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11 [2025 乐山]若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为 （
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
要求代数式$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值，首先观察该代数式的结构，可通过提公因式法因式分解为$x_1x_2(x_1+x_2)$，因此只需先求出一元二次方程的两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再代入计算即可，无需单独求解两个根的具体值，利用一元二次方程根与系数的关系就能快速得到所需结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
已知方程为$x^2 - x - 2 = 0$，对应$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，代入得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
对所求代数式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=(-2)×1=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】
本题考查根与系数关系的灵活应用，将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式是解题的核心，这种方法可以避免求解方程根的繁琐步骤，有效提高计算效率。
【难度系数】
0.7
要求代数式$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值，首先观察该代数式的结构，可通过提公因式法因式分解为$x_1x_2(x_1+x_2)$，因此只需先求出一元二次方程的两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再代入计算即可，无需单独求解两个根的具体值，利用一元二次方程根与系数的关系就能快速得到所需结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
已知方程为$x^2 - x - 2 = 0$，对应$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，代入得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
对所求代数式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=(-2)×1=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】
本题考查根与系数关系的灵活应用，将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式是解题的核心，这种方法可以避免求解方程根的繁琐步骤，有效提高计算效率。
【难度系数】
0.7
12 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 -4m -1=0$有两个实数根$x_1,x_2$，且满足$(x_1 + 2)(x_2 + 2) - 2x_1x_2 + 4 = 0$，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$9$
C.$9$或$-1$
D.$1$或$8$
B
）A.$-1$
B.$9$
C.$9$或$-1$
D.$1$或$8$
答案
B
【解析】$\because$ 方程$x^2 -2mx +m^2 -4m -1=0$有两个实数根,$\therefore \Delta=(-2m)^2 -4(m^2 -4m -1)=16m +4≥0$,解得$m≥-\frac{1}{4}$.$\because$ 方程的两个实数根为$x_1,x_2$,$\therefore x_1 + x_2=2m$,$x_1x_2=m^2 -4m -1$.$\because (x_1 + 2)(x_2 + 2) - 2x_1x_2 + 4 = 0$,$\therefore x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) +4 -2x_1x_2 +4=0$.$\therefore 2(x_1 + x_2) -x_1x_2 +8=0$.
$\therefore 4m -m^2 +4m +1 +8=0$,即$m^2 -8m -9=0$,解得$m_1=9$,$m_2=-1$(不合题意,舍去).$\therefore m$的值为$9$.
【解析】$\because$ 方程$x^2 -2mx +m^2 -4m -1=0$有两个实数根,$\therefore \Delta=(-2m)^2 -4(m^2 -4m -1)=16m +4≥0$,解得$m≥-\frac{1}{4}$.$\because$ 方程的两个实数根为$x_1,x_2$,$\therefore x_1 + x_2=2m$,$x_1x_2=m^2 -4m -1$.$\because (x_1 + 2)(x_2 + 2) - 2x_1x_2 + 4 = 0$,$\therefore x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) +4 -2x_1x_2 +4=0$.$\therefore 2(x_1 + x_2) -x_1x_2 +8=0$.
$\therefore 4m -m^2 +4m +1 +8=0$,即$m^2 -8m -9=0$,解得$m_1=9$,$m_2=-1$(不合题意,舍去).$\therefore m$的值为$9$.
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目给出的“一元二次方程有两个实数根”这一前提，第一步先通过根的判别式求出参数m的取值范围，避免后续出现增根；其次题目给出了包含两根$x_1,x_2$的等式，可利用一元二次方程根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式；再将给出的代数式展开化简，把$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入即可得到关于m的方程，解出m的数值后，对照之前得到的m的取值范围舍去不符合条件的解，就能得到最终结果。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 -4m -1=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 -4m -1) = 16m +4 ≥0$，
解得$m ≥ -\frac{1}{4}$。
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 2m$，$x_1x_2 = m^2 -4m -1$。
将$(x_1 + 2)(x_2 + 2) - 2x_1x_2 + 4 = 0$展开化简：
左边$= x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 +4 -2x_1x_2 +4 = 2(x_1+x_2) -x_1x_2 +8$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式得：
$2×2m - (m^2 -4m -1) +8 =0$，
整理得$m^2 -8m -9 =0$，因式分解得$(m-9)(m+1)=0$，
解得$m_1=9$，$m_2=-1$。
∵ $m ≥ -\frac{1}{4}$，
∴ $m=-1$不符合要求，舍去，故$m=9$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，易错点是容易忽略“方程有两个实数根”的前提条件，未通过判别式确定参数的取值范围，导致误选两个解，解题时一定要注意解出参数后验证是否符合判别式的要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要抓住题目给出的“一元二次方程有两个实数根”这一前提，第一步先通过根的判别式求出参数m的取值范围，避免后续出现增根；其次题目给出了包含两根$x_1,x_2$的等式，可利用一元二次方程根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式；再将给出的代数式展开化简，把$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入即可得到关于m的方程，解出m的数值后，对照之前得到的m的取值范围舍去不符合条件的解，就能得到最终结果。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 -4m -1=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 -4m -1) = 16m +4 ≥0$，
解得$m ≥ -\frac{1}{4}$。
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 2m$，$x_1x_2 = m^2 -4m -1$。
将$(x_1 + 2)(x_2 + 2) - 2x_1x_2 + 4 = 0$展开化简：
左边$= x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 +4 -2x_1x_2 +4 = 2(x_1+x_2) -x_1x_2 +8$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式得：
$2×2m - (m^2 -4m -1) +8 =0$，
整理得$m^2 -8m -9 =0$，因式分解得$(m-9)(m+1)=0$，
解得$m_1=9$，$m_2=-1$。
∵ $m ≥ -\frac{1}{4}$，
∴ $m=-1$不符合要求，舍去，故$m=9$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，易错点是容易忽略“方程有两个实数根”的前提条件，未通过判别式确定参数的取值范围，导致误选两个解，解题时一定要注意解出参数后验证是否符合判别式的要求。
【难度系数】
0.6
13 在解关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$时，小红看错了常数项$q$，得到方程的两个根是－3，1，小明看错了一次项系数$p$，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是
$x^2 + 2x -20=0$
.答案
$x^2 + 2x -20=0$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。再分析两人的看错情况：小红仅看错常数项$q$，说明她得到的两根对应的一次项系数$p$是正确的，可通过她的两根计算正确的$p$；小明仅看错一次项系数$p$，说明他得到的两根对应的常数项$q$是正确的，可通过他的两根计算正确的$q$，最后代入得到原方程即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 求正确的一次项系数$p$：
小红仅看错常数项$q$，因此她得到的两根$-3$、$1$满足两根和与$p$的对应关系：
$-3+1=-2=-p$
解得$p=2$。
2. 求正确的常数项$q$：
小明仅看错一次项系数$p$，因此他得到的两根$5$、$-4$满足两根积与$q$的对应关系：
$5×(-4)=-20=q$
解得$q=-20$。
将$p=2$、$q=-20$代入方程，可得原方程。
【答案】
$x^2 + 2x -20=0$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的系数意义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时，另一项对应的根的运算结果不受影响”这一要点，无需解方程即可快速求出原方程的系数，能较好考查对韦达定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。再分析两人的看错情况：小红仅看错常数项$q$，说明她得到的两根对应的一次项系数$p$是正确的，可通过她的两根计算正确的$p$；小明仅看错一次项系数$p$，说明他得到的两根对应的常数项$q$是正确的，可通过他的两根计算正确的$q$，最后代入得到原方程即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 求正确的一次项系数$p$：
小红仅看错常数项$q$，因此她得到的两根$-3$、$1$满足两根和与$p$的对应关系：
$-3+1=-2=-p$
解得$p=2$。
2. 求正确的常数项$q$：
小明仅看错一次项系数$p$，因此他得到的两根$5$、$-4$满足两根积与$q$的对应关系：
$5×(-4)=-20=q$
解得$q=-20$。
将$p=2$、$q=-20$代入方程，可得原方程。
【答案】
$x^2 + 2x -20=0$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的系数意义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时，另一项对应的根的运算结果不受影响”这一要点，无需解方程即可快速求出原方程的系数，能较好考查对韦达定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
14 [2025 宿迁]若方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$,则$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)=\_\_\_\_\_\_.$
答案
$-4048$
【解析】$\because$ 方程$x^2 -2024x -2025=0$的两个根分别是$m,n$,$\therefore m^2 -2024m -2025=0$,$n^2 -2024n -2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$.$\therefore m^2=2024m +2025$,$n^2=2024n +2025$.$\therefore (m^2 -2023m -2026)(n^2 -2023n -2026)=(2024m +2025 -2023m -2026)(2024n +2025 -2023n -2026)=(m-1)(n-1)=mn -(m+n)+1=-2025 -2024 +1=-4048$.
【解析】$\because$ 方程$x^2 -2024x -2025=0$的两个根分别是$m,n$,$\therefore m^2 -2024m -2025=0$,$n^2 -2024n -2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$.$\therefore m^2=2024m +2025$,$n^2=2024n +2025$.$\therefore (m^2 -2023m -2026)(n^2 -2023n -2026)=(2024m +2025 -2023m -2026)(2024n +2025 -2023n -2026)=(m-1)(n-1)=mn -(m+n)+1=-2025 -2024 +1=-4048$.
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解。首先，方程的根代入原方程成立，可利用该性质将待求式中的二次项$m^2$、$n^2$替换为含m、n的一次式，实现降次化简；化简后的式子展开后，即可直接代入根与系数关系得到的$m+n$、$mn$的值计算结果。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2024$，$mn=-2025$。
对上述根满足的等式变形得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$。
将上述关系代入待求式化简：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
代入$m+n=2024$，$mn=-2025$计算：
原式$=-2025 - 2024 + 1 = -4048$。
【答案】
$-4048$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型求值题型，解题核心是利用根的定义对高次项降次，避免直接求解方程根的繁琐计算，熟练掌握根的定义和韦达定理的结合运用即可快速解题。
【难度系数】
0.65
本题需结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解。首先，方程的根代入原方程成立，可利用该性质将待求式中的二次项$m^2$、$n^2$替换为含m、n的一次式，实现降次化简；化简后的式子展开后，即可直接代入根与系数关系得到的$m+n$、$mn$的值计算结果。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2024$，$mn=-2025$。
对上述根满足的等式变形得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$。
将上述关系代入待求式化简：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
代入$m+n=2024$，$mn=-2025$计算：
原式$=-2025 - 2024 + 1 = -4048$。
【答案】
$-4048$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型求值题型，解题核心是利用根的定义对高次项降次，避免直接求解方程根的繁琐计算，熟练掌握根的定义和韦达定理的结合运用即可快速解题。
【难度系数】
0.65
15 新考向 阅读理解题 小艺发现了一种解一元二次方程的新方法.例如:已知方程$2x^2 - 3x -7=0$,$\because a=2,b=-3,c=-7$,$\therefore x_1 + x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{7}{2}$.设$x_1=\frac{3}{4}+k$,$x_2=\frac{3}{4}-k$,则$x_1x_2=(\frac{3}{4}+k)(\frac{3}{4}-k)=-\frac{7}{2}$,即$\frac{9}{16}-k^2=-\frac{7}{2}$,解得$k=\pm\frac{\sqrt{65}}{4}$.$\therefore$原方程的解为$x_1=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{65}}{4}$,$x_2=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{65}}{4}$.请利用小艺的方法解方程$3x^2 -4x -2=0$.
答案
$\because 3x^2 -4x -2=0$,$\therefore x_1 + x_2=\frac{4}{3}$,$x_1x_2=-\frac{2}{3}$.设$x_1=\frac{2}{3}+k$,$x_2=\frac{2}{3}-k$,则$x_1x_2=(\frac{2}{3}+k)(\frac{2}{3}-k)=-\frac{2}{3}$,即$\frac{4}{9}-k^2=-\frac{2}{3}$,解得$k=\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$.$\therefore$ 原方程的解为$x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}$,$x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3}$
解析
【分析】
本题为阅读理解类的解方程题，可参照给出的示例思路解题：第一步先确定一元二次方程的各项系数，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积；第二步取两根之和的一半作为基准值，将两根设为“基准值+k”“基准值−k”的对称形式；第三步将设出的两根代入两根之积的表达式，用平方差公式展开后求解k；最后将k代回所设的根的表达式，即可得到方程的解。
【解析】
解：$\because 3x^2 -4x -2=0$，其中$a=3,b=-4,c=-2$
$\therefore$ 根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2=\frac{4}{3}$，$x_1x_2=-\frac{2}{3}$
两根的平均值为$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$，设$x_1=\frac{2}{3}+k$，$x_2=\frac{2}{3}-k$
则$x_1x_2=(\frac{2}{3}+k)(\frac{2}{3}-k)=-\frac{2}{3}$
由平方差公式展开得：$\frac{4}{9}-k^2=-\frac{2}{3}$
移项计算得：$k^2=\frac{4}{9}+\frac{6}{9}=\frac{10}{9}$
解得$k=\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$
将k代入所设的根的表达式得：
$x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3}$
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
1.根与系数的关系 2.平方差公式 3.一元二次方程求解
【点评】
该解法运用对称设元的思想，结合根与系数的关系求解一元二次方程，简化了计算过程，也能帮助我们更好地理解一元二次方程两根之间的内在联系，是一类很巧妙的解方程思路。
【难度系数】
0.7
本题为阅读理解类的解方程题，可参照给出的示例思路解题：第一步先确定一元二次方程的各项系数，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积；第二步取两根之和的一半作为基准值，将两根设为“基准值+k”“基准值−k”的对称形式；第三步将设出的两根代入两根之积的表达式，用平方差公式展开后求解k；最后将k代回所设的根的表达式，即可得到方程的解。
【解析】
解：$\because 3x^2 -4x -2=0$，其中$a=3,b=-4,c=-2$
$\therefore$ 根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2=\frac{4}{3}$，$x_1x_2=-\frac{2}{3}$
两根的平均值为$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$，设$x_1=\frac{2}{3}+k$，$x_2=\frac{2}{3}-k$
则$x_1x_2=(\frac{2}{3}+k)(\frac{2}{3}-k)=-\frac{2}{3}$
由平方差公式展开得：$\frac{4}{9}-k^2=-\frac{2}{3}$
移项计算得：$k^2=\frac{4}{9}+\frac{6}{9}=\frac{10}{9}$
解得$k=\pm\frac{\sqrt{10}}{3}$
将k代入所设的根的表达式得：
$x_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3}$
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
1.根与系数的关系 2.平方差公式 3.一元二次方程求解
【点评】
该解法运用对称设元的思想，结合根与系数的关系求解一元二次方程，简化了计算过程，也能帮助我们更好地理解一元二次方程两根之间的内在联系，是一类很巧妙的解方程思路。
【难度系数】
0.7
16 新考向 阅读理解题 阅读材料：
材料一:若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
材料二:已知一元二次方程$x^2 - x -1 =0$的两个实数根为$m,n$，求$m^2n + mn^2$的值。
解:∵一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个实数根为$m,n$，∴$m +n=1$，$mn=-1$。
∴$m^2n + mn^2 = mn(m +n) = -1×1 = -1$。
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题:
（1）一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$，则$x_1 +x_2 = $
（2）已知一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$m,n$，求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值；
（3）已知实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0$，$2t^2 -3t -1=0$，且$s≠t$，求$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$的值。
材料一:若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
材料二:已知一元二次方程$x^2 - x -1 =0$的两个实数根为$m,n$，求$m^2n + mn^2$的值。
解:∵一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个实数根为$m,n$，∴$m +n=1$，$mn=-1$。
∴$m^2n + mn^2 = mn(m +n) = -1×1 = -1$。
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题:
（1）一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$，则$x_1 +x_2 = $
$\frac{3}{2}$
，$x_1x_2 = $$-\frac{1}{2}$
；（2）已知一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$m,n$，求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值；
（3）已知实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0$，$2t^2 -3t -1=0$，且$s≠t$，求$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$的值。
答案
(1) $\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2) $\because$ 一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$m,n$,$\therefore m +n=\frac{3}{2}$,$mn=-\frac{1}{2}$.$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(3) $\because$ 实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0$,$2t^2 -3t -1=0$,且$s≠ t$,$\therefore s$与$t$可以看成是方程$2x^2 -3x -1=0$的两个实数根.$\therefore s + t=\frac{3}{2}$,$st=-\frac{1}{2}$.$\therefore (s-t)^2=(s+t)^2 -4st=(\frac{3}{2})^2 -4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$.
$\therefore s-t=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$.$\because \frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{-(s-t)}{st}$,$\therefore$ 当$s-t=-\frac{\sqrt{17}}{2}$时,$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{17}$;当$s-t=\frac{\sqrt{17}}{2}$时,$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{-\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{17}$.综上所述,$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值为$-\sqrt{17}$或$\sqrt{17}$
(2) $\because$ 一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$m,n$,$\therefore m +n=\frac{3}{2}$,$mn=-\frac{1}{2}$.$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(3) $\because$ 实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0$,$2t^2 -3t -1=0$,且$s≠ t$,$\therefore s$与$t$可以看成是方程$2x^2 -3x -1=0$的两个实数根.$\therefore s + t=\frac{3}{2}$,$st=-\frac{1}{2}$.$\therefore (s-t)^2=(s+t)^2 -4st=(\frac{3}{2})^2 -4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$.
$\therefore s-t=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$.$\because \frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{-(s-t)}{st}$,$\therefore$ 当$s-t=-\frac{\sqrt{17}}{2}$时,$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{17}$;当$s-t=\frac{\sqrt{17}}{2}$时,$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{-\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{17}$.综上所述,$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值为$-\sqrt{17}$或$\sqrt{17}$
解析
【分析】
（1）直接应用材料给出的一元二次方程根与系数的关系，找到方程中$a、b、c$的取值，分别代入$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
（2）先将所求代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分变形，再利用完全平方公式将分子转化为含有$m+n$、$mn$的形式，最后代入根与系数的关系结果计算。
（3）根据$s、t$满足同个方程且$s≠t$，可将$s、t$看作方程$2x^2-3x-1=0$的两个不等实根，先得到$s+t$、$st$的值，再将所求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$通分变形，通过$(s-t)^2=(s+t)^2-4st$求出$s-t$的两种可能值，最后分类代入计算得到结果。
【解析】
（1）对于一元二次方程$2x^2-3x-1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
（2）
∵一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$m,n$，
∴$m +n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$。
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}$，
代入数值计算：$\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
（3）
∵实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0$，$2t^2 -3t -1=0$，且$s≠ t$，
∴$s$与$t$是方程$2x^2 -3x -1=0$的两个不相等的实数根，
∴$s + t=\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$。
∴$(s-t)^2=(s+t)^2 -4st=(\frac{3}{2})^2 -4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$，
∴$s-t=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$。
又
∵$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{-(s-t)}{st}$，
当$s-t=\frac{\sqrt{17}}{2}$时，$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{-\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{17}$；
当$s-t=-\frac{\sqrt{17}}{2}$时，$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{17}$。
综上，$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值为$\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$。
【答案】
（1）$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$；（2）$-\frac{13}{2}$；（3）$\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$
【知识点】
根与系数的关系，代数式变形求值，一元二次方程根的定义
【点评】
本题为阅读理解类题型，侧重考查对根与系数关系的灵活运用，需要熟练掌握通分、完全平方公式变形等代数运算技巧，同时要注意第三问中开方得到的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）直接应用材料给出的一元二次方程根与系数的关系，找到方程中$a、b、c$的取值，分别代入$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
（2）先将所求代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分变形，再利用完全平方公式将分子转化为含有$m+n$、$mn$的形式，最后代入根与系数的关系结果计算。
（3）根据$s、t$满足同个方程且$s≠t$，可将$s、t$看作方程$2x^2-3x-1=0$的两个不等实根，先得到$s+t$、$st$的值，再将所求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$通分变形，通过$(s-t)^2=(s+t)^2-4st$求出$s-t$的两种可能值，最后分类代入计算得到结果。
【解析】
（1）对于一元二次方程$2x^2-3x-1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
（2）
∵一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两个根为$m,n$，
∴$m +n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$。
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2 +m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}$，
代入数值计算：$\frac{(\frac{3}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$。
（3）
∵实数$s,t$满足$2s^2 -3s -1=0$，$2t^2 -3t -1=0$，且$s≠ t$，
∴$s$与$t$是方程$2x^2 -3x -1=0$的两个不相等的实数根，
∴$s + t=\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$。
∴$(s-t)^2=(s+t)^2 -4st=(\frac{3}{2})^2 -4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$，
∴$s-t=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$。
又
∵$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{-(s-t)}{st}$，
当$s-t=\frac{\sqrt{17}}{2}$时，$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{-\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{17}$；
当$s-t=-\frac{\sqrt{17}}{2}$时，$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{17}$。
综上，$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值为$\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$。
【答案】
（1）$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$；（2）$-\frac{13}{2}$；（3）$\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$
【知识点】
根与系数的关系，代数式变形求值，一元二次方程根的定义
【点评】
本题为阅读理解类题型，侧重考查对根与系数关系的灵活运用，需要熟练掌握通分、完全平方公式变形等代数运算技巧，同时要注意第三问中开方得到的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
