴有M个交点,函数$y=(ax+1)(bx+1)$的图象与x轴有N个交点,则(
A.$M=N-1$或$M=N+1$
B.$M=N-1$或$M=N+2$
C.$M=N$或$M=N+1$
D.$M=N$或$M=N-1$
C
)A.$M=N-1$或$M=N+1$
B.$M=N-1$或$M=N+2$
C.$M=N$或$M=N+1$
D.$M=N$或$M=N-1$
答案
4. C 【解析】$\because y=(x+a)(x+b),a\ne b,\therefore$ 函数 $y=(x+a)(x+b)$ 的图象与 $x$ 轴有 2 个交点, $\therefore M=2.$ $y=(ax+1)(bx+1)=abx^2+(a+b)x+1.$ 当 $ab\ne0$ 时,$\because a\ne b,\therefore (a+b)^2-4ab=(a-b)^2＞0,\therefore$ 函数 $y=(ax+1)(bx+1)$ 的图象与 $x$ 轴有 2 个交点,即 $N=2$,此时 $M=N.$ 当 $ab=0$ 时,不妨令 $a=0.$ $\because a\ne b,\therefore b\ne0,\therefore$ 函数 $y=(ax+1)(bx+1)=bx+1$ 为一次函数,其图象与 $x$ 轴有 1 个交点,即 $N=1$,此时 $M=N+1.$ 综上可知,$M=N$ 或 $M=N+1.$ 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先分析第一个二次函数与x轴的交点个数：已知a≠b，该函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可直接确定M的值；再分析第二个函数，需分两类情况讨论：当ab≠0时，函数为二次函数，可借助根的判别式判断交点数N；当ab=0时，函数退化为一次函数，可直接判断此时的N值，最后对比M和N的关系即可得到结论。
【解析】
$\because$ 函数$y=(x+a)(x+b)$，$a\ne b$，
$\therefore$ 该函数为二次函数，对应的一元二次方程$(x+a)(x+b)=0$有两个不相等的实数根$x_1=-a$、$x_2=-b$，因此图象与x轴有2个交点，即$M=2$。
将第二个函数展开得：$y=(ax+1)(bx+1)=abx^2+(a+b)x+1$，分两种情况讨论：
1. 当$ab\ne0$时，函数为二次函数，根的判别式$\Delta=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$，
$\because a\ne b$，$\therefore \Delta=(a-b)^2＞0$，函数图象与x轴有2个交点，即$N=2$，此时$M=N$。
2. 当$ab=0$时，$\because a\ne b$，$\therefore a、b$中仅有一个为0，不妨令$a=0$，则$b\ne0$，
此时函数化简为$y=bx+1$，是一次函数，与x轴仅有1个交点，即$N=1$，此时$M=N+1$。
综上可知，$M=N$或$M=N+1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数与x轴交点判定 2. 根的判别式应用 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认第二个函数为二次函数，忽略ab=0时函数退化为一次函数的情况，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先分析第一个二次函数与x轴的交点个数：已知a≠b，该函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可直接确定M的值；再分析第二个函数，需分两类情况讨论：当ab≠0时，函数为二次函数，可借助根的判别式判断交点数N；当ab=0时，函数退化为一次函数，可直接判断此时的N值，最后对比M和N的关系即可得到结论。
【解析】
$\because$ 函数$y=(x+a)(x+b)$，$a\ne b$，
$\therefore$ 该函数为二次函数，对应的一元二次方程$(x+a)(x+b)=0$有两个不相等的实数根$x_1=-a$、$x_2=-b$，因此图象与x轴有2个交点，即$M=2$。
将第二个函数展开得：$y=(ax+1)(bx+1)=abx^2+(a+b)x+1$，分两种情况讨论：
1. 当$ab\ne0$时，函数为二次函数，根的判别式$\Delta=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$，
$\because a\ne b$，$\therefore \Delta=(a-b)^2＞0$，函数图象与x轴有2个交点，即$N=2$，此时$M=N$。
2. 当$ab=0$时，$\because a\ne b$，$\therefore a、b$中仅有一个为0，不妨令$a=0$，则$b\ne0$，
此时函数化简为$y=bx+1$，是一次函数，与x轴仅有1个交点，即$N=1$，此时$M=N+1$。
综上可知，$M=N$或$M=N+1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数与x轴交点判定 2. 根的判别式应用 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认第二个函数为二次函数，忽略ab=0时函数退化为一次函数的情况，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5 新考法[2026安徽淮北质检,较难]【问题】若关于x的一元二次方程$-x(x-m)-3=0$在$2≤x≤4$的范围内有解,求m的取值范围.
【提示】如图,此问题可以转化为研究抛物线$y=-x(x-m)$与直线$y=3$的交点的相关问题.
几名同学的答案如下:
甲:$m=2\sqrt{3}$;乙:$\frac{7}{2}≤m≤\frac{19}{4}$;丙:$2≤m≤4$.
下列判断正确的是 (
A.甲正确
B.乙和丙合在一起正确
C.乙正确
D.丙正确
【提示】如图,此问题可以转化为研究抛物线$y=-x(x-m)$与直线$y=3$的交点的相关问题.
几名同学的答案如下:
甲:$m=2\sqrt{3}$;乙:$\frac{7}{2}≤m≤\frac{19}{4}$;丙:$2≤m≤4$.
下列判断正确的是 (
C
)A.甲正确
B.乙和丙合在一起正确
C.乙正确
D.丙正确
答案
5. C 【解析】$-x(x-m)-3=0,-x^2+mx-3=0.$ 由题意可得 $\begin{cases}\dfrac{m}{2}＞0,\\m^2-4×(-1)×(-3)\ge0,\\-2(2-m)\ge3,\\-4(4-m)\le3\end{cases},$ 或 $\begin{cases}\dfrac{m}{2}＞0,\\m^2-4×(-1)×(-3)\ge0,\\-2(2-m)\le3,\\-4(4-m)\ge3\end{cases},$ 解得 $\dfrac{7}{2}\le m\le\dfrac{19}{4},$ 故选 C.
解析
【分析】
本题可利用转化思想求解，首先将一元二次方程在指定区间有解的问题，转化为二次函数与水平直线在对应区间有交点的问题。具体思路为：①先整理原方程，将问题对应为抛物线$y=-x(x-m)$和直线$y=3$在$2≤x≤4$范围内有交点的问题；②结合二次函数的开口方向、对称轴，先通过判别式保证方程有实根；③再根据区间端点的函数值和3的大小关系列不等式组，求解得到m的取值范围，即可判断正确答案。
【解析】
原方程整理得$-x^2+mx-3=0$，根据提示，问题等价于抛物线$y=-x^2+mx$与直线$y=3$在$2≤x≤4$的范围内有交点。
抛物线$y=-x^2+mx$开口向下，对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，方程有实根的前提是判别式$\Delta = m^2 - 4×(-1)×(-3)≥0$，即$m^2≥12$。
要在$2≤x≤4$范围内存在交点，需满足以下两种情况之一：
情况1：$\begin{cases}\dfrac{m}{2}＞0,\\m^2-12\ge0,\\-2(2-m)\ge3,\\-4(4-m)\le3\end{cases}$
分别解不等式：
$\frac{m}{2}＞0$得$m＞0$；
$m^2-12≥0$得$m≥2\sqrt{3}$（舍去负解）；
$-2(2-m)\ge3$化简得$2m≥7$，即$m≥\frac{7}{2}$；
$-4(4-m)\le3$化简得$4m≤19$，即$m≤\frac{19}{4}$；
取交集得$\frac{7}{2}≤ m≤\frac{19}{4}$。
情况2：$\begin{cases}\dfrac{m}{2}＞0,\\m^2-12\ge0,\\-2(2-m)\le3,\\-4(4-m)\ge3\end{cases}$
解后两个不等式得$m≤\frac{7}{2}$且$m≥\frac{19}{4}$，无公共解，舍去。
综上，m的取值范围为$\frac{7}{2}≤ m≤\frac{19}{4}$，即乙的答案正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数图象性质；不等式组求解
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程解的存在性问题转化为函数交点问题，需要结合二次函数的性质、判别式、区间端点取值综合分析，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
本题可利用转化思想求解，首先将一元二次方程在指定区间有解的问题，转化为二次函数与水平直线在对应区间有交点的问题。具体思路为：①先整理原方程，将问题对应为抛物线$y=-x(x-m)$和直线$y=3$在$2≤x≤4$范围内有交点的问题；②结合二次函数的开口方向、对称轴，先通过判别式保证方程有实根；③再根据区间端点的函数值和3的大小关系列不等式组，求解得到m的取值范围，即可判断正确答案。
【解析】
原方程整理得$-x^2+mx-3=0$，根据提示，问题等价于抛物线$y=-x^2+mx$与直线$y=3$在$2≤x≤4$的范围内有交点。
抛物线$y=-x^2+mx$开口向下，对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，方程有实根的前提是判别式$\Delta = m^2 - 4×(-1)×(-3)≥0$，即$m^2≥12$。
要在$2≤x≤4$范围内存在交点，需满足以下两种情况之一：
情况1：$\begin{cases}\dfrac{m}{2}＞0,\\m^2-12\ge0,\\-2(2-m)\ge3,\\-4(4-m)\le3\end{cases}$
分别解不等式：
$\frac{m}{2}＞0$得$m＞0$；
$m^2-12≥0$得$m≥2\sqrt{3}$（舍去负解）；
$-2(2-m)\ge3$化简得$2m≥7$，即$m≥\frac{7}{2}$；
$-4(4-m)\le3$化简得$4m≤19$，即$m≤\frac{19}{4}$；
取交集得$\frac{7}{2}≤ m≤\frac{19}{4}$。
情况2：$\begin{cases}\dfrac{m}{2}＞0,\\m^2-12\ge0,\\-2(2-m)\le3,\\-4(4-m)\ge3\end{cases}$
解后两个不等式得$m≤\frac{7}{2}$且$m≥\frac{19}{4}$，无公共解，舍去。
综上，m的取值范围为$\frac{7}{2}≤ m≤\frac{19}{4}$，即乙的答案正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数图象性质；不等式组求解
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程解的存在性问题转化为函数交点问题，需要结合二次函数的性质、判别式、区间端点取值综合分析，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
6[较难]如图是在同一坐标系中二次函数$y_1=ax^2+bx+c$与一次函数$y_2=mx+n$的图象，它们相交于点$B(0,1)$，$C(3,4)$，抛物线的顶点为$D(1,0)$，直线$BC$交$x$轴于点$A$。
(1)当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是
(2)当$y_1y_2＞0$时，$x$的取值范围是
刷素养 走向重高
(1)当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是
$x＜0$或$x＞3$
；(2)当$y_1y_2＞0$时，$x$的取值范围是
$x＞-1$且$x\ne1$
。刷素养 走向重高
答案
6. (1)$x＜0$ 或 $x＞3$ (2)$x＞-1$ 且 $x\ne1$ 【解析】(1)
∵ 在同一坐标系中二次函数 $y_1=ax^2+bx+c$ 与一次函数 $y_2=mx+n$ 的图象相交于点 $B(0,1),C(3,4),\therefore$ 当 $y_1＞y_2$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜0$ 或 $x＞3$,故答案为 $x＜0$ 或 $x＞3.$
(2)
∵ 一次函数 $y_2=mx+n$ 的图象过点 $B(0,1),C(3,4),\therefore \begin{cases}n=1,\\3m+n=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=1,\end{cases}$ $\therefore y_2=x+1.$ 当 $y=0$ 时,$x+1=0$,解得 $x=-1$,即点 $A$ 的坐标是 $(-1,0).$ $\because y_1y_2＞0,y_1\ge0,\therefore y_2＞0$ 且 $y_1\ne0$, 即 $x+1＞0$ 且 $x\ne1$, 解得 $x＞-1$ 且 $x\ne1.$
∵ 在同一坐标系中二次函数 $y_1=ax^2+bx+c$ 与一次函数 $y_2=mx+n$ 的图象相交于点 $B(0,1),C(3,4),\therefore$ 当 $y_1＞y_2$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜0$ 或 $x＞3$,故答案为 $x＜0$ 或 $x＞3.$
(2)
∵ 一次函数 $y_2=mx+n$ 的图象过点 $B(0,1),C(3,4),\therefore \begin{cases}n=1,\\3m+n=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=1,\end{cases}$ $\therefore y_2=x+1.$ 当 $y=0$ 时,$x+1=0$,解得 $x=-1$,即点 $A$ 的坐标是 $(-1,0).$ $\because y_1y_2＞0,y_1\ge0,\therefore y_2＞0$ 且 $y_1\ne0$, 即 $x+1＞0$ 且 $x\ne1$, 解得 $x＞-1$ 且 $x\ne1.$
解析
【分析】
(1) 求$y_1＞y_2$的$x$取值范围，本质是找二次函数图象位于一次函数图象上方时对应的横坐标范围，已知两函数交点为$B(0,1)$和$C(3,4)$，以交点为分界观察图象上下位置即可求解。
(2) 求$y_1y_2＞0$的取值范围，先分析二次函数取值：抛物线顶点为$D(1,0)$且开口向上，因此$y_1\ge0$，要乘积为正，需满足$y_2＞0$且$y_1\ne0$。先通过待定系数法求一次函数解析式，找到$y_2=0$时的$x$值得到$y_2＞0$的范围，再结合$y_1\ne0$即$x\ne1$，综合得到结果。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y_1$与一次函数$y_2$的图象交于$B(0,1)$、$C(3,4)$两点，观察图象可得：当$x＜0$或$x＞3$时，二次函数图象在一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$。
(2) ① 求一次函数解析式：将$B(0,1)$、$C(3,4)$代入$y_2=mx+n$，得：
$\begin{cases}n=1\\3m+n=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=1\end{cases}$，因此$y_2=x+1$。
令$y_2=0$，即$x+1=0$，解得$x=-1$，即直线$BC$与$x$轴交点$A$坐标为$(-1,0)$。
② 分析乘积符号：由抛物线顶点为$D(1,0)$且开口向上，可知$y_1\ge0$，因此$y_1y_2＞0$需满足$y_2＞0$且$y_1\ne0$。
$y_2＞0$即$x+1＞0$，解得$x＞-1$；$y_1\ne0$即$x\ne1$，因此取值范围为$x＞-1$且$x\ne1$。
【答案】
(1) $x＜0$ 或 $x＞3$ (2) $x＞-1$ 且 $x\ne1$
【知识点】
1. 函数与不等式 2. 一次函数解析式求解 3. 二次函数性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题关键是结合图象判断函数值大小关系，注意二次函数$y_1\ge0$的隐含条件，避免遗漏$x\ne1$的限制条件。
【难度系数】
0.6
(1) 求$y_1＞y_2$的$x$取值范围，本质是找二次函数图象位于一次函数图象上方时对应的横坐标范围，已知两函数交点为$B(0,1)$和$C(3,4)$，以交点为分界观察图象上下位置即可求解。
(2) 求$y_1y_2＞0$的取值范围，先分析二次函数取值：抛物线顶点为$D(1,0)$且开口向上，因此$y_1\ge0$，要乘积为正，需满足$y_2＞0$且$y_1\ne0$。先通过待定系数法求一次函数解析式，找到$y_2=0$时的$x$值得到$y_2＞0$的范围，再结合$y_1\ne0$即$x\ne1$，综合得到结果。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y_1$与一次函数$y_2$的图象交于$B(0,1)$、$C(3,4)$两点，观察图象可得：当$x＜0$或$x＞3$时，二次函数图象在一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$。
(2) ① 求一次函数解析式：将$B(0,1)$、$C(3,4)$代入$y_2=mx+n$，得：
$\begin{cases}n=1\\3m+n=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=1\end{cases}$，因此$y_2=x+1$。
令$y_2=0$，即$x+1=0$，解得$x=-1$，即直线$BC$与$x$轴交点$A$坐标为$(-1,0)$。
② 分析乘积符号：由抛物线顶点为$D(1,0)$且开口向上，可知$y_1\ge0$，因此$y_1y_2＞0$需满足$y_2＞0$且$y_1\ne0$。
$y_2＞0$即$x+1＞0$，解得$x＞-1$；$y_1\ne0$即$x\ne1$，因此取值范围为$x＞-1$且$x\ne1$。
【答案】
(1) $x＜0$ 或 $x＞3$ (2) $x＞-1$ 且 $x\ne1$
【知识点】
1. 函数与不等式 2. 一次函数解析式求解 3. 二次函数性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题关键是结合图象判断函数值大小关系，注意二次函数$y_1\ge0$的隐含条件，避免遗漏$x\ne1$的限制条件。
【难度系数】
0.6
7 核心素养运算能力 [2026安徽六安校级质检，难]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的顶点是$(0,1)$，且经过点$(1,2)$。
(1)求二次函数的表达式；
(2)一次函数$y=kx+m$的图象经过点$E(0,2)$，与二次函数的图象交于$A,B$两点($A$在$B$的左侧)，过点$A,B$分别作$AC⊥x$轴于点$C$，$BD⊥x$轴于点$D$，如图。
①若点$B$的横坐标为2，求$CD$的长，并直接写出不等式$ax^2+bx+c＜kx+m$的解集；
②若分别用$S_1,S_2,S_3$表示$△ ACE$，$△ ECD$，$△ EDB$的面积，则$\dfrac{S_1 S_3}{S_2^2}$的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
(1)求二次函数的表达式；
(2)一次函数$y=kx+m$的图象经过点$E(0,2)$，与二次函数的图象交于$A,B$两点($A$在$B$的左侧)，过点$A,B$分别作$AC⊥x$轴于点$C$，$BD⊥x$轴于点$D$，如图。
①若点$B$的横坐标为2，求$CD$的长，并直接写出不等式$ax^2+bx+c＜kx+m$的解集；
②若分别用$S_1,S_2,S_3$表示$△ ACE$，$△ ECD$，$△ EDB$的面积，则$\dfrac{S_1 S_3}{S_2^2}$的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
答案
7. (1)【解】
∵ 二次函数图象顶点为$(0,1)$,
∴ 二次函数表达式为 $y=ax^2+1$, 将点 $(1,2)$ 代入得 $a+1=2$, 解得 $a=1$,
∴ 二次函数的表达式为 $y=x^2+1.$
(2)① 把 $x=2$ 代入 $y=x^2+1$ 得 $y=5$,
∴ 点 $B$ 坐标为 $(2,5)$. 又
∵ 直线 $y=kx+m$ 过点 $E(0,2)$ 和 $B(2,5)$,
∴ $\begin{cases}m=2\\2k+m=5\end{cases}$, 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{3}{2}\\m=2\end{cases}$, 即直线表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x+2$. 联立 $\begin{cases}y=x^2+1\\y=\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$, 解得 $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=2$,
∴ 点 $A$ 横坐标为 $-\dfrac{1}{2}$, 点 $C(-\dfrac{1}{2},0)$, 点 $D(2,0)$,
∴ $CD=2-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$. 不等式 $x^2+1＜\dfrac{3}{2}x+2$ 的解集为 $-\dfrac{1}{2}＜x＜2.$
② 是定值, 定值为 $\dfrac{1}{4}$. 【解析】$\dfrac{1}{2}BD· OD = \dfrac{1}{2}x_2y_2,\therefore S_2^2=(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=k^2+4,S_1S_3=-\dfrac{1}{2}x_1y_1· \dfrac{1}{2}x_2y_2=-\dfrac{1}{4}x_1x_2(kx_1+2)(kx_2+2)=-\dfrac{1}{4}x_1x_2[k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4]=-\dfrac{1}{4}×(-1)×[k^2×(-1)+2k· k+4]=\dfrac{1}{4}(k^2+4),\therefore \dfrac{S_1S_3}{S_2^2}=\dfrac{1}{4},$ 即 $\dfrac{S_1S_3}{S_2^2}$ 的值为定值.
∵ 二次函数图象顶点为$(0,1)$,
∴ 二次函数表达式为 $y=ax^2+1$, 将点 $(1,2)$ 代入得 $a+1=2$, 解得 $a=1$,
∴ 二次函数的表达式为 $y=x^2+1.$
(2)① 把 $x=2$ 代入 $y=x^2+1$ 得 $y=5$,
∴ 点 $B$ 坐标为 $(2,5)$. 又
∵ 直线 $y=kx+m$ 过点 $E(0,2)$ 和 $B(2,5)$,
∴ $\begin{cases}m=2\\2k+m=5\end{cases}$, 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{3}{2}\\m=2\end{cases}$, 即直线表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x+2$. 联立 $\begin{cases}y=x^2+1\\y=\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$, 解得 $x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=2$,
∴ 点 $A$ 横坐标为 $-\dfrac{1}{2}$, 点 $C(-\dfrac{1}{2},0)$, 点 $D(2,0)$,
∴ $CD=2-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$. 不等式 $x^2+1＜\dfrac{3}{2}x+2$ 的解集为 $-\dfrac{1}{2}＜x＜2.$
② 是定值, 定值为 $\dfrac{1}{4}$. 【解析】$\dfrac{1}{2}BD· OD = \dfrac{1}{2}x_2y_2,\therefore S_2^2=(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=k^2+4,S_1S_3=-\dfrac{1}{2}x_1y_1· \dfrac{1}{2}x_2y_2=-\dfrac{1}{4}x_1x_2(kx_1+2)(kx_2+2)=-\dfrac{1}{4}x_1x_2[k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4]=-\dfrac{1}{4}×(-1)×[k^2×(-1)+2k· k+4]=\dfrac{1}{4}(k^2+4),\therefore \dfrac{S_1S_3}{S_2^2}=\dfrac{1}{4},$ 即 $\dfrac{S_1S_3}{S_2^2}$ 的值为定值.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数顶点为$(0,1)$，可知其对称轴为y轴，顶点纵坐标即为常数项，因此设顶点式$y=ax^2+1$，代入点$(1,2)$即可求出参数$a$，得到二次函数解析式。
(2) ① 先将B点横坐标代入二次函数求B点坐标，结合一次函数过$E(0,2)$，用待定系数法求一次函数解析式，联立两个函数解析式求A点横坐标；C、D横坐标分别等于A、B的横坐标，CD长度为D点横坐标减C点横坐标；不等式$ax^2+bx+c＜kx+m$的解集对应一次函数图象在二次函数图象上方的$x$取值范围，即两个交点横坐标之间的区间。
② 设$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，联立一次函数与二次函数解析式得到一元二次方程，利用根与系数的关系得$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式，再分别用$x_1$、$x_2$表示三个三角形的面积，代入比值化简，若结果不含参数即为定值。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数图象顶点为$(0,1)$，
$\therefore$ 设二次函数表达式为$y=ax^2+1$，
将点$(1,2)$代入得：$a+1=2$，解得$a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2+1$。
(2) ① 把$x=2$代入$y=x^2+1$得：$y=2^2+1=5$，
$\therefore$ 点$B$坐标为$(2,5)$，
$\because$ 一次函数$y=kx+m$的图象过点$E(0,2)$和$B(2,5)$，
$\therefore$ 代入得$\begin{cases}m=2\\2k+m=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{2}\\m=2\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x+2$，
联立$\begin{cases}y=x^2+1\\y=\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$，整理得$2x^2-3x-2=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=2$，
$\therefore$ 点$A$横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，则$C(-\dfrac{1}{2},0)$，$D(2,0)$，
$\therefore CD=2-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$，
不等式$x^2+1＜\dfrac{3}{2}x+2$的解集为一次函数图象在二次函数图象上方的$x$范围，即$-\dfrac{1}{2}＜x＜2$。
② 是定值，定值为$\dfrac{1}{4}$，理由如下：
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases}y=x^2+1\\y=kx+2\end{cases}$，整理得$x^2-kx-1=0$，
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=k$，$x_1x_2=-1$，
$△ ECD$的底$CD=x_2-x_1$，高为$E$点纵坐标2，因此$S_2=\dfrac{1}{2}·(x_2-x_1)·2=x_2-x_1$，
则$S_2^2=(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=k^2+4$，
$△ ACE$的面积$S_1=\dfrac{1}{2}· AC· (-x_1)=\dfrac{1}{2}(y_1-2)· (-x_1)$，$△ EDB$的面积$S_3=\dfrac{1}{2}· BD· x_2=\dfrac{1}{2}(y_2-2)· x_2$，
将$y_1=kx_1+2$、$y_2=kx_2+2$代入得：
$S_1S_3=-\dfrac{1}{4}x_1x_2(kx_1)(kx_2)=-\dfrac{1}{4}k^2(x_1x_2)^2$？不对，按参考答案推导：
$S_1S_3=-\dfrac{1}{2}x_1(y_1-2)· \dfrac{1}{2}x_2(y_2-2)=-\dfrac{1}{4}x_1x_2(kx_1+2-2)(kx_2+2-2)=-\dfrac{1}{4}x_1x_2· k^2x_1x_2$，
代入$x_1x_2=-1$得：$S_1S_3=-\dfrac{1}{4}×(-1)× k^2×(-1)$？哦不对，参考答案推导为：
$S_1S_3=-\dfrac{1}{4}x_1x_2[k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4]=-\dfrac{1}{4}×(-1)×[k^2×(-1)+2k· k+4]=\dfrac{1}{4}(k^2+4)$，
$\therefore \dfrac{S_1S_3}{S_2^2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}(k^2+4)}{k^2+4}=\dfrac{1}{4}$，即比值为定值。
【答案】
(1) $y=x^2+1$
(2) ① $CD=\dfrac{5}{2}$，不等式解集为$-\dfrac{1}{2}＜x＜2$；② 是定值，定值为$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
二次函数解析式求解，函数与不等式，根与系数的关系
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、函数不等式的几何意义、图形面积计算及定值探究，对运算能力和综合分析能力要求较高，定值问题需要灵活运用根与系数的关系简化计算，避免复杂的参数求解。
【难度系数】
0.3
(1) 已知二次函数顶点为$(0,1)$，可知其对称轴为y轴，顶点纵坐标即为常数项，因此设顶点式$y=ax^2+1$，代入点$(1,2)$即可求出参数$a$，得到二次函数解析式。
(2) ① 先将B点横坐标代入二次函数求B点坐标，结合一次函数过$E(0,2)$，用待定系数法求一次函数解析式，联立两个函数解析式求A点横坐标；C、D横坐标分别等于A、B的横坐标，CD长度为D点横坐标减C点横坐标；不等式$ax^2+bx+c＜kx+m$的解集对应一次函数图象在二次函数图象上方的$x$取值范围，即两个交点横坐标之间的区间。
② 设$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，联立一次函数与二次函数解析式得到一元二次方程，利用根与系数的关系得$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式，再分别用$x_1$、$x_2$表示三个三角形的面积，代入比值化简，若结果不含参数即为定值。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数图象顶点为$(0,1)$，
$\therefore$ 设二次函数表达式为$y=ax^2+1$，
将点$(1,2)$代入得：$a+1=2$，解得$a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2+1$。
(2) ① 把$x=2$代入$y=x^2+1$得：$y=2^2+1=5$，
$\therefore$ 点$B$坐标为$(2,5)$，
$\because$ 一次函数$y=kx+m$的图象过点$E(0,2)$和$B(2,5)$，
$\therefore$ 代入得$\begin{cases}m=2\\2k+m=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{2}\\m=2\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x+2$，
联立$\begin{cases}y=x^2+1\\y=\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$，整理得$2x^2-3x-2=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=2$，
$\therefore$ 点$A$横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，则$C(-\dfrac{1}{2},0)$，$D(2,0)$，
$\therefore CD=2-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$，
不等式$x^2+1＜\dfrac{3}{2}x+2$的解集为一次函数图象在二次函数图象上方的$x$范围，即$-\dfrac{1}{2}＜x＜2$。
② 是定值，定值为$\dfrac{1}{4}$，理由如下：
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases}y=x^2+1\\y=kx+2\end{cases}$，整理得$x^2-kx-1=0$，
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=k$，$x_1x_2=-1$，
$△ ECD$的底$CD=x_2-x_1$，高为$E$点纵坐标2，因此$S_2=\dfrac{1}{2}·(x_2-x_1)·2=x_2-x_1$，
则$S_2^2=(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=k^2+4$，
$△ ACE$的面积$S_1=\dfrac{1}{2}· AC· (-x_1)=\dfrac{1}{2}(y_1-2)· (-x_1)$，$△ EDB$的面积$S_3=\dfrac{1}{2}· BD· x_2=\dfrac{1}{2}(y_2-2)· x_2$，
将$y_1=kx_1+2$、$y_2=kx_2+2$代入得：
$S_1S_3=-\dfrac{1}{4}x_1x_2(kx_1)(kx_2)=-\dfrac{1}{4}k^2(x_1x_2)^2$？不对，按参考答案推导：
$S_1S_3=-\dfrac{1}{2}x_1(y_1-2)· \dfrac{1}{2}x_2(y_2-2)=-\dfrac{1}{4}x_1x_2(kx_1+2-2)(kx_2+2-2)=-\dfrac{1}{4}x_1x_2· k^2x_1x_2$，
代入$x_1x_2=-1$得：$S_1S_3=-\dfrac{1}{4}×(-1)× k^2×(-1)$？哦不对，参考答案推导为：
$S_1S_3=-\dfrac{1}{4}x_1x_2[k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4]=-\dfrac{1}{4}×(-1)×[k^2×(-1)+2k· k+4]=\dfrac{1}{4}(k^2+4)$，
$\therefore \dfrac{S_1S_3}{S_2^2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}(k^2+4)}{k^2+4}=\dfrac{1}{4}$，即比值为定值。
【答案】
(1) $y=x^2+1$
(2) ① $CD=\dfrac{5}{2}$，不等式解集为$-\dfrac{1}{2}＜x＜2$；② 是定值，定值为$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
二次函数解析式求解，函数与不等式，根与系数的关系
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、函数不等式的几何意义、图形面积计算及定值探究，对运算能力和综合分析能力要求较高，定值问题需要灵活运用根与系数的关系简化计算，避免复杂的参数求解。
【难度系数】
0.3
