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1 [2025 湖北]若一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，则下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两个根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从题干给出的方程中确定$a、b、c$的取值，分别代入公式计算两根之和与两根之积，最后和四个选项对比即可选出正确答案。
【解析】
将题干中的方程$x^2 -4x +3=0$与一元二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得参数值：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据根与系数的关系计算：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，因此选项A、B均错误；
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础考点，直接考查根与系数关系的公式应用，解题时需注意准确识别方程中$a、b、c$的符号，避免因符号记错导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两个根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从题干给出的方程中确定$a、b、c$的取值，分别代入公式计算两根之和与两根之积，最后和四个选项对比即可选出正确答案。
【解析】
将题干中的方程$x^2 -4x +3=0$与一元二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得参数值：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据根与系数的关系计算：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，因此选项A、B均错误；
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础考点，直接考查根与系数关系的公式应用，解题时需注意准确识别方程中$a、b、c$的符号，避免因符号记错导致计算错误。
【难度系数】
0.9
2 教材变式题 若$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 2025=0$的两个实数根，则$mn + m + n$等于（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2026$
D.$2026$
A
）A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2026$
D.$2026$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先题目给出m、n是一元二次方程的两个实数根，所求代数式mn+m+n可整理为两根之积加两根之和的形式，因此无需解方程求出m、n的具体值，直接利用根与系数的关系（韦达定理）整体代入计算即可。第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步根据韦达定理分别求出m+n和mn的值，第三步代入变形后的代数式计算得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$m$和$n$，根据根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$
已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 2025=0$的两个实数根，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2025$，因此：
$m+n=-\frac{-1}{1}=1$，$mn=\frac{-2025}{1}=-2025$
将所求代数式变形得：$mn + m + n = mn + (m+n)$
代入数值计算：$-2025 + 1 = -2024$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对韦达定理的掌握程度和整体代入思想的运用，熟练记忆一元二次方程两根之和、两根之积与系数的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先题目给出m、n是一元二次方程的两个实数根，所求代数式mn+m+n可整理为两根之积加两根之和的形式，因此无需解方程求出m、n的具体值，直接利用根与系数的关系（韦达定理）整体代入计算即可。第一步先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步根据韦达定理分别求出m+n和mn的值，第三步代入变形后的代数式计算得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$m$和$n$，根据根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$
已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 2025=0$的两个实数根，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2025$，因此：
$m+n=-\frac{-1}{1}=1$，$mn=\frac{-2025}{1}=-2025$
将所求代数式变形得：$mn + m + n = mn + (m+n)$
代入数值计算：$-2025 + 1 = -2024$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对韦达定理的掌握程度和整体代入思想的运用，熟练记忆一元二次方程两根之和、两根之积与系数的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3 [2025河北]以一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第
三
象限。答案
三
解析
【分析】
解题时首先需将给定的一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和（即点的横坐标）与两根之积（即点的纵坐标），最后根据各象限内点的坐标符号特征判断点所在的象限即可。
【解析】
1. 先将方程化为一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开整理，得$x^2+2x-3=0$。
2. 利用根与系数的关系求横、纵坐标：
设该方程的两根为$x_1$、$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=-3$，因此：
横坐标（两根之和）：$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$
纵坐标（两根之积）：$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$
3. 判断点所在象限：
所得点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点结合考查，核心是对韦达定理和象限坐标符号规律的掌握，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先需将给定的一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和（即点的横坐标）与两根之积（即点的纵坐标），最后根据各象限内点的坐标符号特征判断点所在的象限即可。
【解析】
1. 先将方程化为一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开整理，得$x^2+2x-3=0$。
2. 利用根与系数的关系求横、纵坐标：
设该方程的两根为$x_1$、$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=-3$，因此：
横坐标（两根之和）：$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$
纵坐标（两根之积）：$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$
3. 判断点所在象限：
所得点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点结合考查，核心是对韦达定理和象限坐标符号规律的掌握，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
4 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2$。若$x_1x_2 = 5$，则$k$的值为
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先抓住题干两个核心条件：一是方程有两个不相等的实数根，说明判别式Δ＞0；二是给出两根之积为5，可结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先列出关于k的方程求出k的候选值，再代入判别式验证，舍去不符合根的情况的k值，即可得到正确结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2k+1$，常数项$c=k^2+1$。
1. 根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，结合题意$x_1x_2=5$，可得：
$k^2 + 1 = 5$
解得$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$。
2. 因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)$
$=4k^2+4k+1 - 4k^2 - 4$
$=4k - 3$
令$4k-3＞0$，解得$k＞\frac{3}{4}$。
3. 验证候选k值：$k=2$满足$k＞\frac{3}{4}$，$k=-2$不满足，故舍去$k=-2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础综合题，易错点是求出k的候选值后忽略“两个不相等的实数根”对参数的限制，因此解题时要注意结合根的情况对所求参数进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干两个核心条件：一是方程有两个不相等的实数根，说明判别式Δ＞0；二是给出两根之积为5，可结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先列出关于k的方程求出k的候选值，再代入判别式验证，舍去不符合根的情况的k值，即可得到正确结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2k+1$，常数项$c=k^2+1$。
1. 根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，结合题意$x_1x_2=5$，可得：
$k^2 + 1 = 5$
解得$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$。
2. 因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)$
$=4k^2+4k+1 - 4k^2 - 4$
$=4k - 3$
令$4k-3＞0$，解得$k＞\frac{3}{4}$。
3. 验证候选k值：$k=2$满足$k＞\frac{3}{4}$，$k=-2$不满足，故舍去$k=-2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础综合题，易错点是求出k的候选值后忽略“两个不相等的实数根”对参数的限制，因此解题时要注意结合根的情况对所求参数进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
5 [2025泉州永春期末]已知关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根分别为$x_1,x_2$。
(1)若$a=1,b=-2,c=-3$,求$x_1+x_2$的值。
(2)若a,b,c均为奇数,是否存在某个一元二次方程,使得它的两根$x_1,x_2$都是整数?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由。
(1)若$a=1,b=-2,c=-3$,求$x_1+x_2$的值。
(2)若a,b,c均为奇数,是否存在某个一元二次方程,使得它的两根$x_1,x_2$都是整数?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由。
答案
(1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a ≠ 0)$的两根分别为$x_1,x_2$,且$a=1,b=-2,c=-3$,$\therefore$ 根据一元二次方程根与系数的关系,可得$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=2$
(2) 不存在某个一元二次方程,使得它的两根$x_1,x_2$都是整数 理由:$\because$ 一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a ≠ 0)$的两根$x_1,x_2$都是整数,$\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.$\because a,b,c$均为奇数,$\therefore -\frac{b}{a}$和$\frac{c}{a}$均为奇数.假设$x_1,x_2$都是整数,那么$x_1 + x_2$与$x_1x_2$也都是整数.分情况讨论:① 当$x_1,x_2$都是奇数时,$x_1 + x_2$为偶数,$x_1x_2$为奇数,这与$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$为奇数矛盾;② 当$x_1,x_2$为一奇一偶时,$x_1 + x_2$为奇数,$x_1x_2$为偶数,这与$x_1x_2=\frac{c}{a}$为奇数矛盾;③ 当$x_1,x_2$都是偶数时,$x_1 + x_2$为偶数,$x_1x_2$为偶数,这与$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$为奇数,$x_1x_2=\frac{c}{a}$为奇数矛盾.$\therefore$ 不存在某个一元二次方程,使得它的两根$x_1,x_2$都是整数.
(2) 不存在某个一元二次方程,使得它的两根$x_1,x_2$都是整数 理由:$\because$ 一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a ≠ 0)$的两根$x_1,x_2$都是整数,$\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.$\because a,b,c$均为奇数,$\therefore -\frac{b}{a}$和$\frac{c}{a}$均为奇数.假设$x_1,x_2$都是整数,那么$x_1 + x_2$与$x_1x_2$也都是整数.分情况讨论:① 当$x_1,x_2$都是奇数时,$x_1 + x_2$为偶数,$x_1x_2$为奇数,这与$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$为奇数矛盾;② 当$x_1,x_2$为一奇一偶时,$x_1 + x_2$为奇数,$x_1x_2$为偶数,这与$x_1x_2=\frac{c}{a}$为奇数矛盾;③ 当$x_1,x_2$都是偶数时,$x_1 + x_2$为偶数,$x_1x_2$为偶数,这与$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$为奇数,$x_1x_2=\frac{c}{a}$为奇数矛盾.$\therefore$ 不存在某个一元二次方程,使得它的两根$x_1,x_2$都是整数.
解析
【分析】
(1) 本题已知一元二次方程的各项系数，求两根之和，可直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入对应数值计算即可，无需解方程。
(2) 本题为存在性问题，可采用反证法分析：先假设存在满足条件的方程，即两根均为整数，结合韦达定理得到两根之和、两根之积的表达式，根据a、b、c均为奇数判断二者的奇偶性；再对两个整数的奇偶组合分三类讨论，验证是否与前述奇偶性结论矛盾，若均矛盾则假设不成立，不存在符合要求的方程。
【解析】
(1) 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，当$a=1,b=-2,c=-3$时，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$
(2) 不存在这样的一元二次方程，理由如下：
假设存在a、b、c均为奇数的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$均为整数。
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
∵a、b、c均为奇数，
∴$-\frac{b}{a}$和$\frac{c}{a}$均为奇数，即$x_1+x_2$为奇数，$x_1x_2$为奇数。
接下来对$x_1,x_2$的奇偶性分情况讨论：
① 若$x_1,x_2$均为奇数：则$x_1+x_2$为偶数，与$x_1+x_2$为奇数矛盾；
② 若$x_1,x_2$为一奇一偶：则$x_1x_2$为偶数，与$x_1x_2$为奇数矛盾；
③ 若$x_1,x_2$均为偶数：则$x_1+x_2$为偶数、$x_1x_2$为偶数，分别与$x_1+x_2$为奇数、$x_1x_2$为奇数矛盾。
综上，三种情况均存在矛盾，故不存在满足条件的一元二次方程。
【答案】
(1) $2$
(2) 不存在，理由见解析
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 奇偶性运算性质
3. 反证法
【点评】
本题第一问侧重基础，直接考查韦达定理的简单应用；第二问结合奇偶性分析和分类讨论思想，考查逻辑推理能力，需要熟练掌握韦达定理的同时，能灵活运用反证法解决存在性问题。
【难度系数】
0.6
(1) 本题已知一元二次方程的各项系数，求两根之和，可直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入对应数值计算即可，无需解方程。
(2) 本题为存在性问题，可采用反证法分析：先假设存在满足条件的方程，即两根均为整数，结合韦达定理得到两根之和、两根之积的表达式，根据a、b、c均为奇数判断二者的奇偶性；再对两个整数的奇偶组合分三类讨论，验证是否与前述奇偶性结论矛盾，若均矛盾则假设不成立，不存在符合要求的方程。
【解析】
(1) 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，当$a=1,b=-2,c=-3$时，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$
(2) 不存在这样的一元二次方程，理由如下：
假设存在a、b、c均为奇数的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$均为整数。
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
∵a、b、c均为奇数，
∴$-\frac{b}{a}$和$\frac{c}{a}$均为奇数，即$x_1+x_2$为奇数，$x_1x_2$为奇数。
接下来对$x_1,x_2$的奇偶性分情况讨论：
① 若$x_1,x_2$均为奇数：则$x_1+x_2$为偶数，与$x_1+x_2$为奇数矛盾；
② 若$x_1,x_2$为一奇一偶：则$x_1x_2$为偶数，与$x_1x_2$为奇数矛盾；
③ 若$x_1,x_2$均为偶数：则$x_1+x_2$为偶数、$x_1x_2$为偶数，分别与$x_1+x_2$为奇数、$x_1x_2$为奇数矛盾。
综上，三种情况均存在矛盾，故不存在满足条件的一元二次方程。
【答案】
(1) $2$
(2) 不存在，理由见解析
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 奇偶性运算性质
3. 反证法
【点评】
本题第一问侧重基础，直接考查韦达定理的简单应用；第二问结合奇偶性分析和分类讨论思想，考查逻辑推理能力，需要熟练掌握韦达定理的同时，能灵活运用反证法解决存在性问题。
【难度系数】
0.6
6 [2025 清远连州期末]若$x=3$是方程$x^2 + kx + 3 = 0$的一个根，则方程的另一个根是（
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
）A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
C
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：先将已知根x=3代入原方程，求出参数k的取值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之积等于c/a，直接代入已知根计算即可得到另一个根，该方法计算更简便。
【解析】
方法一（代入求参法）：
将x=3代入方程$x^2 + kx + 3 = 0$，可得：
$3^2 + 3k + 3 = 0$
$12 + 3k = 0$
解得$k=-4$
此时原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，因式分解得：
$(x-3)(x-1)=0$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=1$，即另一个根是1。
方法二（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于方程$x^2 + kx + 3 = 0$，a=1，c=3，根据根与系数的关系，两根之积$x_1·x_2=\frac{c}{a}=3$。
已知$x_1=3$，代入得$3·x_2=3$，解得$x_2=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的基础应用题，两种方法均可解题，灵活运用根与系数的关系可以跳过求参步骤，更快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：思路1：先将已知根x=3代入原方程，求出参数k的取值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之积等于c/a，直接代入已知根计算即可得到另一个根，该方法计算更简便。
【解析】
方法一（代入求参法）：
将x=3代入方程$x^2 + kx + 3 = 0$，可得：
$3^2 + 3k + 3 = 0$
$12 + 3k = 0$
解得$k=-4$
此时原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，因式分解得：
$(x-3)(x-1)=0$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=1$，即另一个根是1。
方法二（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于方程$x^2 + kx + 3 = 0$，a=1，c=3，根据根与系数的关系，两根之积$x_1·x_2=\frac{c}{a}=3$。
已知$x_1=3$，代入得$3·x_2=3$，解得$x_2=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的基础应用题，两种方法均可解题，灵活运用根与系数的关系可以跳过求参步骤，更快速得到结果。
【难度系数】
0.8
7 整体思想 [2025东营]若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.−1
C
）A.0
B.25
C.26
D.−1
答案
C
解析
【分析】
直接求解一元二次方程得到根再代入计算运算量大，因此采用整体思想解题：首先根据一元二次方程根的定义，将根$x_1$代入方程，可得到$x_1^2$的一次表达式，实现降次，替换所求代数式中的二次项；再化简代数式，结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可求出结果。
【解析】
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2\\&=x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
又
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{25}{1} = 25$，
∴原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的应用，无需单独求解方程的根，通过降次转化结合韦达定理整体代入即可快速算出结果，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
直接求解一元二次方程得到根再代入计算运算量大，因此采用整体思想解题：首先根据一元二次方程根的定义，将根$x_1$代入方程，可得到$x_1^2$的一次表达式，实现降次，替换所求代数式中的二次项；再化简代数式，结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可求出结果。
【解析】
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2\\&=x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
又
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{25}{1} = 25$，
∴原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的应用，无需单独求解方程的根，通过降次转化结合韦达定理整体代入即可快速算出结果，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
8 [2025绥化]已知$m$，$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m + 1)(n + 1)=$
2027
。答案
2027
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先将待求的代数式$(m+1)(n+1)$展开，整理为含有两根之和$m+n$、两根之积$mn$的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出该方程的两根之和与两根之积；最后将求得的数值代入整理后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先展开代数式：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$
已知$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，因此：
$m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$
将$m+n=2025$，$mn=1$代入展开后的式子：
原式$=1 + 2025 + 1=2027$
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将待求式转化为与两根之和、两根之积相关的形式，再结合韦达定理代入计算，只要熟练掌握根与系数的关系和整式乘法法则，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先将待求的代数式$(m+1)(n+1)$展开，整理为含有两根之和$m+n$、两根之积$mn$的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出该方程的两根之和与两根之积；最后将求得的数值代入整理后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先展开代数式：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$
已知$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，因此：
$m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$
将$m+n=2025$，$mn=1$代入展开后的式子：
原式$=1 + 2025 + 1=2027$
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将待求式转化为与两根之和、两根之积相关的形式，再结合韦达定理代入计算，只要熟练掌握根与系数的关系和整式乘法法则，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9 [2025舟山普陀期末]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - kx -1=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1^2 + x_2^2=3$，求$k$的值.
答案
$\because a=1,b=-k,c=-1$,$\therefore x_1 + x_2 =k$,$x_1x_2=-1$.
$\therefore x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=k^2 + 2$.$\because x_1^2 + x_2^2=3$,
$\therefore k^2 + 2=3$.$\therefore k^2=1$,解得$k=1$或$k=-1$
$\therefore x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=k^2 + 2$.$\because x_1^2 + x_2^2=3$,
$\therefore k^2 + 2=3$.$\therefore k^2=1$,解得$k=1$或$k=-1$
解析
【分析】
遇到一元二次方程两根的代数式求值问题，优先考虑根与系数的关系（韦达定理）求解。首先根据方程写出对应系数a、b、c，得到两根之和与两根之积的表达式；再利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为仅含两根之和、两根之积的形式，代入已知条件列出关于k的方程求解，最后可通过判别式验证解的合理性。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - kx -1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-k$，常数项$c=-1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2=-1$。
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入$x_1 + x_2=k$、$x_1x_2=-1$得：
$x_1^2 + x_2^2=k^2 - 2×(-1)=k^2 + 2$
已知$x_1^2 + x_2^2=3$，列方程：
$k^2 + 2=3$
解得$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$。
验证：方程判别式$\Delta=(-k)^2-4×1×(-1)=k^2+4$，当$k=\pm1$时$\Delta=5＞0$，均满足方程有两个实数根的条件，两个解都成立。
【答案】
$k=1$或$k=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握代数式变形技巧，将未知的两根平方和转化为可通过韦达定理直接计算的形式，求解后注意验证方程根的存在性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程两根的代数式求值问题，优先考虑根与系数的关系（韦达定理）求解。首先根据方程写出对应系数a、b、c，得到两根之和与两根之积的表达式；再利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为仅含两根之和、两根之积的形式，代入已知条件列出关于k的方程求解，最后可通过判别式验证解的合理性。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - kx -1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-k$，常数项$c=-1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2=-1$。
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入$x_1 + x_2=k$、$x_1x_2=-1$得：
$x_1^2 + x_2^2=k^2 - 2×(-1)=k^2 + 2$
已知$x_1^2 + x_2^2=3$，列方程：
$k^2 + 2=3$
解得$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$。
验证：方程判别式$\Delta=(-k)^2-4×1×(-1)=k^2+4$，当$k=\pm1$时$\Delta=5＞0$，均满足方程有两个实数根的条件，两个解都成立。
【答案】
$k=1$或$k=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握代数式变形技巧，将未知的两根平方和转化为可通过韦达定理直接计算的形式，求解后注意验证方程根的存在性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
10 教材变式题 已知关于$x$的方程$x^2 - (m + 2)x + 2m -1=0$.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，求另一个根及$m$的值.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，求另一个根及$m$的值.
答案
(1) 由题意,得$\Delta =[-(m+2)]^2 -4(2m-1)=(m-2)^2 +4$.$\because$ 在实数范围内,$m$无论取何值,$(m-2)^2 +4＞0$,$\therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 关于$x$的方程$x^2 -(m+2)x +2m -1=0$恒有两个不相等的实数根
(2) 把$x=1$代入方程,得$1^2 -1×(m+2)+2m -1=0$,解得$m=2$.方程化为$x^2 -4x +3=0$.设方程的另一个根为$t$.根据根与系数的关系,得$1+t=4$,解得$t=3$.$\therefore$ 另一个根为$3$,$m$的值为$2$
$\therefore$ 关于$x$的方程$x^2 -(m+2)x +2m -1=0$恒有两个不相等的实数根
(2) 把$x=1$代入方程,得$1^2 -1×(m+2)+2m -1=0$,解得$m=2$.方程化为$x^2 -4x +3=0$.设方程的另一个根为$t$.根据根与系数的关系,得$1+t=4$,解得$t=3$.$\therefore$ 另一个根为$3$,$m$的值为$2$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，只需证明其根的判别式Δ恒大于0即可。先根据判别式公式列出Δ的表达式，再通过化简、配方判断Δ的正负性即可完成证明。
（2）已知方程的一个根，可先根据方程的解的定义，将x=1代入原方程求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可快速求出另一个根，也可代入m的值后直接解方程求另一个根。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + 2m -1=0$，其判别式：
$\Delta =[-(m+2)]^2 -4×1×(2m-1)$
$=m^2+4m+4-8m+4$
$=m^2-4m+8$
$=(m-2)^2 +4$
∵在实数范围内，无论m取何值，$(m-2)^2≥0$，因此$(m-2)^2 +4≥4＞0$，即$\Delta＞0$
∴关于$x$的方程$x^2 -(m+2)x +2m -1=0$恒有两个不相等的实数根。
（2）把$x=1$代入原方程，得：
$1^2 -1×(m+2)+2m -1=0$
整理得：$1 - m - 2 + 2m -1 = 0$，解得$m=2$
将$m=2$代入原方程，得$x^2 -4x +3=0$
设方程的另一个根为$t$，根据根与系数的关系，两根之和为$1+t = -\frac{-4}{1}=4$
解得$t=4-1=3$
【答案】
（1）方程恒有两个不相等的实数根，证明见解析；（2）另一个根为3，$m$的值为2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，通过配方判断判别式的正负性即可求解；第二问既可以通过解方程求根，也可以用根与系数的关系简化计算，能很好地考察基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，只需证明其根的判别式Δ恒大于0即可。先根据判别式公式列出Δ的表达式，再通过化简、配方判断Δ的正负性即可完成证明。
（2）已知方程的一个根，可先根据方程的解的定义，将x=1代入原方程求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可快速求出另一个根，也可代入m的值后直接解方程求另一个根。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + 2m -1=0$，其判别式：
$\Delta =[-(m+2)]^2 -4×1×(2m-1)$
$=m^2+4m+4-8m+4$
$=m^2-4m+8$
$=(m-2)^2 +4$
∵在实数范围内，无论m取何值，$(m-2)^2≥0$，因此$(m-2)^2 +4≥4＞0$，即$\Delta＞0$
∴关于$x$的方程$x^2 -(m+2)x +2m -1=0$恒有两个不相等的实数根。
（2）把$x=1$代入原方程，得：
$1^2 -1×(m+2)+2m -1=0$
整理得：$1 - m - 2 + 2m -1 = 0$，解得$m=2$
将$m=2$代入原方程，得$x^2 -4x +3=0$
设方程的另一个根为$t$，根据根与系数的关系，两根之和为$1+t = -\frac{-4}{1}=4$
解得$t=4-1=3$
【答案】
（1）方程恒有两个不相等的实数根，证明见解析；（2）另一个根为3，$m$的值为2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，通过配方判断判别式的正负性即可求解；第二问既可以通过解方程求根，也可以用根与系数的关系简化计算，能很好地考察基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
