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1 用直接开平方法解下列方程：
(1) $9x^2 -6=-1$；
(2) $4(1-2x)^2 -36=0$；
(3) $(x+2)^2=(2x-1)^2$。
(1) $9x^2 -6=-1$；
(2) $4(1-2x)^2 -36=0$；
(3) $(x+2)^2=(2x-1)^2$。
答案
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=2$
(3) $x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=2$
(3) $x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题核心是利用平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将一元二次方程降次为一元一次方程求解，步骤思路如下：
1. 对于(1)题，先移项合并常数项，再将$x^2$的系数化为1，转化为$x^2=a(a≥0)$的形式后开平方求解；
2. 对于(2)题，先移项，将完全平方式的系数化为1，转化为$(mx+n)^2=a(a≥0)$的形式后开平方求解；
3. 对于(3)题，方程左右两边均为完全平方式，直接开平方得到两种一次方程的情况，分别求解即可，注意开平方时要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
(1) 解方程$9x^2 -6=-1$
移项，得：$9x^2 = 6 - 1$
合并同类项，得：$9x^2 = 5$
系数化为1，得：$x^2 = \frac{5}{9}$
开平方，得：$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) 解方程$4(1-2x)^2 -36=0$
移项，得：$4(1-2x)^2 = 36$
系数化为1，得：$(1-2x)^2 = 9$
开平方，得：$1-2x = \pm 3$
当$1-2x=3$时，解得$x=-1$；
当$1-2x=-3$时，解得$x=2$；
即$x_1=-1,x_2=2$
(3) 解方程$(x+2)^2=(2x-1)^2$
开平方，得：$x+2 = \pm (2x-1)$
当$x+2=2x-1$时，移项得$x=3$；
当$x+2=-(2x-1)$时，去括号得$x+2=-2x+1$，移项合并得$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$；
即$x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=2$
(3) $x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考察直接开平方法的应用，解题关键是将方程转化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”的形式，开平方时需注意取正负两个值，避免出现漏解的错误，熟练掌握方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将一元二次方程降次为一元一次方程求解，步骤思路如下：
1. 对于(1)题，先移项合并常数项，再将$x^2$的系数化为1，转化为$x^2=a(a≥0)$的形式后开平方求解；
2. 对于(2)题，先移项，将完全平方式的系数化为1，转化为$(mx+n)^2=a(a≥0)$的形式后开平方求解；
3. 对于(3)题，方程左右两边均为完全平方式，直接开平方得到两种一次方程的情况，分别求解即可，注意开平方时要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
(1) 解方程$9x^2 -6=-1$
移项，得：$9x^2 = 6 - 1$
合并同类项，得：$9x^2 = 5$
系数化为1，得：$x^2 = \frac{5}{9}$
开平方，得：$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) 解方程$4(1-2x)^2 -36=0$
移项，得：$4(1-2x)^2 = 36$
系数化为1，得：$(1-2x)^2 = 9$
开平方，得：$1-2x = \pm 3$
当$1-2x=3$时，解得$x=-1$；
当$1-2x=-3$时，解得$x=2$；
即$x_1=-1,x_2=2$
(3) 解方程$(x+2)^2=(2x-1)^2$
开平方，得：$x+2 = \pm (2x-1)$
当$x+2=2x-1$时，移项得$x=3$；
当$x+2=-(2x-1)$时，去括号得$x+2=-2x+1$，移项合并得$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$；
即$x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $x_1=-1,x_2=2$
(3) $x_1=3,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考察直接开平方法的应用，解题关键是将方程转化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”的形式，开平方时需注意取正负两个值，避免出现漏解的错误，熟练掌握方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 + 8x = 1$；
(2) $x^2 + 12x + 25 = 0$；
(3) $x(x - 4) = 2 - 8x$。
(1) $x^2 + 8x = 1$；
(2) $x^2 + 12x + 25 = 0$；
(3) $x(x - 4) = 2 - 8x$。
答案
(1) $x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2) $x_1=-6+\sqrt{11},x_2=-6-\sqrt{11}$
(3) $x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
(2) $x_1=-6+\sqrt{11},x_2=-6-\sqrt{11}$
(3) $x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将含未知数的项构造为完全平方式，转化为可直接开平方的形式求解，通用步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④开平方求解。
针对本题的三个小题：(1)已满足二次项系数为1、含x项均在左侧，可直接配方；(2)需先将常数项移到右侧再配方；(3)需先去括号、移项合并同类项，整理为标准形式后再配方。
【解析】
(1) 对$x^2 + 8x = 1$配方，等号两边同时加$(\frac{8}{2})^2=16$，得：
$x^2 + 8x +16 =1+16$
即$(x+4)^2=17$
开平方得$x+4=\pm\sqrt{17}$
解得$x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2) 对$x^2 + 12x + 25 = 0$先移项，得：
$x^2 +12x = -25$
配方，等号两边同时加$(\frac{12}{2})^2=36$，得：
$x^2 +12x +36 = -25+36$
即$(x+6)^2=11$
开平方得$x+6=\pm\sqrt{11}$
解得$x_1=-6+\sqrt{11},x_2=-6-\sqrt{11}$
(3) 先整理$x(x - 4) = 2 - 8x$：
去括号得$x^2 -4x =2 -8x$
移项合并同类项得$x^2 +4x =2$
配方，等号两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 +4x +4 =2+4$
即$(x+2)^2=6$
开平方得$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
【答案】
(1) $x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2) $x_1=-6+\sqrt{11},x_2=-6-\sqrt{11}$
(3) $x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，第三小题需要先化简整理方程再配方，能够帮助学生熟练掌握配方法的运算逻辑，夯实一元二次方程求解的基础。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心是将含未知数的项构造为完全平方式，转化为可直接开平方的形式求解，通用步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④开平方求解。
针对本题的三个小题：(1)已满足二次项系数为1、含x项均在左侧，可直接配方；(2)需先将常数项移到右侧再配方；(3)需先去括号、移项合并同类项，整理为标准形式后再配方。
【解析】
(1) 对$x^2 + 8x = 1$配方，等号两边同时加$(\frac{8}{2})^2=16$，得：
$x^2 + 8x +16 =1+16$
即$(x+4)^2=17$
开平方得$x+4=\pm\sqrt{17}$
解得$x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2) 对$x^2 + 12x + 25 = 0$先移项，得：
$x^2 +12x = -25$
配方，等号两边同时加$(\frac{12}{2})^2=36$，得：
$x^2 +12x +36 = -25+36$
即$(x+6)^2=11$
开平方得$x+6=\pm\sqrt{11}$
解得$x_1=-6+\sqrt{11},x_2=-6-\sqrt{11}$
(3) 先整理$x(x - 4) = 2 - 8x$：
去括号得$x^2 -4x =2 -8x$
移项合并同类项得$x^2 +4x =2$
配方，等号两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 +4x +4 =2+4$
即$(x+2)^2=6$
开平方得$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
【答案】
(1) $x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2) $x_1=-6+\sqrt{11},x_2=-6-\sqrt{11}$
(3) $x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，第三小题需要先化简整理方程再配方，能够帮助学生熟练掌握配方法的运算逻辑，夯实一元二次方程求解的基础。
【难度系数】
0.7
3 用公式法解下面的方程：
(1) $2x^2 -7x +2=0$；
(2) $4x^2 -3x -5 = x -2$。
(1) $2x^2 -7x +2=0$；
(2) $4x^2 -3x -5 = x -2$。
答案
(1) $x_1=\frac{7+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$，方程无实数根；③若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。本题两个小题$\Delta$均为正，都有两个不相等的实数根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 -7x +2=0$，已经是一般形式：
其中$a=2$，$b=-7$，$c=2$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-7)^2 - 4×2×2 = 49 - 16 = 33＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-7)±\sqrt{33}}{2×2}=\frac{7±\sqrt{33}}{4}$。
(2) 先整理方程$4x^2 -3x -5 = x -2$为一般形式：
移项、合并同类项得：$4x^2 -4x -3=0$，
其中$a=4$，$b=-4$，$c=-3$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)±\sqrt{64}}{2×4}=\frac{4±8}{8}$，
计算得两个根分别为$\frac{4+8}{8}=\frac{3}{2}$、$\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{7+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题时要注意先将方程化为一般形式，确定系数时不要弄错符号，判别式计算要准确，代入求根公式后注意将最终结果化为最简形式。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的核心思路是：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$，方程无实数根；③若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。本题两个小题$\Delta$均为正，都有两个不相等的实数根。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 -7x +2=0$，已经是一般形式：
其中$a=2$，$b=-7$，$c=2$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-7)^2 - 4×2×2 = 49 - 16 = 33＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-7)±\sqrt{33}}{2×2}=\frac{7±\sqrt{33}}{4}$。
(2) 先整理方程$4x^2 -3x -5 = x -2$为一般形式：
移项、合并同类项得：$4x^2 -4x -3=0$，
其中$a=4$，$b=-4$，$c=-3$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)±\sqrt{64}}{2×4}=\frac{4±8}{8}$，
计算得两个根分别为$\frac{4+8}{8}=\frac{3}{2}$、$\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{7+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题时要注意先将方程化为一般形式，确定系数时不要弄错符号，判别式计算要准确，代入求根公式后注意将最终结果化为最简形式。
【难度系数】
0.8
4 用因式分解法解下列方程：
(1) $(2x+1)^2=3(2x+1)$；
(2) $(x-1)^2=5-5x$；
(3) $(x+8)(x+1)=-12$。
(1) $(2x+1)^2=3(2x+1)$；
(2) $(x-1)^2=5-5x$；
(3) $(x+8)(x+1)=-12$。
答案
(1) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$
(2) $x_1=1,x_2=-4$
(3) $x_1=-5,x_2=-4$
(2) $x_1=1,x_2=-4$
(3) $x_1=-5,x_2=-4$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。
(1) 观察方程左右两边都有公因式$(2x+1)$，先移项将右边的项移到左边，再提取公因式分解即可，注意不能直接两边同时除以$(2x+1)$，否则会漏解。
(2) 先将右边的$-5x$变形为$-5(x-1)$，移项后提取公因式$(x-1)$即可分解求解。
(3) 该式左边是乘积形式但右边不是0，因此需要先展开左边，移项整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得：$(2x+1)^2 - 3(2x+1) = 0$
提取公因式$(2x+1)$，得：$(2x+1)(2x+1 - 3) = 0$
化简，得：$(2x+1)(2x - 2) = 0$
$\therefore 2x+1=0$ 或 $2x-2=0$
解得：$x_1=-\frac{1}{2}, x_2=1$
(2) 原方程可变形为：$(x-1)^2 + 5x - 5 = 0$
即：$(x-1)^2 + 5(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：$(x-1)(x-1 + 5) = 0$
化简，得：$(x-1)(x+4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=1, x_2=-4$
(3) 展开左边，得：$x^2 + x + 8x + 8 = -12$
移项、合并同类项，得：$x^2 + 9x + 20 = 0$
十字相乘因式分解，得：$(x+4)(x+5) = 0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+5=0$
解得：$x_1=-5, x_2=-4$
【答案】
(1) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$
(2) $x_1=1,x_2=-4$
(3) $x_1=-5,x_2=-4$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，解题时要根据方程的特征灵活选择因式分解的方法，切记不可直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会出现漏解的情况；对于右边不为0的乘积式方程，要先整理为一般形式再分解。
【难度系数】
0.7
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。
(1) 观察方程左右两边都有公因式$(2x+1)$，先移项将右边的项移到左边，再提取公因式分解即可，注意不能直接两边同时除以$(2x+1)$，否则会漏解。
(2) 先将右边的$-5x$变形为$-5(x-1)$，移项后提取公因式$(x-1)$即可分解求解。
(3) 该式左边是乘积形式但右边不是0，因此需要先展开左边，移项整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得：$(2x+1)^2 - 3(2x+1) = 0$
提取公因式$(2x+1)$，得：$(2x+1)(2x+1 - 3) = 0$
化简，得：$(2x+1)(2x - 2) = 0$
$\therefore 2x+1=0$ 或 $2x-2=0$
解得：$x_1=-\frac{1}{2}, x_2=1$
(2) 原方程可变形为：$(x-1)^2 + 5x - 5 = 0$
即：$(x-1)^2 + 5(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：$(x-1)(x-1 + 5) = 0$
化简，得：$(x-1)(x+4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=1, x_2=-4$
(3) 展开左边，得：$x^2 + x + 8x + 8 = -12$
移项、合并同类项，得：$x^2 + 9x + 20 = 0$
十字相乘因式分解，得：$(x+4)(x+5) = 0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+5=0$
解得：$x_1=-5, x_2=-4$
【答案】
(1) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$
(2) $x_1=1,x_2=-4$
(3) $x_1=-5,x_2=-4$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，解题时要根据方程的特征灵活选择因式分解的方法，切记不可直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会出现漏解的情况；对于右边不为0的乘积式方程，要先整理为一般形式再分解。
【难度系数】
0.7
