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1[2025湖北武汉期中]根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可得y关于x的二次函数的表达式为 (
A.$y=x^2+3x+5$
B.$y=x^2+3x-5$
C.$y=-x^2+3x-5$
D.$y=-x^2-3x-5$
B
)A.$y=x^2+3x+5$
B.$y=x^2+3x-5$
C.$y=-x^2+3x-5$
D.$y=-x^2-3x-5$
答案
1.B 【解析】设 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$. 把 $(-1,-7),(0,-5),(1,-1)$ 分别代入 $y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a-b+c=-7,\\c=-5,\\a+b+c=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=3,\\c=-5,\end{cases}$ 所以 y 关于 x 的二次函数表达式为 $y=x^2+3x-5$. 故选 B.
解析
【分析】
要求二次函数的表达式，可采用待定系数法求解。首先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，观察表格中的点，$x=0$时$y=-5$，可直接得到$c$的值，再选取另外两个点代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值即可确定解析式，最后可代入剩余的点验证结果是否正确。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
选取表格中的三组值$(-1,-7)$、$(0,-5)$、$(1,-1)$分别代入解析式，可得：
$\begin{cases}a - b + c = -7 \\c = -5 \\a + b + c = -1\end{cases}$
将$c=-5$代入另外两个方程，化简得：
$\begin{cases}a - b = -2 \\a + b = 4\end{cases}$
两个方程相加得$2a=2$，解得$a=1$；将$a=1$代入$a + b = 4$，解得$b=3$。
因此$a=1$，$b=3$，$c=-5$，二次函数的表达式为$y=x^2+3x-5$。代入$x=2$验证：$y=2^2+3×2-5=5$，与表格数值一致，结果正确。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、三元一次方程组的解法、二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时优先选取特殊点（如$x=0$的点）可简化计算，也可采用代入排除法快速筛选选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
要求二次函数的表达式，可采用待定系数法求解。首先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，观察表格中的点，$x=0$时$y=-5$，可直接得到$c$的值，再选取另外两个点代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值即可确定解析式，最后可代入剩余的点验证结果是否正确。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
选取表格中的三组值$(-1,-7)$、$(0,-5)$、$(1,-1)$分别代入解析式，可得：
$\begin{cases}a - b + c = -7 \\c = -5 \\a + b + c = -1\end{cases}$
将$c=-5$代入另外两个方程，化简得：
$\begin{cases}a - b = -2 \\a + b = 4\end{cases}$
两个方程相加得$2a=2$，解得$a=1$；将$a=1$代入$a + b = 4$，解得$b=3$。
因此$a=1$，$b=3$，$c=-5$，二次函数的表达式为$y=x^2+3x-5$。代入$x=2$验证：$y=2^2+3×2-5=5$，与表格数值一致，结果正确。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、三元一次方程组的解法、二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时优先选取特殊点（如$x=0$的点）可简化计算，也可采用代入排除法快速筛选选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
2[2025原创]若二次函数的图象开口向上,对称轴在y轴左侧,经过$(0,y_{1}),(1,y_{2})$和$(-1,y_{3})$三点,且满足$y_{1}^{2}=y_{2}^{2}=y_{3}^{2}=1$,则这个二次函数的表达式为 (
A.$y=x^{2}+x-1$
B.$y=x^{2}-x-1$
C.$y=x^{2}-x+1$
D.$y=x^{2}+x+1$
A
)A.$y=x^{2}+x-1$
B.$y=x^{2}-x-1$
C.$y=x^{2}-x+1$
D.$y=x^{2}+x+1$
答案
2.A 【解析】$\because y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$,$\therefore y_1,y_2,y_3$ 的值为 1 或-1. 设 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$. 由题意知该二次函数的图象经过 $(-1,-1),(0,-1)$ 和 $(1,1)$ 三点,则 $\begin{cases}a-b+c=-1,\\c=-1,\\a+b+c=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=1,\\c=-1,\end{cases}$ $\therefore y=x^2+x-1$. 故选 A.
解析
【分析】
解题可按两步逻辑推进：首先利用二次函数的基础性质缩小选项范围：①开口向上说明二次项系数$a＞0$，本题四个选项$a$均为1，都满足该要求；②对称轴在y轴左侧，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合$a＞0$可推出$b＞0$，据此可直接排除$b$为$-1$的B、C选项。接下来验证剩余的A、D选项：由$y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$可知，$x=0$、$x=1$、$x=-1$对应的函数值只能是1或$-1$，代入计算即可排除不符合条件的选项；也可通过待定系数法设解析式，代入符合条件的三点直接求解。
【解析】
方法一：排除法
1. 由二次函数开口向上得$a＞0$，四个选项的$a$均为1，均满足条件；
2. 对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，$\because a=1＞0$，$\therefore b＞0$，选项B、C中$b=-1$，不符合要求，排除B、C；
3. 由$y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$，得$x=0$、$x=1$、$x=-1$对应的函数值只能为1或$-1$：
代入选项D：$y=x^2+x+1$，当$x=1$时，$y=1+1+1=3$，$3^2≠1$，不符合条件，排除D；
代入选项A：$y=x^2+x-1$，当$x=0$时$y_1=-1$，$x=1$时$y_2=1$，$x=-1$时$y_3=-1$，三者平方均为1，同时满足开口向上、对称轴在y轴左侧的所有条件。
方法二：待定系数法
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，$\because y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$，$\therefore y_1,y_2,y_3$的取值为1或$-1$。结合开口向上、对称轴在y轴左侧的条件，可知函数过$(-1,-1),(0,-1),(1,1)$三点，代入解析式得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=-1\\c=-1\\a+b+c=1\end{cases}$
将$c=-1$代入另外两个方程，解得$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-1\end{cases}$，即二次函数解析式为$y=x^2+x-1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查二次函数图象性质与解析式的确定，既可以通过性质快速排除错误选项提升解题效率，也可以用待定系数法严谨求解，注重对基础知识掌握程度和解题灵活性的考查。
【难度系数】
0.7
解题可按两步逻辑推进：首先利用二次函数的基础性质缩小选项范围：①开口向上说明二次项系数$a＞0$，本题四个选项$a$均为1，都满足该要求；②对称轴在y轴左侧，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合$a＞0$可推出$b＞0$，据此可直接排除$b$为$-1$的B、C选项。接下来验证剩余的A、D选项：由$y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$可知，$x=0$、$x=1$、$x=-1$对应的函数值只能是1或$-1$，代入计算即可排除不符合条件的选项；也可通过待定系数法设解析式，代入符合条件的三点直接求解。
【解析】
方法一：排除法
1. 由二次函数开口向上得$a＞0$，四个选项的$a$均为1，均满足条件；
2. 对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，$\because a=1＞0$，$\therefore b＞0$，选项B、C中$b=-1$，不符合要求，排除B、C；
3. 由$y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$，得$x=0$、$x=1$、$x=-1$对应的函数值只能为1或$-1$：
代入选项D：$y=x^2+x+1$，当$x=1$时，$y=1+1+1=3$，$3^2≠1$，不符合条件，排除D；
代入选项A：$y=x^2+x-1$，当$x=0$时$y_1=-1$，$x=1$时$y_2=1$，$x=-1$时$y_3=-1$，三者平方均为1，同时满足开口向上、对称轴在y轴左侧的所有条件。
方法二：待定系数法
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，$\because y_1^2=y_2^2=y_3^2=1$，$\therefore y_1,y_2,y_3$的取值为1或$-1$。结合开口向上、对称轴在y轴左侧的条件，可知函数过$(-1,-1),(0,-1),(1,1)$三点，代入解析式得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=-1\\c=-1\\a+b+c=1\end{cases}$
将$c=-1$代入另外两个方程，解得$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-1\end{cases}$，即二次函数解析式为$y=x^2+x-1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查二次函数图象性质与解析式的确定，既可以通过性质快速排除错误选项提升解题效率，也可以用待定系数法严谨求解，注重对基础知识掌握程度和解题灵活性的考查。
【难度系数】
0.7
3 抛物线的对称轴为直线$x=3$，$y$的最大值为$-5$，且与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口大小相同，则这条抛物线表达式为（
A.$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+5$
B.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-5$
C.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2+5$
D.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-5$
B
）A.$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+5$
B.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-5$
C.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2+5$
D.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-5$
答案
3.B 【解析】由题意可设抛物线表达式为 $y=a(x-3)^2-5$. 因为所求抛物线与 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象开口大小相同,而 y 的最大值为 -5,所以 $a=-\frac{1}{2}$,所以这条抛物线表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-5$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的顶点式形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，直线$x=h$是对称轴。首先根据题干给出的对称轴$x=3$、$y$的最大值为$-5$，可以确定顶点坐标为$(3,-5)$，即可得到$h$和$k$的值；再根据抛物线开口大小与$y=\frac{1}{2}x^2$相同，可得$|a|=\frac{1}{2}$，结合函数有最大值说明开口向下，$a$为负数，即可确定$a$的取值，最后代入顶点式得到抛物线表达式，对应选项即可。
【解析】
已知抛物线的对称轴为直线$x=3$，$y$的最大值为$-5$，说明抛物线的顶点坐标为$(3,-5)$，因此设抛物线的表达式为顶点式：$y=a(x-3)^2-5$（$a≠0$）。
因为所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口大小相同，所以$|a|=\frac{1}{2}$；又因为$y$存在最大值，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$，可得$a=-\frac{1}{2}$。
将$a=-\frac{1}{2}$代入顶点式，得到抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数图象性质 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式中各参数的几何意义，结合题干给出的对称轴、最值、开口特征即可快速求出参数，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的顶点式形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，直线$x=h$是对称轴。首先根据题干给出的对称轴$x=3$、$y$的最大值为$-5$，可以确定顶点坐标为$(3,-5)$，即可得到$h$和$k$的值；再根据抛物线开口大小与$y=\frac{1}{2}x^2$相同，可得$|a|=\frac{1}{2}$，结合函数有最大值说明开口向下，$a$为负数，即可确定$a$的取值，最后代入顶点式得到抛物线表达式，对应选项即可。
【解析】
已知抛物线的对称轴为直线$x=3$，$y$的最大值为$-5$，说明抛物线的顶点坐标为$(3,-5)$，因此设抛物线的表达式为顶点式：$y=a(x-3)^2-5$（$a≠0$）。
因为所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口大小相同，所以$|a|=\frac{1}{2}$；又因为$y$存在最大值，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$，可得$a=-\frac{1}{2}$。
将$a=-\frac{1}{2}$代入顶点式，得到抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2-5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数图象性质 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式中各参数的几何意义，结合题干给出的对称轴、最值、开口特征即可快速求出参数，难度较低。
【难度系数】
0.8
4[2026安徽池州期中]已知二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，且图象经过点$(3,0)$。将二次函数的图象向右平移$m(m＞0)$个单位后，图象经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，且在平移后的图象上，当$n-2≤ x≤ n+1$时，函数有最小值$-3$，则$n$的值是（
A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.$1$
D.$-\dfrac{1}{2}$
A
）A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.$1$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
4.A 【解析】$\because$ 二次函数图象的顶点坐标为 $(1,-4)$,$\therefore$ 可设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$. 又$\because$ 二次函数的图象过点 $(3,0)$,$\therefore 0=4a-4$,$\therefore a=1$,$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2-4$. 将二次函数的图象向右平移 $m(m＞0)$ 个单位后,图象所对应的函数表达式为 $y=(x-1-m)^2-4$. 又$\because$ 平移后的图象过点 $(1,-\frac{15}{4})$,$\therefore -\frac{15}{4}=m^2-4$,$\therefore m=\frac{1}{2}$ 或 $m=-\frac{1}{2}$(舍去),$\therefore$ 平移后的图象对应的函数表达式为 $y=(x-\frac{3}{2})^2-4$,$\therefore$ 平移后的图象开口向上,对称轴是直线 $x=\frac{3}{2}$,$\therefore$ 当 $x＜\frac{3}{2}$ 时,y 随 x 增大而减小,当 $x＞\frac{3}{2}$ 时,y 随 x 增大而增大.$\therefore$ 当 $n-2≤ x≤ n+1$ 时,y 有最小值 -3,即 $(n-2-\frac{3}{2})^2-4=-3$,$\therefore n=\frac{9}{2}$ 或 $n=\frac{5}{2}$(舍去). 综上,$n=-\frac{1}{2}$ 或 $\frac{9}{2}$. 故选 A.
解析
【分析】
解题分三步走：①已知原二次函数顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，代入已知过的点求出参数$a$，得到原函数解析式；②根据“左加右减”的平移规律写出向右平移$m$个单位后的解析式，代入平移后经过的点求出$m$的值，确定平移后的函数解析式；③平移后的函数开口向上，顶点最小值为$-4$，而给定区间内最小值为$-3$，说明对称轴不在该区间内，分两种情况讨论：区间在对称轴左侧时，最小值在区间右端点取到；区间在对称轴右侧时，最小值在区间左端点取到，分别列方程求解后，结合区间位置的条件舍去不符合的解，即可得到$n$的值。
【解析】
步骤1：求原二次函数解析式
∵ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，
∴ 设原二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$（$a≠0$）。
将点$(3,0)$代入解析式得：
$0=a(3-1)^2-4$，即$4a-4=0$，解得$a=1$。
∴ 原二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2-4$。
步骤2：求平移后的函数解析式
将二次函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后的函数表达式为：
$y=(x-1-m)^2-4$。
∵ 平移后的图象经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，代入得：
$-\dfrac{15}{4}=(1-1-m)^2-4$，即$m^2=4-\dfrac{15}{4}=\dfrac{1}{4}$。
解得$m=\dfrac{1}{2}$或$m=-\dfrac{1}{2}$，
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-\dfrac{1}{2}$。
∴ 平移后的函数表达式为 $y=(x-\dfrac{3}{2})^2-4$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{3}{2}$，顶点处最小值为$-4$。
步骤3：求$n$的值
已知在$n-2≤x≤n+1$时，函数最小值为$-3$，大于顶点的最小值$-4$，说明对称轴$x=\dfrac{3}{2}$不在区间$[n-2,n+1]$内，分两种情况讨论：
① 当区间在对称轴左侧，即$n+1≤\dfrac{3}{2}$（$n≤\dfrac{1}{2}$）时，$y$随$x$的增大而减小，最小值在$x=n+1$处取到，代入得：
$(n+1-\dfrac{3}{2})^2-4=-3$，即$(n-\dfrac{1}{2})^2=1$，
解得$n=\dfrac{3}{2}$或$n=-\dfrac{1}{2}$。
∵$n≤\dfrac{1}{2}$，
∴舍去$n=\dfrac{3}{2}$，得$n=-\dfrac{1}{2}$。
② 当区间在对称轴右侧，即$n-2≥\dfrac{3}{2}$（$n≥\dfrac{7}{2}$）时，$y$随$x$的增大而增大，最小值在$x=n-2$处取到，代入得：
$(n-2-\dfrac{3}{2})^2-4=-3$，即$(n-\dfrac{7}{2})^2=1$，
解得$n=\dfrac{9}{2}$或$n=\dfrac{5}{2}$。
∵$n≥\dfrac{7}{2}$，
∴舍去$n=\dfrac{5}{2}$，得$n=\dfrac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象平移；二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是熟练掌握二次函数解析式的求法、平移规律，在处理区间最值问题时要注意结合区间与对称轴的位置关系分类讨论，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题分三步走：①已知原二次函数顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，代入已知过的点求出参数$a$，得到原函数解析式；②根据“左加右减”的平移规律写出向右平移$m$个单位后的解析式，代入平移后经过的点求出$m$的值，确定平移后的函数解析式；③平移后的函数开口向上，顶点最小值为$-4$，而给定区间内最小值为$-3$，说明对称轴不在该区间内，分两种情况讨论：区间在对称轴左侧时，最小值在区间右端点取到；区间在对称轴右侧时，最小值在区间左端点取到，分别列方程求解后，结合区间位置的条件舍去不符合的解，即可得到$n$的值。
【解析】
步骤1：求原二次函数解析式
∵ 二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，
∴ 设原二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$（$a≠0$）。
将点$(3,0)$代入解析式得：
$0=a(3-1)^2-4$，即$4a-4=0$，解得$a=1$。
∴ 原二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2-4$。
步骤2：求平移后的函数解析式
将二次函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后的函数表达式为：
$y=(x-1-m)^2-4$。
∵ 平移后的图象经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，代入得：
$-\dfrac{15}{4}=(1-1-m)^2-4$，即$m^2=4-\dfrac{15}{4}=\dfrac{1}{4}$。
解得$m=\dfrac{1}{2}$或$m=-\dfrac{1}{2}$，
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-\dfrac{1}{2}$。
∴ 平移后的函数表达式为 $y=(x-\dfrac{3}{2})^2-4$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{3}{2}$，顶点处最小值为$-4$。
步骤3：求$n$的值
已知在$n-2≤x≤n+1$时，函数最小值为$-3$，大于顶点的最小值$-4$，说明对称轴$x=\dfrac{3}{2}$不在区间$[n-2,n+1]$内，分两种情况讨论：
① 当区间在对称轴左侧，即$n+1≤\dfrac{3}{2}$（$n≤\dfrac{1}{2}$）时，$y$随$x$的增大而减小，最小值在$x=n+1$处取到，代入得：
$(n+1-\dfrac{3}{2})^2-4=-3$，即$(n-\dfrac{1}{2})^2=1$，
解得$n=\dfrac{3}{2}$或$n=-\dfrac{1}{2}$。
∵$n≤\dfrac{1}{2}$，
∴舍去$n=\dfrac{3}{2}$，得$n=-\dfrac{1}{2}$。
② 当区间在对称轴右侧，即$n-2≥\dfrac{3}{2}$（$n≥\dfrac{7}{2}$）时，$y$随$x$的增大而增大，最小值在$x=n-2$处取到，代入得：
$(n-2-\dfrac{3}{2})^2-4=-3$，即$(n-\dfrac{7}{2})^2=1$，
解得$n=\dfrac{9}{2}$或$n=\dfrac{5}{2}$。
∵$n≥\dfrac{7}{2}$，
∴舍去$n=\dfrac{5}{2}$，得$n=\dfrac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象平移；二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是熟练掌握二次函数解析式的求法、平移规律，在处理区间最值问题时要注意结合区间与对称轴的位置关系分类讨论，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
5 [新考法][2026安徽安庆质检]若两个二次函数图象的顶点坐标、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“美好函数”.已知关于x的二次函数$y_1=2x^2-4x+3$和$y_2=ax^2+bx+5$.若函数$y_1+y_2$与函数$y_1$为“美好函数”，则函数$y_2$的表达式为
$y_2=5x^2-10x+5$
.答案
5.$y_2=5x^2-10x+5$ 【解析】由题意得,$y_1+y_2=2x^2-4x+3+ax^2+bx+5=(a+2)x^2+(b-4)x+8$.$\because y_1+y_2$ 与 $y_1$ 为“美好函数”,且 $y_1=2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1$,即函数 $y_1$ 的图象开口向上,顶点坐标为 $(1,1)$,$\therefore a+2＞0$,$y_1+y_2=(a+2)·(x-1)^2+1=(a+2)x^2-2(a+2)x+(a+2)+1$,$\therefore a＞-2$,$\begin{cases}b-4=-2(a+2),\\8=(a+2)+1,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=5,\\b=-10,\end{cases}$ $\therefore$ 函数 $y_2$ 的表达式为 $y_2=5x^2-10x+5$. 故答案为 $y_2=5x^2-10x+5$.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解“美好函数”的定义：两个二次函数顶点坐标相同、开口方向相同。第一步先将$y_1$配方，求出它的顶点坐标和开口方向；第二步计算$y_1+y_2$的一般式；第三步根据“美好函数”的定义，可知$y_1+y_2$的开口方向与$y_1$相同，顶点坐标也和$y_1$一致，因此可以将$y_1+y_2$写成顶点式，展开后和之前的一般式对比系数，列出关于$a$、$b$的方程组，解出$a$、$b$的值即可得到$y_2$的表达式。
【解析】
首先计算$y_1+y_2$的表达式：
$y_1+y_2=2x^2-4x+3+ax^2+bx+5=(a+2)x^2+(b-4)x+8$
将$y_1$配方变形：$y_1=2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3=2(x-1)^2+1$，可得$y_1$开口向上，顶点坐标为$(1,1)$。
因为$y_1+y_2$与$y_1$是“美好函数”，所以$y_1+y_2$开口向上（即$a+2＞0$），且顶点坐标也为$(1,1)$，因此$y_1+y_2$的顶点式为：
$y_1+y_2=(a+2)(x-1)^2+1$
展开顶点式得：$y_1+y_2=(a+2)x^2-2(a+2)x+(a+2)+1$
将其与一般式$(a+2)x^2+(b-4)x+8$对比系数，列方程组：
$\begin{cases}b-4=-2(a+2)\\8=(a+2)+1\end{cases}$
解方程组：
由第二个方程得$8=a+3$，解得$a=5$，满足$a+2=7＞0$，符合开口向上的要求；
将$a=5$代入第一个方程：$b-4=-2×(5+2)=-14$，解得$b=-10$。
因此$y_2=5x^2-10x+5$。
【答案】
$y_2=5x^2-10x+5$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的含义，结合二次函数开口方向、顶点坐标的性质，利用系数对应相等建立方程求解，考查了对新定义的解读能力和二次函数知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要准确理解“美好函数”的定义：两个二次函数顶点坐标相同、开口方向相同。第一步先将$y_1$配方，求出它的顶点坐标和开口方向；第二步计算$y_1+y_2$的一般式；第三步根据“美好函数”的定义，可知$y_1+y_2$的开口方向与$y_1$相同，顶点坐标也和$y_1$一致，因此可以将$y_1+y_2$写成顶点式，展开后和之前的一般式对比系数，列出关于$a$、$b$的方程组，解出$a$、$b$的值即可得到$y_2$的表达式。
【解析】
首先计算$y_1+y_2$的表达式：
$y_1+y_2=2x^2-4x+3+ax^2+bx+5=(a+2)x^2+(b-4)x+8$
将$y_1$配方变形：$y_1=2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3=2(x-1)^2+1$，可得$y_1$开口向上，顶点坐标为$(1,1)$。
因为$y_1+y_2$与$y_1$是“美好函数”，所以$y_1+y_2$开口向上（即$a+2＞0$），且顶点坐标也为$(1,1)$，因此$y_1+y_2$的顶点式为：
$y_1+y_2=(a+2)(x-1)^2+1$
展开顶点式得：$y_1+y_2=(a+2)x^2-2(a+2)x+(a+2)+1$
将其与一般式$(a+2)x^2+(b-4)x+8$对比系数，列方程组：
$\begin{cases}b-4=-2(a+2)\\8=(a+2)+1\end{cases}$
解方程组：
由第二个方程得$8=a+3$，解得$a=5$，满足$a+2=7＞0$，符合开口向上的要求；
将$a=5$代入第一个方程：$b-4=-2×(5+2)=-14$，解得$b=-10$。
因此$y_2=5x^2-10x+5$。
【答案】
$y_2=5x^2-10x+5$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的含义，结合二次函数开口方向、顶点坐标的性质，利用系数对应相等建立方程求解，考查了对新定义的解读能力和二次函数知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
6 如图所示,抛物线的函数表达式可能是（
A.$y=x^2 -x +2$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +2$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +1$
D.$y=-x^2 +x +2$
D
）A.$y=x^2 -x +2$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +2$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +1$
D.$y=-x^2 +x +2$
答案
6.D 【解析】由题图可知抛物线开口向下,且与 x 轴的交点为 $(-1,0),(2,0)$,则可设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)(x-2)=a(x^2-x-2)$. 对比各选项可知,A、B、C 选项无法变形为 $y=a(x^2-x-2)$ 的形式,D 选项,$a=-1$. 故选 D.
解析
【分析】
拿到题目先观察图象提取关键信息：①抛物线开口向下，说明二次项系数a＜0，可先排除开口向上的选项；②抛物线与x轴交于(-1,0)、(2,0)两点，已知x轴交点的情况下，使用交点式设二次函数解析式最简便，将解析式展开后和各选项对比，也可将交点坐标代入剩余选项验证，即可快速选出正确答案。
【解析】
1. 由图象可知抛物线开口向下，因此二次项系数a＜0，选项A中a=1＞0，抛物线开口向上，与图象不符，排除A；
2. 已知抛物线与x轴的交点为(-1,0)和(2,0)，设抛物线的交点式为$y=a(x+1)(x-2)$，展开得$y=ax^2 -ax -2a$；
3. 对比剩余选项：
选项B：$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +2$，若符合解析式则$-2a=2$，得$a=-1$，此时一次项系数应为$-a=1$，与选项中一次项系数$-\frac{1}{2}$不符，排除B；
选项C：$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +1$，若符合解析式则$-2a=1$，得$a=-\frac{1}{2}$，此时一次项系数应为$-a=\frac{1}{2}$，与选项中一次项系数$-\frac{1}{2}$不符，排除C；
选项D：$y=-x^2 +x +2$，变形得$y=-(x^2 -x -2)=-(x+1)(x-2)$，符合交点式形式（$a=-1$），与图象特征一致。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数交点式，二次函数解析式确定
【点评】
本题考查二次函数解析式的判断，解题关键是从图象中提取开口方向、与x轴交点等有效信息，选择合适的解析式形式可提高解题效率，也可采用代入验证的方法逐一排除错误选项，是二次函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
拿到题目先观察图象提取关键信息：①抛物线开口向下，说明二次项系数a＜0，可先排除开口向上的选项；②抛物线与x轴交于(-1,0)、(2,0)两点，已知x轴交点的情况下，使用交点式设二次函数解析式最简便，将解析式展开后和各选项对比，也可将交点坐标代入剩余选项验证，即可快速选出正确答案。
【解析】
1. 由图象可知抛物线开口向下，因此二次项系数a＜0，选项A中a=1＞0，抛物线开口向上，与图象不符，排除A；
2. 已知抛物线与x轴的交点为(-1,0)和(2,0)，设抛物线的交点式为$y=a(x+1)(x-2)$，展开得$y=ax^2 -ax -2a$；
3. 对比剩余选项：
选项B：$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +2$，若符合解析式则$-2a=2$，得$a=-1$，此时一次项系数应为$-a=1$，与选项中一次项系数$-\frac{1}{2}$不符，排除B；
选项C：$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +1$，若符合解析式则$-2a=1$，得$a=-\frac{1}{2}$，此时一次项系数应为$-a=\frac{1}{2}$，与选项中一次项系数$-\frac{1}{2}$不符，排除C；
选项D：$y=-x^2 +x +2$，变形得$y=-(x^2 -x -2)=-(x+1)(x-2)$，符合交点式形式（$a=-1$），与图象特征一致。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数交点式，二次函数解析式确定
【点评】
本题考查二次函数解析式的判断，解题关键是从图象中提取开口方向、与x轴交点等有效信息，选择合适的解析式形式可提高解题效率，也可采用代入验证的方法逐一排除错误选项，是二次函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
7 如果抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，且与$y$轴交于点$C$，若$OC=2$，那么这条抛物线的函数表达式是 (
A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 -x -2$ 或 $y=x^2 +x +2$
C.$y=-x^2 +x +2$
D.$y=x^2 -x -2$ 或 $y=-x^2 +x +2$
D
)A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 -x -2$ 或 $y=x^2 +x +2$
C.$y=-x^2 +x +2$
D.$y=x^2 -x -2$ 或 $y=-x^2 +x +2$
答案
7.D 【解析】设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-2)(x+1)$.$\because OC=2$,$\therefore$ 点 C 坐标为 $(0,2)$ 或 $(0,-2)$. 把 $C(0,2)$ 代入 $y=a(x-2)(x+1)$,得 $a×(-2)×1=2$,解得 $a=-1$,此时抛物线的函数表达式为 $y=-(x-2)(x+1)$,即 $y=-x^2+x+2$;把 $C(0,-2)$ 代入 $y=a(x-2)(x+1)$,得 $a×(-2)×1=-2$,解得 $a=1$,此时抛物线的函数表达式为 $y=(x-2)(x+1)$,即 $y=x^2-x-2$. 综上,抛物线的函数表达式为 $y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2$. 故选 D.
解析
【分析】
已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个点，优先选择交点式设二次函数解析式，可简化计算过程；由OC=2可知，抛物线与y轴的交点C到原点的距离为2，因此C点坐标存在(0,2)和(0,-2)两种情况，分别将两种C点坐标代入所设解析式求出参数a的值，即可得到对应的抛物线表达式，最后匹配选项即可。
【解析】
设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a\ne0$）。
$\because OC=2$，即y轴上的点C到原点的距离为2，
$\therefore$ 点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况计算：
① 把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(0-2)×(0+1)=2$，即$-2a=2$，解得$a=-1$，
此时抛物线的函数表达式为$y=-(x-2)(x+1)$，展开得$y=-x^2+x+2$；
② 把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(0-2)×(0+1)=-2$，即$-2a=-2$，解得$a=1$，
此时抛物线的函数表达式为$y=(x-2)(x+1)$，展开得$y=x^2-x-2$。
综上，抛物线的函数表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$，故选D。
【答案】D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式；坐标与距离
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，解题关键是根据抛物线与x轴交点的特征选择简便的解析式形式，易错点是容易忽略距离对应的坐标有正负两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个点，优先选择交点式设二次函数解析式，可简化计算过程；由OC=2可知，抛物线与y轴的交点C到原点的距离为2，因此C点坐标存在(0,2)和(0,-2)两种情况，分别将两种C点坐标代入所设解析式求出参数a的值，即可得到对应的抛物线表达式，最后匹配选项即可。
【解析】
设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a\ne0$）。
$\because OC=2$，即y轴上的点C到原点的距离为2，
$\therefore$ 点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况计算：
① 把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(0-2)×(0+1)=2$，即$-2a=2$，解得$a=-1$，
此时抛物线的函数表达式为$y=-(x-2)(x+1)$，展开得$y=-x^2+x+2$；
② 把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(0-2)×(0+1)=-2$，即$-2a=-2$，解得$a=1$，
此时抛物线的函数表达式为$y=(x-2)(x+1)$，展开得$y=x^2-x-2$。
综上，抛物线的函数表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$，故选D。
【答案】D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式；坐标与距离
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，解题关键是根据抛物线与x轴交点的特征选择简便的解析式形式，易错点是容易忽略距离对应的坐标有正负两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
8 [2025安徽芜湖质检]已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线$y=-2x^2+9x$相同，且与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，则这条抛物线的表达式为
$y=-2x^2+4x+6$
.(填写一般式)答案
8.$y=-2x^2+4x+6$ 【解析】$\because$ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$,$\therefore$ 设抛物线的表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$.$\because$ 该抛物线的形状、开口方向均与抛物线 $y=-2x^2+9x$ 相同,$\therefore a=-2$,$\therefore y=-2(x+1)(x-3)=-2x^2+4x+6$. 故答案为 $y=-2x^2+4x+6$.
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数的核心性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，若两条抛物线形状、开口方向均相同，则二者的二次项系数a相等。本题给出了抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设解析式可简化计算，先根据交点写出交点式的形式，再代入a的值，最后展开整理为题目要求的一般式即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴ 设该抛物线的表达式为交点式：$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
又
∵ 该抛物线的形状、开口方向均与抛物线$y=-2x^2+9x$相同，
∴ 二者二次项系数相等，即$a=-2$。
将$a=-2$代入交点式展开计算：
$\begin{aligned}y&=-2(x+1)(x-3)\\&=-2(x^2-2x-3)\\&=-2x^2+4x+6\end{aligned}$
【答案】
$y=-2x^2+4x+6$
【知识点】
1.二次函数系数的意义
2.待定系数法求解析式
3.二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是掌握二次项系数的几何意义，以及根据已知条件选择最优的解析式形式，已知抛物线与x轴交点时优先选交点式，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数的核心性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，若两条抛物线形状、开口方向均相同，则二者的二次项系数a相等。本题给出了抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设解析式可简化计算，先根据交点写出交点式的形式，再代入a的值，最后展开整理为题目要求的一般式即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴ 设该抛物线的表达式为交点式：$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
又
∵ 该抛物线的形状、开口方向均与抛物线$y=-2x^2+9x$相同，
∴ 二者二次项系数相等，即$a=-2$。
将$a=-2$代入交点式展开计算：
$\begin{aligned}y&=-2(x+1)(x-3)\\&=-2(x^2-2x-3)\\&=-2x^2+4x+6\end{aligned}$
【答案】
$y=-2x^2+4x+6$
【知识点】
1.二次函数系数的意义
2.待定系数法求解析式
3.二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是掌握二次项系数的几何意义，以及根据已知条件选择最优的解析式形式，已知抛物线与x轴交点时优先选交点式，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.8
