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1[2025安徽淮北校级质检]在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^2+bx+c$如图所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$根的情况为（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
C
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
1. C 【解析】
∵ $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴没有交点,
∴ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实数根. 故选 C.
∵ $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴没有交点,
∴ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实数根. 故选 C.
解析
【分析】
解题时需结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，二者一一对应。因此判断方程根的情况，只需观察抛物线与x轴的交点个数即可：若抛物线与x轴有2个不同交点，方程有两个不相等的实数根；若有1个交点，方程有两个相等的实数根；若无交点，方程没有实数根。观察题图中的抛物线，发现其整体在x轴上方，与x轴没有交点，即可推出对应方程根的情况。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
观察图象可得，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴没有交点，因此关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图象特征
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需计算根的判别式，只需掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，就能快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时需结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，二者一一对应。因此判断方程根的情况，只需观察抛物线与x轴的交点个数即可：若抛物线与x轴有2个不同交点，方程有两个不相等的实数根；若有1个交点，方程有两个相等的实数根；若无交点，方程没有实数根。观察题图中的抛物线，发现其整体在x轴上方，与x轴没有交点，即可推出对应方程根的情况。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
观察图象可得，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴没有交点，因此关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图象特征
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需计算根的判别式，只需掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，就能快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
2 抛物线$y=x^2+x+c$与$x$轴只有一个公共点，则$c$的值为 （
A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
B
）A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$
答案
2. B 【解析】
∵ 抛物线 $y=x^2+x+c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点,
∴ 方程 $x^2+x+c=0$ 有两个相等的实数根,
∴ $\Delta=1^2-4c=0,\therefore c=\dfrac{1}{4}.$ 故选 B.
∵ 抛物线 $y=x^2+x+c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点,
∴ 方程 $x^2+x+c=0$ 有两个相等的实数根,
∴ $\Delta=1^2-4c=0,\therefore c=\dfrac{1}{4}.$ 故选 B.
解析
【分析】
遇到抛物线与x轴交点个数的问题，首先要将其转化为对应的一元二次方程根的个数问题。本题中抛物线与x轴只有1个公共点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0，再代入方程中对应系数的取值列方程求解，即可得到c的值。
【解析】
∵抛物线$y=x^2+x+c$与$x$轴只有一个公共点，
∴一元二次方程$x^2+x+c=0$有两个相等的实数根，
根据根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项为$c$，
可得$\Delta=1^2-4×1× c=0$，
即$1-4c=0$，解得$c=\dfrac{1}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，掌握“抛物线与x轴有1个交点等价于对应一元二次方程Δ=0”是解题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到抛物线与x轴交点个数的问题，首先要将其转化为对应的一元二次方程根的个数问题。本题中抛物线与x轴只有1个公共点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0，再代入方程中对应系数的取值列方程求解，即可得到c的值。
【解析】
∵抛物线$y=x^2+x+c$与$x$轴只有一个公共点，
∴一元二次方程$x^2+x+c=0$有两个相等的实数根，
根据根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项为$c$，
可得$\Delta=1^2-4×1× c=0$，
即$1-4c=0$，解得$c=\dfrac{1}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，掌握“抛物线与x轴有1个交点等价于对应一元二次方程Δ=0”是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3[2025安徽淮北校级质检]若抛物线$y=mx^2 -3x+4$与$x$轴有两个交点，则$m$的取值范围为
$m＜\dfrac{9}{16}$且$m\ne0$
.答案
3. $m＜\dfrac{9}{16}$且$m\ne0$ 【解析】由抛物线 $y=mx^2-3x+4$ 与 $x$ 轴有两个交点得 $9-4m·4＞0,$ 且 $m\ne0$, $\therefore m＜\dfrac{9}{16}$ 且 $m\ne0.$ 故答案为 $m＜\dfrac{9}{16}$ 且 $m\ne0.$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确题中“抛物线”说明该函数是二次函数，因此二次项系数不能为0；其次抛物线与x轴有两个交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。我们只需分别列出这两个条件，求解后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=mx^2 -3x+4$是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即$m\ne 0$。
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ 当$y=0$时，一元二次方程$mx^2 -3x+4=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=m$，$b=-3$，$c=4$，
代入得：$\Delta = (-3)^2 - 4× m×4 = 9-16m＞0$，
解不等式得：$m＜\frac{9}{16}$。
结合二次函数的条件$m\ne0$，可得$m$的取值范围是$m＜\frac{9}{16}$且$m\ne0$。
【答案】
$m＜\dfrac{9}{16}$且$m\ne0$
【知识点】
二次函数的定义，根的判别式的应用，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础易错题，解题时容易忽略“抛物线对应二次函数，二次项系数不为0”的前提，仅通过判别式求解导致漏解，做题时要先确定函数类型，再结合交点条件列式计算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确题中“抛物线”说明该函数是二次函数，因此二次项系数不能为0；其次抛物线与x轴有两个交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。我们只需分别列出这两个条件，求解后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=mx^2 -3x+4$是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即$m\ne 0$。
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ 当$y=0$时，一元二次方程$mx^2 -3x+4=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=m$，$b=-3$，$c=4$，
代入得：$\Delta = (-3)^2 - 4× m×4 = 9-16m＞0$，
解不等式得：$m＜\frac{9}{16}$。
结合二次函数的条件$m\ne0$，可得$m$的取值范围是$m＜\frac{9}{16}$且$m\ne0$。
【答案】
$m＜\dfrac{9}{16}$且$m\ne0$
【知识点】
二次函数的定义，根的判别式的应用，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础易错题，解题时容易忽略“抛物线对应二次函数，二次项系数不为0”的前提，仅通过判别式求解导致漏解，做题时要先确定函数类型，再结合交点条件列式计算。
【难度系数】
0.7
4[2026河北唐山期末]已知关于x的二次函数$y=x^2 -mx +m -2$.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)若该抛物线与x轴的两交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$,且$x_1+x_2=2x_1x_2$,求m的值.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)若该抛物线与x轴的两交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$,且$x_1+x_2=2x_1x_2$,求m的值.
答案
4. (1)【证明】$\Delta=(-m)^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4.$ $\because (m-2)^2\ge0,\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0,$
∴ 不论 $m$ 为何值,该抛物线与 $x$ 轴总有两个不同的交点.
(2)【解】
∵ 该抛物线与 $x$ 轴的两交点坐标为 $(x_1,0)$ 和 $(x_2,0),\therefore x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2-mx+m-2=0$ 的两个根,
∴ $x_1+x_2=-\dfrac{-m}{1}=m$, $x_1x_2=m-2.$ $\because x_1+x_2=2x_1x_2,\therefore m=2(m-2),$ 解得 $m=4.$
∴ 不论 $m$ 为何值,该抛物线与 $x$ 轴总有两个不同的交点.
(2)【解】
∵ 该抛物线与 $x$ 轴的两交点坐标为 $(x_1,0)$ 和 $(x_2,0),\therefore x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2-mx+m-2=0$ 的两个根,
∴ $x_1+x_2=-\dfrac{-m}{1}=m$, $x_1x_2=m-2.$ $\because x_1+x_2=2x_1x_2,\therefore m=2(m-2),$ 解得 $m=4.$
解析
【分析】
(1) 要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，可转化为证明抛物线对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需计算判别式$\Delta$，通过配方判断$\Delta$恒大于0即可。(2) 已知抛物线与x轴两交点横坐标的和与积的关系，可利用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再代入题给等量关系解方程即可求出m的值，第一问已证$\Delta$恒正，无需额外验根。
【解析】
(1) 证明：二次函数$y=x^2 -mx +m -2$对应的一元二次方程为$x^2 -mx +m -2=0$，
其判别式$\Delta=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8$，
配方可得$\Delta=(m-2)^2+4$，
$\because (m-2)^2\ge0$，$\therefore (m-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 不论m为何值，该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2) 解：$\because$ 抛物线与x轴的两交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，
$\therefore x_1、x_2$是一元二次方程$x^2 -mx +m -2=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=m$，$x_1x_2=m-2$，
代入$x_1+x_2=2x_1x_2$可得：$m=2(m-2)$，
解得$m=4$。
【答案】
(1) 得证；(2) $m=4$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规题型，核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，熟练掌握判别式的意义和根与系数的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，可转化为证明抛物线对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需计算判别式$\Delta$，通过配方判断$\Delta$恒大于0即可。(2) 已知抛物线与x轴两交点横坐标的和与积的关系，可利用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再代入题给等量关系解方程即可求出m的值，第一问已证$\Delta$恒正，无需额外验根。
【解析】
(1) 证明：二次函数$y=x^2 -mx +m -2$对应的一元二次方程为$x^2 -mx +m -2=0$，
其判别式$\Delta=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8$，
配方可得$\Delta=(m-2)^2+4$，
$\because (m-2)^2\ge0$，$\therefore (m-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 不论m为何值，该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2) 解：$\because$ 抛物线与x轴的两交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，
$\therefore x_1、x_2$是一元二次方程$x^2 -mx +m -2=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=m$，$x_1x_2=m-2$，
代入$x_1+x_2=2x_1x_2$可得：$m=2(m-2)$，
解得$m=4$。
【答案】
(1) 得证；(2) $m=4$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规题型，核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，熟练掌握判别式的意义和根与系数的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5[2026安徽合肥校级质检]已知二次函数$y=ax^2-2ax+c$的部分$x$和$y$的对应值如表所示：
则关于$x$的方程$ax^2-2ax+c=0$的一个较大的根的取值范围是（
A.$-0.5＜x＜-0.4$
B.$-0.6＜x＜-0.5$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$
则关于$x$的方程$ax^2-2ax+c=0$的一个较大的根的取值范围是（
C
）A.$-0.5＜x＜-0.4$
B.$-0.6＜x＜-0.5$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$
答案
5. C 【解析】抛物线 $y=ax^2-2ax+c$ 的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-2a}{2a}=1.$ 由表格数据可得, 当 $x=-0.4$ 时,$y=-0.04＜0$; 当 $x=-0.5$ 时, $y=0.25＞0$,
∴ 关于 $x$ 的方程 $ax^2-2ax+c=0$ 的一个较小的根的取值范围为 $-0.5＜x＜-0.4.$ $\because 1-(-0.4)+1=2.4,1-(-0.5)+1=2.5,$
∴ 关于 $x$ 的方程 $ax^2-2ax+c=0$ 的一个较大的根的取值范围是 $2.4＜x＜2.5.$ 故选 C.
∴ 关于 $x$ 的方程 $ax^2-2ax+c=0$ 的一个较小的根的取值范围为 $-0.5＜x＜-0.4.$ $\because 1-(-0.4)+1=2.4,1-(-0.5)+1=2.5,$
∴ 关于 $x$ 的方程 $ax^2-2ax+c=0$ 的一个较大的根的取值范围是 $2.4＜x＜2.5.$ 故选 C.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴；再根据二次函数与一元二次方程的对应关系，结合表格中y值的正负变化，找到函数值由负变正的x区间，确定方程较小根的取值范围；最后利用二次函数的对称性，即抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，推导得出较大根的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$b=-2a$，可得对称轴为直线$x=-\dfrac{-2a}{2a}=1$。
2. 确定较小根的范围：观察表格数据，当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$；当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$，说明在$-0.5＜x＜-0.4$区间内存在x使得$y=0$，即方程$ax^2-2ax+c=0$的较小根的取值范围为$-0.5＜x＜-0.4$。
3. 推导较大根的范围：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设较大根为$x_2$，较小根为$x_1$，则满足$\dfrac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。将$x_1$的范围代入计算：当$x_1=-0.4$时，$x_2=2-(-0.4)=2.4$；当$x_1=-0.5$时，$x_2=2-(-0.5)=2.5$，因此较大根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常考题型，解题核心是熟练运用二次函数的性质，通过函数值的正负变化确定根的区间，再结合对称性推导另一根的范围，解题时注意区分所求根是较大根还是较小根，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴；再根据二次函数与一元二次方程的对应关系，结合表格中y值的正负变化，找到函数值由负变正的x区间，确定方程较小根的取值范围；最后利用二次函数的对称性，即抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，推导得出较大根的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$b=-2a$，可得对称轴为直线$x=-\dfrac{-2a}{2a}=1$。
2. 确定较小根的范围：观察表格数据，当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$；当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$，说明在$-0.5＜x＜-0.4$区间内存在x使得$y=0$，即方程$ax^2-2ax+c=0$的较小根的取值范围为$-0.5＜x＜-0.4$。
3. 推导较大根的范围：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，设较大根为$x_2$，较小根为$x_1$，则满足$\dfrac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。将$x_1$的范围代入计算：当$x_1=-0.4$时，$x_2=2-(-0.4)=2.4$；当$x_1=-0.5$时，$x_2=2-(-0.5)=2.5$，因此较大根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常考题型，解题核心是熟练运用二次函数的性质，通过函数值的正负变化确定根的区间，再结合对称性推导另一根的范围，解题时注意区分所求根是较大根还是较小根，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
6 抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=-1$，其部分图象如图所示，当$y＞0$时，$x$的取值范围是（
A.$x＜1$
B.$x＞-3$
C.$-3＜x＜1$
D.$x＜-3$或$x＞1$
C
）A.$x＜1$
B.$x＞-3$
C.$-3＜x＜1$
D.$x＜-3$或$x＞1$
答案
6. C 【解析】
∵ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(1,0)$,对称轴是直线 $x=-1$,
∴ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标为 $(-3,0).$
∵ 抛物线开口向下,
∴ 当 $-3＜x＜1$ 时,$y＞0.$ 故选 C.
∵ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(1,0)$,对称轴是直线 $x=-1$,
∴ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标为 $(-3,0).$
∵ 抛物线开口向下,
∴ 当 $-3＜x＜1$ 时,$y＞0.$ 故选 C.
解析
【分析】
要确定y＞0时x的取值范围，需先找到抛物线与x轴的所有交点，再结合开口方向判断。首先回忆二次函数的轴对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴和其中一个交点坐标，就能求出另一个交点坐标；再结合a＜0可知抛物线开口向下，开口向下的抛物线在两个x轴交点之间的部分图象在x轴上方，对应y＞0，据此即可求出x的取值范围。
【解析】
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$。
∵ 抛物线的对称轴是直线$x=-1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴ 两个交点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即$\frac{1+x}{2}=-1$，
解得$x=-3$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
又
∵ $a＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
∴ 当图象在x轴上方即$y＞0$时，x的取值范围是$-3＜x＜1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象性质；二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题关键是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合开口方向判断函数值正负对应的自变量范围，掌握二次函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定y＞0时x的取值范围，需先找到抛物线与x轴的所有交点，再结合开口方向判断。首先回忆二次函数的轴对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴和其中一个交点坐标，就能求出另一个交点坐标；再结合a＜0可知抛物线开口向下，开口向下的抛物线在两个x轴交点之间的部分图象在x轴上方，对应y＞0，据此即可求出x的取值范围。
【解析】
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$。
∵ 抛物线的对称轴是直线$x=-1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴ 两个交点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即$\frac{1+x}{2}=-1$，
解得$x=-3$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。
又
∵ $a＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
∴ 当图象在x轴上方即$y＞0$时，x的取值范围是$-3＜x＜1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象性质；二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题关键是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合开口方向判断函数值正负对应的自变量范围，掌握二次函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7[2026安徽合肥期末]若关于x的不等式$x^2+bx+c＞m$的解集为$x＜-1$或$x＞3$，则b的值为（
A.-2
B.-1
C.1
D.3
刷易错 ▶………………小心有坑~
A
）A.-2
B.-1
C.1
D.3
刷易错 ▶………………小心有坑~
答案
7. A 【解析】
∵ 关于 $x$ 的不等式 $x^2+bx+c＞m$ 的解集为 $x＜-1$ 或 $x＞3$,
∴ $x=-1$ 或 $x=3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+bx+c=m$ 的解,
∴ $(x+1)(x-3)=m,\therefore x^2-2x-3=m,\therefore b$ 的值为 $-2$,故选 A.
∵ 关于 $x$ 的不等式 $x^2+bx+c＞m$ 的解集为 $x＜-1$ 或 $x＞3$,
∴ $x=-1$ 或 $x=3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+bx+c=m$ 的解,
∴ $(x+1)(x-3)=m,\therefore x^2-2x-3=m,\therefore b$ 的值为 $-2$,故选 A.
解析
【分析】
解这道题首先要回忆一元二次不等式和对应一元二次方程的关联：对于二次项系数为正的一元二次不等式，它的解集的端点值就是对应一元二次方程的两个实数根。本题中不等式$x^2+bx+c＞m$可变形为$x^2+bx+(c-m)＞0$，已知解集为$x＜-1$或$x＞3$，由此可确定$x=-1$和$x=3$是方程$x^2+bx+c=m$的两个根，之后将方程写成两根式展开，对比系数就能求出$b$的值。
【解析】
∵ 关于$x$的不等式$x^2+bx+c＞m$的解集为$x＜-1$或$x＞3$，
∴ $x=-1$和$x=3$是方程$x^2+bx+c=m$的两个实数根，
∴ 该方程可写为$(x+1)(x-3)=m$，
展开得$x^2-2x-3=m$，整理为$x^2-2x+( -3 - m)=0$，
和原方程$x^2+bx+(c-m)=0$对比一次项系数，可得$b=-2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 不等式解集与对应方程根的关系
2. 一元二次方程两根式应用
【点评】
本题是二次不等式相关的基础常考题，解题核心是掌握“一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根”这一性质，解题时要注意展开两根式时符号的运算，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要回忆一元二次不等式和对应一元二次方程的关联：对于二次项系数为正的一元二次不等式，它的解集的端点值就是对应一元二次方程的两个实数根。本题中不等式$x^2+bx+c＞m$可变形为$x^2+bx+(c-m)＞0$，已知解集为$x＜-1$或$x＞3$，由此可确定$x=-1$和$x=3$是方程$x^2+bx+c=m$的两个根，之后将方程写成两根式展开，对比系数就能求出$b$的值。
【解析】
∵ 关于$x$的不等式$x^2+bx+c＞m$的解集为$x＜-1$或$x＞3$，
∴ $x=-1$和$x=3$是方程$x^2+bx+c=m$的两个实数根，
∴ 该方程可写为$(x+1)(x-3)=m$，
展开得$x^2-2x-3=m$，整理为$x^2-2x+( -3 - m)=0$，
和原方程$x^2+bx+(c-m)=0$对比一次项系数，可得$b=-2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 不等式解集与对应方程根的关系
2. 一元二次方程两根式应用
【点评】
本题是二次不等式相关的基础常考题，解题核心是掌握“一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根”这一性质，解题时要注意展开两根式时符号的运算，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
8 抛物线 $y=x^2 - 2x + 5$ 与坐标轴的交点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
8. B 【解析】$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×5＜0,$ 则抛物线与 $x$ 轴没有交点. 又因为 $x=0$ 时,$y=5$,所以抛物线与 $y$ 轴有一个交点. 故选 B.
解析
【分析】
要判断抛物线与坐标轴的交点个数，需分别讨论抛物线与x轴、y轴的交点情况：①与x轴交点：令y=0，将问题转化为判断对应一元二次方程的实根个数，可通过根的判别式Δ判断；②与y轴交点：令x=0，代入解析式求出y值即可判断是否存在交点，最后将两类交点的个数相加得到总个数。
【解析】
1. 判断抛物线与x轴的交点个数：
对于二次函数$y=x^2 - 2x + 5$，对应的一元二次方程为$x^2 - 2x + 5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=5$，
代入根的判别式公式得：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×5 = 4 - 20 = -16 ＜ 0$，
因此该一元二次方程无实数根，即抛物线与x轴没有交点。
2. 判断抛物线与y轴的交点个数：
令$x=0$，代入解析式得$y=0^2 - 2×0 + 5 = 5$，即抛物线与y轴交于点$(0,5)$，有1个交点。
综上，抛物线与坐标轴的交点总个数为1。
【答案】B
【知识点】
二次函数与坐标轴交点判定；根的判别式应用
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意坐标轴包含x轴和y轴两类，避免只计算抛物线与x轴的交点导致错选，核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的转化关系。
【难度系数】
0.7
要判断抛物线与坐标轴的交点个数，需分别讨论抛物线与x轴、y轴的交点情况：①与x轴交点：令y=0，将问题转化为判断对应一元二次方程的实根个数，可通过根的判别式Δ判断；②与y轴交点：令x=0，代入解析式求出y值即可判断是否存在交点，最后将两类交点的个数相加得到总个数。
【解析】
1. 判断抛物线与x轴的交点个数：
对于二次函数$y=x^2 - 2x + 5$，对应的一元二次方程为$x^2 - 2x + 5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=5$，
代入根的判别式公式得：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×5 = 4 - 20 = -16 ＜ 0$，
因此该一元二次方程无实数根，即抛物线与x轴没有交点。
2. 判断抛物线与y轴的交点个数：
令$x=0$，代入解析式得$y=0^2 - 2×0 + 5 = 5$，即抛物线与y轴交于点$(0,5)$，有1个交点。
综上，抛物线与坐标轴的交点总个数为1。
【答案】B
【知识点】
二次函数与坐标轴交点判定；根的判别式应用
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意坐标轴包含x轴和y轴两类，避免只计算抛物线与x轴的交点导致错选，核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的转化关系。
【难度系数】
0.7
