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1[较难]如图,已知抛物线$ c_1 $的顶点为$ A(-1,4) $,与$ y $轴的交点为$ D(0,3) $.
(1)请直接写出$ c_1 $的表达式;
(2)若直线$ l_1:y=x+m $与$ c_1 $有唯一的交点,求$ m $的值;
(3)若抛物线$ c_1 $关于$ y $轴对称的抛物线记作$ c_2 $,平行于$ x $轴的直线$ y=n $记作$ l_2 $.试结合图形回答:当$ n $为何值时,$ l_2 $与$ c_1 $和$ c_2 $共有:①两个交点?②三个交点?③四个交点?
(1)请直接写出$ c_1 $的表达式;
(2)若直线$ l_1:y=x+m $与$ c_1 $有唯一的交点,求$ m $的值;
(3)若抛物线$ c_1 $关于$ y $轴对称的抛物线记作$ c_2 $,平行于$ x $轴的直线$ y=n $记作$ l_2 $.试结合图形回答:当$ n $为何值时,$ l_2 $与$ c_1 $和$ c_2 $共有:①两个交点?②三个交点?③四个交点?
答案
(1)$c_1$的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
∵ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,$\therefore$ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$. 把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$,$\therefore a=-1$,$\therefore$ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$,即$y=-x^2-2x+3$.
(2)由$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+m,\end{cases}$得$x^2+3x+m-3=0$.
$\because$ 直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,
$\therefore \Delta=9-4m+12=0$,$\therefore m=\frac{21}{4}$.
(3)$\because$ 抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$,$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$,$\therefore$ 抛物线$c_2$的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
①当直线$l_2$过抛物线$c_1$的顶点$(-1,4)$和抛物线$c_2$的顶点$(1,4)$,即$n=4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有两个交点.
②当直线$l_2$过$D(0,3)$,即$n=3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有三个交点.
③当$3＜n＜4$或$n＜3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有四个交点.
∵ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,$\therefore$ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$. 把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$,$\therefore a=-1$,$\therefore$ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$,即$y=-x^2-2x+3$.
(2)由$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+m,\end{cases}$得$x^2+3x+m-3=0$.
$\because$ 直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,
$\therefore \Delta=9-4m+12=0$,$\therefore m=\frac{21}{4}$.
(3)$\because$ 抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$,$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$,$\therefore$ 抛物线$c_2$的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
①当直线$l_2$过抛物线$c_1$的顶点$(-1,4)$和抛物线$c_2$的顶点$(1,4)$,即$n=4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有两个交点.
②当直线$l_2$过$D(0,3)$,即$n=3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有三个交点.
③当$3＜n＜4$或$n＜3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有四个交点.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设函数表达式，再将抛物线上已知点D的坐标代入求解参数a，最后整理为一般式即可。
(2) 直线与抛物线有唯一交点，说明联立两个函数解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式Δ=0列方程即可求解m的值。
(3) 先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到抛物线$c_2$的顶点坐标，同理求出$c_2$的解析式；再结合平行于x轴的直线与抛物线交点的特征，分情况讨论直线$y=n$的位置，判断交点个数即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$，
∴设$c_1$的解析式为$y=a(x+1)^2+4$，
将$D(0,3)$代入解析式得：$3=a(0+1)^2+4$，解得$a=-1$，
∴$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，整理得$y=-x^2-2x+3$。
(2) 联立直线$l_1$与$c_1$的解析式得$\begin{cases}y=-x^2-2x+3\\y=x+m\end{cases}$，
消去y整理得：$x^2+3x+m-3=0$，
∵直线与$c_1$有唯一交点，
∴该一元二次方程判别式$\Delta=0$，
即$\Delta=3^2-4×1×(m-3)=9-4m+12=0$，
解得$m=\frac{21}{4}$。
(3) 抛物线$c_1$关于y轴对称的抛物线为$c_2$，则$c_2$的顶点为$A(-1,4)$关于y轴的对称点$(1,4)$，且仍过点$D(0,3)$，
同理可得$c_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+4$，整理得$y=-x^2+2x+3$。
结合图象分析：
①当直线$l_2:y=n$过两个抛物线的顶点时，即$n=4$，此时$l_2$与$c_1$、$c_2$各有1个交点，共2个交点；
②当直线$l_2$过两个抛物线的公共交点$D(0,3)$时，即$n=3$，此时$l_2$与$c_1$、$c_2$各有2个交点，其中点D重合，故共3个交点；
③当$3＜n＜4$时，$l_2$与$c_1$、$c_2$各有2个交点且无重合，共4个交点；当$n＜3$时，$l_2$与$c_1$、$c_2$各有2个交点且无重合，共4个交点，即$3＜n＜4$或$n＜3$时，共有4个交点。
【答案】
(1)$y=-x^2-2x+3$
(2)$m=\frac{21}{4}$
(3)①$n=4$；②$n=3$；③$3＜n＜4$或$n＜3$
【知识点】
二次函数解析式求解，直线与抛物线交点，二次函数轴对称变换
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解直线与抛物线交点个数和一元二次方程判别式的关系，同时结合数形结合思想分析交点个数的不同情况，可有效避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设函数表达式，再将抛物线上已知点D的坐标代入求解参数a，最后整理为一般式即可。
(2) 直线与抛物线有唯一交点，说明联立两个函数解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式Δ=0列方程即可求解m的值。
(3) 先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到抛物线$c_2$的顶点坐标，同理求出$c_2$的解析式；再结合平行于x轴的直线与抛物线交点的特征，分情况讨论直线$y=n$的位置，判断交点个数即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$，
∴设$c_1$的解析式为$y=a(x+1)^2+4$，
将$D(0,3)$代入解析式得：$3=a(0+1)^2+4$，解得$a=-1$，
∴$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，整理得$y=-x^2-2x+3$。
(2) 联立直线$l_1$与$c_1$的解析式得$\begin{cases}y=-x^2-2x+3\\y=x+m\end{cases}$，
消去y整理得：$x^2+3x+m-3=0$，
∵直线与$c_1$有唯一交点，
∴该一元二次方程判别式$\Delta=0$，
即$\Delta=3^2-4×1×(m-3)=9-4m+12=0$，
解得$m=\frac{21}{4}$。
(3) 抛物线$c_1$关于y轴对称的抛物线为$c_2$，则$c_2$的顶点为$A(-1,4)$关于y轴的对称点$(1,4)$，且仍过点$D(0,3)$，
同理可得$c_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+4$，整理得$y=-x^2+2x+3$。
结合图象分析：
①当直线$l_2:y=n$过两个抛物线的顶点时，即$n=4$，此时$l_2$与$c_1$、$c_2$各有1个交点，共2个交点；
②当直线$l_2$过两个抛物线的公共交点$D(0,3)$时，即$n=3$，此时$l_2$与$c_1$、$c_2$各有2个交点，其中点D重合，故共3个交点；
③当$3＜n＜4$时，$l_2$与$c_1$、$c_2$各有2个交点且无重合，共4个交点；当$n＜3$时，$l_2$与$c_1$、$c_2$各有2个交点且无重合，共4个交点，即$3＜n＜4$或$n＜3$时，共有4个交点。
【答案】
(1)$y=-x^2-2x+3$
(2)$m=\frac{21}{4}$
(3)①$n=4$；②$n=3$；③$3＜n＜4$或$n＜3$
【知识点】
二次函数解析式求解，直线与抛物线交点，二次函数轴对称变换
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解直线与抛物线交点个数和一元二次方程判别式的关系，同时结合数形结合思想分析交点个数的不同情况，可有效避免漏解。
【难度系数】
0.6
2[2025山东临沂期中,中]如图,已知抛物线$y=-x^2+4x-2$和线段MN,点M和点N的坐标分别为(0,4),(5,4),将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后与线段MN仅有一个交点,则k的取值范围是
6＜k≤11或k=2
.答案
$\because y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$,$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=2$.
将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后得到的抛物线表达式为$y=-(x-2)^2+2+k$. 当抛物线顶点恰好平移到线段MN上时,$2+k=4$,解得$k=2$;当平移后抛物线经过点$M(0,4)$时,$-(0-2)^2+2+k=4$,解得$k=6$,此时$M(0,4)$关于对称轴$x=2$对称的点$(4,4)$在线段MN上,不符合题意;当平移后抛物线经过点$N(5,4)$时,$-(5-2)^2+2+k=4$,解得$k=11$,此时$N(5,4)$关于对称轴$x=2$对称的点$(-1,4)$不在线段MN上,符合题意. 结合图象可知,平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时,$6＜k≤11$或$k=2$.
将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后得到的抛物线表达式为$y=-(x-2)^2+2+k$. 当抛物线顶点恰好平移到线段MN上时,$2+k=4$,解得$k=2$;当平移后抛物线经过点$M(0,4)$时,$-(0-2)^2+2+k=4$,解得$k=6$,此时$M(0,4)$关于对称轴$x=2$对称的点$(4,4)$在线段MN上,不符合题意;当平移后抛物线经过点$N(5,4)$时,$-(5-2)^2+2+k=4$,解得$k=11$,此时$N(5,4)$关于对称轴$x=2$对称的点$(-1,4)$不在线段MN上,符合题意. 结合图象可知,平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时,$6＜k≤11$或$k=2$.
解析
【分析】
解题时首先要掌握二次函数平移“上加下减”的规律，先将原抛物线配方为顶点式确定其对称轴，再写出平移后的抛物线解析式。要使平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点，需分两类讨论：一是抛物线顶点恰好落在线段MN上，此时抛物线与线段MN相切，仅一个交点；二是抛物线与线段MN相交仅一个交点的情况，此时计算抛物线经过线段端点M、N时对应的k值，结合抛物线的对称性判断临界值是否符合要求，最终结合图象确定k的取值范围。
【解析】
先将原抛物线配方得：
$y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$，
可得抛物线对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,2)$。
根据平移规律，向上平移$k(k＞0)$个单位后抛物线解析式为：
$y=-(x-2)^2+2+k$。
分情况讨论：
1. 当抛物线顶点恰好落在线段MN上时，顶点纵坐标等于4，即$2+k=4$，解得$k=2$，此时抛物线与线段MN仅有一个交点（顶点），符合要求。
2. 当平移后抛物线经过点$M(0,4)$时，代入解析式得：$-(0-2)^2+2+k=4$，解得$k=6$。此时点M关于对称轴$x=2$的对称点为$(4,4)$，该点在线段MN上，说明此时抛物线与线段MN有两个交点，不符合要求，故$k=6$需排除。
3. 当平移后抛物线经过点$N(5,4)$时，代入解析式得：$-(5-2)^2+2+k=4$，解得$k=11$。此时点N关于对称轴$x=2$的对称点为$(-1,4)$，该点不在线段MN上，说明此时抛物线与线段MN仅有一个交点N，符合要求。
结合图象可知，当$6＜k≤11$时，抛物线与线段MN仅有一个交点。
综上，k的取值范围是$6＜k≤11$或$k=2$。
【答案】
$6＜k≤11$或$k=2$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数对称性；函数交点问题
【点评】
本题考查二次函数与线段的交点问题，解题时需结合图象分类讨论，注意利用抛物线的对称性判断临界情况是否符合题意，避免漏解或错判端点的取舍。
【难度系数】
0.6
解题时首先要掌握二次函数平移“上加下减”的规律，先将原抛物线配方为顶点式确定其对称轴，再写出平移后的抛物线解析式。要使平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点，需分两类讨论：一是抛物线顶点恰好落在线段MN上，此时抛物线与线段MN相切，仅一个交点；二是抛物线与线段MN相交仅一个交点的情况，此时计算抛物线经过线段端点M、N时对应的k值，结合抛物线的对称性判断临界值是否符合要求，最终结合图象确定k的取值范围。
【解析】
先将原抛物线配方得：
$y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$，
可得抛物线对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,2)$。
根据平移规律，向上平移$k(k＞0)$个单位后抛物线解析式为：
$y=-(x-2)^2+2+k$。
分情况讨论：
1. 当抛物线顶点恰好落在线段MN上时，顶点纵坐标等于4，即$2+k=4$，解得$k=2$，此时抛物线与线段MN仅有一个交点（顶点），符合要求。
2. 当平移后抛物线经过点$M(0,4)$时，代入解析式得：$-(0-2)^2+2+k=4$，解得$k=6$。此时点M关于对称轴$x=2$的对称点为$(4,4)$，该点在线段MN上，说明此时抛物线与线段MN有两个交点，不符合要求，故$k=6$需排除。
3. 当平移后抛物线经过点$N(5,4)$时，代入解析式得：$-(5-2)^2+2+k=4$，解得$k=11$。此时点N关于对称轴$x=2$的对称点为$(-1,4)$，该点不在线段MN上，说明此时抛物线与线段MN仅有一个交点N，符合要求。
结合图象可知，当$6＜k≤11$时，抛物线与线段MN仅有一个交点。
综上，k的取值范围是$6＜k≤11$或$k=2$。
【答案】
$6＜k≤11$或$k=2$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数对称性；函数交点问题
【点评】
本题考查二次函数与线段的交点问题，解题时需结合图象分类讨论，注意利用抛物线的对称性判断临界情况是否符合题意，避免漏解或错判端点的取舍。
【难度系数】
0.6
3[2026安徽六安校级质检，较难]如图是函数$y = |ax^2 + bx + c|$的图象，它是将函数$y = ax^2 + bx + c(a＞0,b^2 -4ac＞0)$的图象的$x$轴上及上方部分保持不变，下方部分沿$x$轴向上翻折而成.
(1) 直线$y = 4$与该图象有
(2) 若直线$y = x + m$与函数$y = |ax^2 + bx + c|$的图象有4个交点，则$m$的取值范围是
(1) 直线$y = 4$与该图象有
3
个交点；(2) 若直线$y = x + m$与函数$y = |ax^2 + bx + c|$的图象有4个交点，则$m$的取值范围是
$1＜m＜\frac{13}{4}$
.答案
(1)由题图可知,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-1,0),(3,0),(0,-3)$,$\therefore \begin{cases}a-b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$ $\therefore y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$. 由翻折可知,在$-1≤x≤3$的范围内,函数$y=|ax^2+bx+c|$的最大值为$|-4|=4$,$\therefore$ 直线$y=4$与函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象有3个交点.
(2)易得抛物线$y=x^2-2x-3$位于$x$轴下方部分翻折后对应的图象的函数表达式为$y=-x^2+2x+3(-1＜x＜3)$. 令$x+m=-x^2+2x+3$,整理得$x^2-x+m-3=0$,当$\Delta=(-1)^2-4(m-3)=0$时,$m=\frac{13}{4}$,此时直线$y=x+m$与函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象有3个交点;当直线$y=x+m$恰好经过点$(-1,0)$时,$0=-1+m$,解得$m=1$,此时直线$y=x+m$与$y=|ax^2+bx+c|$的图象有三个交点,$\therefore$ 由函数图象可知,当$1＜m＜\frac{13}{4}$时,直线$y=x+m$与函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象有4个交点.
(2)易得抛物线$y=x^2-2x-3$位于$x$轴下方部分翻折后对应的图象的函数表达式为$y=-x^2+2x+3(-1＜x＜3)$. 令$x+m=-x^2+2x+3$,整理得$x^2-x+m-3=0$,当$\Delta=(-1)^2-4(m-3)=0$时,$m=\frac{13}{4}$,此时直线$y=x+m$与函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象有3个交点;当直线$y=x+m$恰好经过点$(-1,0)$时,$0=-1+m$,解得$m=1$,此时直线$y=x+m$与$y=|ax^2+bx+c|$的图象有三个交点,$\therefore$ 由函数图象可知,当$1＜m＜\frac{13}{4}$时,直线$y=x+m$与函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象有4个交点.
解析
【分析】
(1) 首先根据图像确定原二次函数经过的三个点：$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$（翻折后y轴交点为3，故原函数y轴交点为-3），代入三点求出原二次函数解析式，得到其顶点坐标；翻折后$-1≤x≤3$区间内函数最大值为原顶点纵坐标的绝对值，据此判断直线$y=4$与图像的交点个数。
(2) 先写出$-1＜x＜3$区间内翻折后对应的函数表达式，联立直线$y=x+m$与该翻折函数，当判别式$\Delta=0$时直线与翻折部分相切，是3个交点的临界值；再求出直线过点$(-1,0)$时的$m$值，这是另一个3个交点的临界值，结合图像即可得到4个交点时$m$的取值范围。
【解析】
(1) 由题图可知，原二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$，代入解析式得：
$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-3\end{cases}$，因此原二次函数解析式为$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，顶点坐标为$(1,-4)$。
根据翻折规则，$-1≤x≤3$区间内翻折后函数的最大值为$|-4|=4$，此时直线$y=4$与翻折部分的顶点交于$(1,4)$，同时与区间外的两条射线各交于1个点，共3个交点。
(2) 原二次函数x轴下方部分翻折后，$-1＜x＜3$区间对应的函数表达式为$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$。
联立$\begin{cases}y=x+m\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$，整理得$x^2 - x + m - 3 = 0$。
当直线与翻折部分相切时，判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(m-3)=0$，解得$m=\frac{13}{4}$，此时直线与图象共有3个交点。
当直线$y=x+m$经过点$(-1,0)$时，代入得$0=-1+m$，解得$m=1$，此时直线与图象也共有3个交点。
结合函数图象可知，当$1＜m＜\frac{13}{4}$时，直线与函数图象有4个交点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{1＜m＜\dfrac{13}{4}}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数翻折变换；函数交点问题
【点评】
本题是二次函数翻折与交点的综合题，解题核心是数形结合思想的应用，先通过已知点确定函数解析式，再找准相切、过特殊点两个临界状态，进而确定参数范围，对图像分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.35
(1) 首先根据图像确定原二次函数经过的三个点：$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$（翻折后y轴交点为3，故原函数y轴交点为-3），代入三点求出原二次函数解析式，得到其顶点坐标；翻折后$-1≤x≤3$区间内函数最大值为原顶点纵坐标的绝对值，据此判断直线$y=4$与图像的交点个数。
(2) 先写出$-1＜x＜3$区间内翻折后对应的函数表达式，联立直线$y=x+m$与该翻折函数，当判别式$\Delta=0$时直线与翻折部分相切，是3个交点的临界值；再求出直线过点$(-1,0)$时的$m$值，这是另一个3个交点的临界值，结合图像即可得到4个交点时$m$的取值范围。
【解析】
(1) 由题图可知，原二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$，代入解析式得：
$\begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-3\end{cases}$，因此原二次函数解析式为$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，顶点坐标为$(1,-4)$。
根据翻折规则，$-1≤x≤3$区间内翻折后函数的最大值为$|-4|=4$，此时直线$y=4$与翻折部分的顶点交于$(1,4)$，同时与区间外的两条射线各交于1个点，共3个交点。
(2) 原二次函数x轴下方部分翻折后，$-1＜x＜3$区间对应的函数表达式为$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$。
联立$\begin{cases}y=x+m\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$，整理得$x^2 - x + m - 3 = 0$。
当直线与翻折部分相切时，判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(m-3)=0$，解得$m=\frac{13}{4}$，此时直线与图象共有3个交点。
当直线$y=x+m$经过点$(-1,0)$时，代入得$0=-1+m$，解得$m=1$，此时直线与图象也共有3个交点。
结合函数图象可知，当$1＜m＜\frac{13}{4}$时，直线与函数图象有4个交点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{1＜m＜\dfrac{13}{4}}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数翻折变换；函数交点问题
【点评】
本题是二次函数翻折与交点的综合题，解题核心是数形结合思想的应用，先通过已知点确定函数解析式，再找准相切、过特殊点两个临界状态，进而确定参数范围，对图像分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.35
4[中]二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$。直线$AB$上有一点$C(m,5)$，将点$C$向右平移4个单位长度，得到点$D$，若抛物线与线段$CD$只有一个公共点，求$a$的取值范围。
答案
【解】设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠0)$. 把点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$代入得$\begin{cases}n=-4,\\-2k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\n=-4,\end{cases}$$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$.
把$C(m,5)$代入,得$m=-3$,$\therefore C(-3,5)$,由平移得$D(1,5)$. $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$,$\therefore \begin{cases}c=-4,\\4a-2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-4,\\b=2a-3,\end{cases}$$\therefore y=ax^2+(2a-3)x-4$.
①当$a＞0$时,若抛物线与线段$CD$只有一个公共点,
,则抛物线上的点$(1,a+2a-3-4)$在$D$点的下方,点$(-3,9a-6a+9-4)$在$C$点的上方,$\therefore a+2a-3-4＜5$,解得$a＜4$,$9a-6a+9-4＞5$,解得$a＞0$,$\therefore 0＜a＜4$;②当$a＜0$时,若抛物线的顶点在线段$CD$上,
,则抛物线与线段$CD$只有一个公共点,$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=5$,即$\frac{4a×(-4)-(2a-3)^2}{4a}=5$,解得$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$.$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3-2a}{2a}$,
$\therefore -2＜\frac{3-2a}{2a}＜0$,解得$a＜-\frac{3}{2}$,$\therefore a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$.
综上,$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：1. 先求直线AB的解析式，利用点C在直线AB上求出C的坐标，结合平移性质得到D点坐标，确定线段CD是横坐标在$[-3,1]$、纵坐标为5的水平线段；2. 利用二次函数过A、B两点，将二次函数解析式用仅含参数a的式子表示；3. 分$a＞0$（开口向上）、$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：$a＞0$时结合两端点的函数值与5的大小关系列不等式求解；$a＜0$时考虑顶点落在CD上的情况，列方程求出a后结合对称轴范围筛选符合条件的解，最终综合得到a的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠0)$，把$A(0,-4)$、$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}n=-4\\-2k+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-3\\n=-4\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$。
2. 求C、D的坐标
把$C(m,5)$代入$y=-3x-4$，得$5=-3m-4$，解得$m=-3$，即$C(-3,5)$。
点C向右平移4个单位得D，$\therefore D$的坐标为$(-3+4,5)$，即$D(1,5)$。
3. 化简二次函数解析式
$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$过$A(0,-4)$、$B(-2,2)$，代入得：
$\begin{cases}c=-4\\4a-2b+c=2\end{cases}$，把$c=-4$代入第二个方程，解得$b=2a-3$
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=ax^2+(2a-3)x-4$。
4. 分类讨论交点情况
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则：
$\begin{cases}a×1^2+(2a-3)×1-4＜5\\a×(-3)^2+(2a-3)×(-3)-4＞5\end{cases}$
解第一个不等式得$a＜4$，解第二个不等式得$a＞0$，$\therefore 0＜a＜4$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段CD只有一个公共点，此时顶点纵坐标为5，即：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=5$
把$c=-4$、$b=2a-3$代入化简求解，得$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$。
抛物线对称轴为$x=\frac{3-2a}{2a}$，需落在区间$[-3,1]$内，结合$a＜0$解得$a＜-\frac{3}{2}$。
其中$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}\approx-0.402＞-\frac{3}{2}$，不符合条件舍去；$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}\approx-5.598＜-\frac{3}{2}$，符合条件。
【答案】
$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$，对应图象：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象性质
3. 平移的坐标规律
【点评】
本题是二次函数与线段交点的典型问题，需要运用分类讨论思想，分别针对抛物线开口向上、向下两种情况分析，既需要考虑端点函数值的大小关系，也需要关注顶点位置的特殊情况，解题时注意排除不符合区间要求的解，考查综合运用函数知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步展开：1. 先求直线AB的解析式，利用点C在直线AB上求出C的坐标，结合平移性质得到D点坐标，确定线段CD是横坐标在$[-3,1]$、纵坐标为5的水平线段；2. 利用二次函数过A、B两点，将二次函数解析式用仅含参数a的式子表示；3. 分$a＞0$（开口向上）、$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：$a＞0$时结合两端点的函数值与5的大小关系列不等式求解；$a＜0$时考虑顶点落在CD上的情况，列方程求出a后结合对称轴范围筛选符合条件的解，最终综合得到a的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠0)$，把$A(0,-4)$、$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}n=-4\\-2k+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-3\\n=-4\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$。
2. 求C、D的坐标
把$C(m,5)$代入$y=-3x-4$，得$5=-3m-4$，解得$m=-3$，即$C(-3,5)$。
点C向右平移4个单位得D，$\therefore D$的坐标为$(-3+4,5)$，即$D(1,5)$。
3. 化简二次函数解析式
$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$过$A(0,-4)$、$B(-2,2)$，代入得：
$\begin{cases}c=-4\\4a-2b+c=2\end{cases}$，把$c=-4$代入第二个方程，解得$b=2a-3$
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=ax^2+(2a-3)x-4$。
4. 分类讨论交点情况
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，若抛物线与线段CD只有一个公共点
，则：$\begin{cases}a×1^2+(2a-3)×1-4＜5\\a×(-3)^2+(2a-3)×(-3)-4＞5\end{cases}$
解第一个不等式得$a＜4$，解第二个不等式得$a＞0$，$\therefore 0＜a＜4$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，若抛物线的顶点在线段CD上
，则抛物线与线段CD只有一个公共点，此时顶点纵坐标为5，即：$\frac{4ac-b^2}{4a}=5$
把$c=-4$、$b=2a-3$代入化简求解，得$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$。
抛物线对称轴为$x=\frac{3-2a}{2a}$，需落在区间$[-3,1]$内，结合$a＜0$解得$a＜-\frac{3}{2}$。
其中$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}\approx-0.402＞-\frac{3}{2}$，不符合条件舍去；$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}\approx-5.598＜-\frac{3}{2}$，符合条件。
【答案】
$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$，对应图象：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象性质
3. 平移的坐标规律
【点评】
本题是二次函数与线段交点的典型问题，需要运用分类讨论思想，分别针对抛物线开口向上、向下两种情况分析，既需要考虑端点函数值的大小关系，也需要关注顶点位置的特殊情况，解题时注意排除不符合区间要求的解，考查综合运用函数知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
5[2026安徽合肥校级质检,中]已知二次函数$y=ax^2 -6ax +9(a＞0)$.
(1) 该二次函数的图象的对称轴为直线
(2) 若$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(2,3),B(3,6),C(4,3)$,且此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,则$a$的取值范围是
(1) 该二次函数的图象的对称轴为直线
$x=3$
;(2) 若$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(2,3),B(3,6),C(4,3)$,且此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,则$a$的取值范围是
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$
.答案
(1)该二次函数的图象的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2a}=3$.
(2)由(1)可得,点$B(3,6)$在抛物线对称轴上. $\because A(2,3),C(4,3)$,$\therefore$ 点$A,C$关于对称轴对称,$\therefore △ ABC$是等腰三角形. $\because$ 二次函数$y=ax^2-6ax+9=a(x-3)^2+9-9a(a＞0)$,$\therefore$ 抛物线的开口向上,顶点坐标为$(3,9-9a)$. 当抛物线的顶点在$△ ABC$的内部时,此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,此时$3＜9-9a＜6$,解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$;当抛物线顶点在线段$AC$下方且抛物线恰好经过$A(2,3)$和$C(4,3)$时,此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,将$A(2,3)$代入$y=ax^2-6ax+9$,得$-8a+9=3$,解得$a=\frac{3}{4}$,满足$9-9a＜3$. 综上,$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$.
(2)由(1)可得,点$B(3,6)$在抛物线对称轴上. $\because A(2,3),C(4,3)$,$\therefore$ 点$A,C$关于对称轴对称,$\therefore △ ABC$是等腰三角形. $\because$ 二次函数$y=ax^2-6ax+9=a(x-3)^2+9-9a(a＞0)$,$\therefore$ 抛物线的开口向上,顶点坐标为$(3,9-9a)$. 当抛物线的顶点在$△ ABC$的内部时,此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,此时$3＜9-9a＜6$,解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$;当抛物线顶点在线段$AC$下方且抛物线恰好经过$A(2,3)$和$C(4,3)$时,此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,将$A(2,3)$代入$y=ax^2-6ax+9$,得$-8a+9=3$,解得$a=\frac{3}{4}$,满足$9-9a＜3$. 综上,$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
(1) 对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数计算即可得到结果。
(2) 先将二次函数化为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再分析$△ ABC$的特征：A、C关于对称轴$x=3$对称，B在对称轴上，$△ ABC$为等腰三角形。接下来分两种情况讨论交点个数：①抛物线顶点在$△ ABC$内部时，抛物线与线段AB、BC各有1个交点，共2个交点，据此列不等式求解；②抛物线顶点在线段AC下方，且恰好经过A、C两点时，抛物线与$△ ABC$也只有A、C2个交点，代入点坐标求出$a$值即可，最后合并两种情况的$a$的范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=ax^2 -6ax +9$中，$b=-6a$，代入对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6a}{2a}=3$
故对称轴为直线$x=3$。
(2) 将二次函数配方化为顶点式：
$y=ax^2-6ax+9=a(x-3)^2+9-9a$
$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，顶点坐标为$(3,9-9a)$。
已知点$B(3,6)$在对称轴$x=3$上，$A(2,3)$、$C(4,3)$纵坐标相同，两点关于直线$x=3$对称，因此$△ ABC$是等腰三角形，底边AC在直线$y=3$上。
分两种情况讨论：
① 当抛物线顶点在$△ ABC$内部时，函数图象与$△ ABC$只有两个交点，此时顶点纵坐标满足：
$3＜9-9a＜6$
解不等式得：$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$。
② 当抛物线顶点在线段AC下方（即$9-9a＜3$），且抛物线恰好经过A、C两点时，函数图象与$△ ABC$也只有两个交点，将$A(2,3)$代入解析式：
$a×2^2-6a×2+9=3$
解得$a=\frac{3}{4}$，此时$9-9a=\frac{9}{4}＜3$，符合条件。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=3}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}或a=\frac{3}{4}}$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式；函数图象交点问题
【点评】
本题结合二次函数图象与几何图形考查交点问题，需要熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论顶点位置分析交点个数，易错点是容易遗漏抛物线经过A、C两点的特殊情况，解题时要结合图象验证所有可能的情形。
【难度系数】
0.6
(1) 对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数计算即可得到结果。
(2) 先将二次函数化为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再分析$△ ABC$的特征：A、C关于对称轴$x=3$对称，B在对称轴上，$△ ABC$为等腰三角形。接下来分两种情况讨论交点个数：①抛物线顶点在$△ ABC$内部时，抛物线与线段AB、BC各有1个交点，共2个交点，据此列不等式求解；②抛物线顶点在线段AC下方，且恰好经过A、C两点时，抛物线与$△ ABC$也只有A、C2个交点，代入点坐标求出$a$值即可，最后合并两种情况的$a$的范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=ax^2 -6ax +9$中，$b=-6a$，代入对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6a}{2a}=3$
故对称轴为直线$x=3$。
(2) 将二次函数配方化为顶点式：
$y=ax^2-6ax+9=a(x-3)^2+9-9a$
$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，顶点坐标为$(3,9-9a)$。
已知点$B(3,6)$在对称轴$x=3$上，$A(2,3)$、$C(4,3)$纵坐标相同，两点关于直线$x=3$对称，因此$△ ABC$是等腰三角形，底边AC在直线$y=3$上。
分两种情况讨论：
① 当抛物线顶点在$△ ABC$内部时，函数图象与$△ ABC$只有两个交点，此时顶点纵坐标满足：
$3＜9-9a＜6$
解不等式得：$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$。
② 当抛物线顶点在线段AC下方（即$9-9a＜3$），且抛物线恰好经过A、C两点时，函数图象与$△ ABC$也只有两个交点，将$A(2,3)$代入解析式：
$a×2^2-6a×2+9=3$
解得$a=\frac{3}{4}$，此时$9-9a=\frac{9}{4}＜3$，符合条件。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=3}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}或a=\frac{3}{4}}$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式；函数图象交点问题
【点评】
本题结合二次函数图象与几何图形考查交点问题，需要熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论顶点位置分析交点个数，易错点是容易遗漏抛物线经过A、C两点的特殊情况，解题时要结合图象验证所有可能的情形。
【难度系数】
0.6
