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1 [2025 扬州改编]关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ进行求解。解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从给定方程中找出对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要包含前面的符号；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算出$\Delta$的值；第三步，根据判别式的取值与根的对应关系（$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根），判断根的情况，对应选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2-3x+1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入判别式公式得：
$\Delta=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确提取方程各项系数，正确计算判别式的取值，结合判别式的意义即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ进行求解。解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从给定方程中找出对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要包含前面的符号；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算出$\Delta$的值；第三步，根据判别式的取值与根的对应关系（$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根），判断根的情况，对应选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2-3x+1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入判别式公式得：
$\Delta=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确提取方程各项系数，正确计算判别式的取值，结合判别式的意义即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的系数满足$-\dfrac{c}{a}＜0$，则方程根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
D
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
2. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是判断根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号。首先结合一元二次方程的定义可知$a ≠ 0$，先对给出的不等式条件变形得到$ac$的符号，再分析判别式各部分的取值：$b^2$是非负数，结合$ac$的符号可知$4ac$为正，但$b^2$与$4ac$的大小关系无法确定，因此无法判断$\Delta$的符号，也就无法确定根的情况。
【解析】
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
已知 $-\dfrac{c}{a} ＜ 0$，根据不等式的性质，两边同乘$-1$，不等号方向改变，可得$\dfrac{c}{a} ＞ 0$，即$ac ＞ 0$，因此$4ac ＞ 0$。
一元二次方程根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$b^2 ≥ 0$，但$b^2$的具体取值未知：
当$b^2 ＞ 4ac$时，$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；
当$b^2 = 4ac$时，$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根；
当$b^2 ＜ 4ac$时，$\Delta ＜ 0$，方程没有实数根。
因此仅根据现有条件无法确定方程根的情况，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题容易因忽略$b^2$取值的不确定性，仅根据$ac$的符号直接判断判别式的正负而出错，解题时要注意判别式的符号由$b^2$和$4ac$共同决定，要全面分析各部分的取值情况。
【难度系数】
0.6
要判断一元二次方程根的情况，核心是判断根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号。首先结合一元二次方程的定义可知$a ≠ 0$，先对给出的不等式条件变形得到$ac$的符号，再分析判别式各部分的取值：$b^2$是非负数，结合$ac$的符号可知$4ac$为正，但$b^2$与$4ac$的大小关系无法确定，因此无法判断$\Delta$的符号，也就无法确定根的情况。
【解析】
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程，
∴ $a ≠ 0$，
已知 $-\dfrac{c}{a} ＜ 0$，根据不等式的性质，两边同乘$-1$，不等号方向改变，可得$\dfrac{c}{a} ＞ 0$，即$ac ＞ 0$，因此$4ac ＞ 0$。
一元二次方程根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$b^2 ≥ 0$，但$b^2$的具体取值未知：
当$b^2 ＞ 4ac$时，$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；
当$b^2 = 4ac$时，$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根；
当$b^2 ＜ 4ac$时，$\Delta ＜ 0$，方程没有实数根。
因此仅根据现有条件无法确定方程根的情况，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题容易因忽略$b^2$取值的不确定性，仅根据$ac$的符号直接判断判别式的正负而出错，解题时要注意判别式的符号由$b^2$和$4ac$共同决定，要全面分析各部分的取值情况。
【难度系数】
0.6
3 [2025乌鲁木齐天山期末]定义新运算“a * b”:对于任意实数a,b,都有a * b=ab+3,例如:3 * 4=3×4+3=15.若关于x的方程x*(x+1)=0,则此方程根的情况是
没有实数根
.答案
3. 没有实数根
解析
【分析】
解决本题的思路分为三步：首先，明确新运算的规则，题目中规定a*b等于a与b的乘积再加3；其次，将方程中的x*(x+1)按照新运算规则转化为常规的代数表达式，整理为一元二次方程的一般形式；最后，根据一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的符号判断根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$x*(x+1)=x(x+1)+3=0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + x + 3 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=3$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×3 = 1 - 12 = -11 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
没有实数根
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、整式乘法运算
【点评】
本题是新定义与一元二次方程的综合基础题，解题关键是正确理解新运算规则，将新运算形式的方程转化为常规的一元二次方程，再结合根的判别式的性质即可判断根的情况，注重对基础概念的应用考察。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路分为三步：首先，明确新运算的规则，题目中规定a*b等于a与b的乘积再加3；其次，将方程中的x*(x+1)按照新运算规则转化为常规的代数表达式，整理为一元二次方程的一般形式；最后，根据一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的符号判断根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$x*(x+1)=x(x+1)+3=0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + x + 3 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=3$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×3 = 1 - 12 = -11 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
没有实数根
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、整式乘法运算
【点评】
本题是新定义与一元二次方程的综合基础题，解题关键是正确理解新运算规则，将新运算形式的方程转化为常规的一元二次方程，再结合根的判别式的性质即可判断根的情况，注重对基础概念的应用考察。
【难度系数】
0.7
4 某同学判断关于 x 的方程$x^2 + 2(k - 2)x + k^2 + 4 = 0$的根的情况如下，解：$\Delta = 4(k - 2)^2 - 4×1×(k^2 + 4) = -16k$。$\because -16k ＜ 0$，$\therefore \Delta ＜ 0$。$\therefore$ 原方程没有实数根。请你判断该同学的解答是否正确，并说明理由。
答案
4. 不正确 理由:当$k＞0$时,$-16k＜0$,原方程没有实数根.当$k=0$时,$-16k=0$,原方程有两个相等的实数根.当$k＜0$时,$-16k＞0$,原方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
要判断该同学的解答是否正确，首先验证根的判别式Δ的计算是否正确，再分析Δ的符号判断是否合理。该同学计算得到Δ=-16k是正确的，但错误在于没有考虑参数k的取值为任意实数，直接默认-16k＜0。实际上-16k的符号由k的取值决定，需要分k＞0、k=0、k＜0三种情况讨论，分别判断Δ的符号，进而确定方程根的情况。
【解析】
解：该同学的解答不正确，理由如下：
1. 验证判别式计算：
$\Delta = [2(k-2)]^2 - 4×1×(k^2+4) = 4(k^2-4k+4)-4k^2-16 = -16k$，该部分计算无误。
2. 分类讨论Δ的符号：
k为任意实数，-16k的符号随k的取值变化，因此分三类讨论：
① 当$k＞0$时，$-16k＜0$，即$\Delta＜0$，原方程没有实数根；
② 当$k=0$时，$-16k=0$，即$\Delta=0$，原方程有两个相等的实数根；
③ 当$k＜0$时，$-16k＞0$，即$\Delta＞0$，原方程有两个不相等的实数根。
该同学未考虑k的取值范围，直接判定$\Delta＜0$，因此解答错误。
【答案】
不正确 理由:当$k＞0$时,$-16k＜0$,原方程没有实数根.当$k=0$时,$-16k=0$,原方程有两个相等的实数根.当$k＜0$时,$-16k＞0$,原方程有两个不相等的实数根.
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 分类讨论思想
3. 含参代数式符号判断
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是忽略参数的不确定性，直接判定含参数的判别式的符号，解题时要注意对参数的所有可能取值分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要判断该同学的解答是否正确，首先验证根的判别式Δ的计算是否正确，再分析Δ的符号判断是否合理。该同学计算得到Δ=-16k是正确的，但错误在于没有考虑参数k的取值为任意实数，直接默认-16k＜0。实际上-16k的符号由k的取值决定，需要分k＞0、k=0、k＜0三种情况讨论，分别判断Δ的符号，进而确定方程根的情况。
【解析】
解：该同学的解答不正确，理由如下：
1. 验证判别式计算：
$\Delta = [2(k-2)]^2 - 4×1×(k^2+4) = 4(k^2-4k+4)-4k^2-16 = -16k$，该部分计算无误。
2. 分类讨论Δ的符号：
k为任意实数，-16k的符号随k的取值变化，因此分三类讨论：
① 当$k＞0$时，$-16k＜0$，即$\Delta＜0$，原方程没有实数根；
② 当$k=0$时，$-16k=0$，即$\Delta=0$，原方程有两个相等的实数根；
③ 当$k＜0$时，$-16k＞0$，即$\Delta＞0$，原方程有两个不相等的实数根。
该同学未考虑k的取值范围，直接判定$\Delta＜0$，因此解答错误。
【答案】
不正确 理由:当$k＞0$时,$-16k＜0$,原方程没有实数根.当$k=0$时,$-16k=0$,原方程有两个相等的实数根.当$k＜0$时,$-16k＞0$,原方程有两个不相等的实数根.
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 分类讨论思想
3. 含参代数式符号判断
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是忽略参数的不确定性，直接判定含参数的判别式的符号，解题时要注意对参数的所有可能取值分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5 [2025 兰州]若关于 x 的一元二次方程$x^2 + 2x + a = 0$有两个不相等的实数根，则 a 的值可以是（
A.3
B.2
C.1
D.0
D
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
5. D
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0。我们先确定给定方程的各项系数，代入判别式列出关于a的不等式，解不等式得到a的取值范围，再对比选项选出符合条件的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$mx^2+nx+p=0$（$m≠0$），根的判别式为$\Delta = n^2 - 4mp$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$x^2 + 2x + a = 0$是一元二次方程，对应系数为$m=1$，$n=2$，$p=a$，因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，代入得：
$\begin{aligned}2^2 - 4×1× a &＞ 0 \\4 - 4a &＞ 0 \\-4a &＞ -4 \\a &＜ 1\end{aligned}$
对比选项，只有D选项的0满足$a＜1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟记根的不同情况对应的判别式符号，计算时注意准确区分方程的各项系数，避免因混淆系数出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0。我们先确定给定方程的各项系数，代入判别式列出关于a的不等式，解不等式得到a的取值范围，再对比选项选出符合条件的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$mx^2+nx+p=0$（$m≠0$），根的判别式为$\Delta = n^2 - 4mp$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$x^2 + 2x + a = 0$是一元二次方程，对应系数为$m=1$，$n=2$，$p=a$，因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，代入得：
$\begin{aligned}2^2 - 4×1× a &＞ 0 \\4 - 4a &＞ 0 \\-4a &＞ -4 \\a &＜ 1\end{aligned}$
对比选项，只有D选项的0满足$a＜1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟记根的不同情况对应的判别式符号，计算时注意准确区分方程的各项系数，避免因混淆系数出错。
【难度系数】
0.8
6 [2025内江]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
6. C
解析
【分析】
解这道题需抓住两个核心限定条件：①题干明确说明是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；②方程有实数根，对于一元二次方程而言，有实数根等价于根的判别式$\Delta ≥ 0$。我们先分别根据两个条件列出关于$a$的限制，再取两个限制的公共范围，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数不为0，即$a-1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$
又$\because$ 该一元二次方程有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
化简：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
去括号：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
合并同类项：$8 - 4a ≥ 0$
移项解得：$a ≤ 2$
综上，$a$的取值范围是$a ≤ 2$且$a ≠ 1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础常考题，易错点是忽略题干“一元二次方程”的限定，忘记二次项系数不能为0的条件，从而误选A，审题时要重点关注题干的限定关键词。
【难度系数】
0.7
解这道题需抓住两个核心限定条件：①题干明确说明是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；②方程有实数根，对于一元二次方程而言，有实数根等价于根的判别式$\Delta ≥ 0$。我们先分别根据两个条件列出关于$a$的限制，再取两个限制的公共范围，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数不为0，即$a-1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$
又$\because$ 该一元二次方程有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
化简：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
去括号：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
合并同类项：$8 - 4a ≥ 0$
移项解得：$a ≤ 2$
综上，$a$的取值范围是$a ≤ 2$且$a ≠ 1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础常考题，易错点是忽略题干“一元二次方程”的限定，忘记二次项系数不能为0的条件，从而误选A，审题时要重点关注题干的限定关键词。
【难度系数】
0.7
7 [2025上海]若一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，则m的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{8}$
。答案
7. $m＞\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
要解决一元二次方程无实数根求参数取值范围的问题，首先联想到一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。接下来我们只需要确定方程中对应系数a、b、c的值，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta ＜ 0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$8m ＞ 1$
两边同时除以8，得：$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确掌握判别式的取值与方程实数根个数的对应关系，代入系数列不等式求解即可，计算时要注意不等号方向的变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决一元二次方程无实数根求参数取值范围的问题，首先联想到一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。接下来我们只需要确定方程中对应系数a、b、c的值，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta ＜ 0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$8m ＞ 1$
两边同时除以8，得：$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确掌握判别式的取值与方程实数根个数的对应关系，代入系数列不等式求解即可，计算时要注意不等号方向的变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
8 若关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，则$b^2 - 2(1 + 2c)$的值为
$-2$
。答案
8. $-2$
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ=0。我们可以先根据这个关系求出b与c的等量关系，再将这个等量关系整体代入待求的代数式中化简，即可求出结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
原式$= 4c - 2 - 4c = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式化简求值
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，利用整体代入的思想化简求值，运算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ=0。我们可以先根据这个关系求出b与c的等量关系，再将这个等量关系整体代入待求的代数式中化简，即可求出结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
原式$= 4c - 2 - 4c = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式化简求值
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，利用整体代入的思想化简求值，运算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
9 若关于x的一元二次方程$x^2 -4x + m +4=0$有两个不相等的实数根，则一次函数$y=m^2x + m -3$的图象不经过第
二
象限。答案
9. 二
解析
【分析】
解题分两个步骤展开：第一步，根据一元二次方程有两个不相等实数根的判定规则，即根的判别式Δ＞0，计算得出参数m的取值范围；第二步，结合m的取值范围，分别判断一次函数的一次项系数、常数项的正负，再根据一次函数图象性质确定其经过的象限，即可得到不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -4x + m +4=0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=m+4$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × (m+4) = 16 - 4m - 16 = -4m ＞ 0$
解得$m ＜ 0$
对于一次函数$y=m^2x + m -3$：
∵ $m ＜ 0$，
∴ $m^2 ＞ 0$（非零实数的平方为正），即一次项系数$k=m^2 ＞ 0$
常数项$b = m - 3$，
∵ $m ＜ 0$，
∴ $m - 3 ＜ 0 - 3 = -3 ＜ 0$
根据一次函数图象性质：当$k＞0$，$b＜0$时，函数图象经过第一、三、四象限，因此图象不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况和一次函数图象性质结合考查，解题的核心是先准确求出参数的取值范围，再结合函数系数与图象的对应关系判断象限，能有效检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题分两个步骤展开：第一步，根据一元二次方程有两个不相等实数根的判定规则，即根的判别式Δ＞0，计算得出参数m的取值范围；第二步，结合m的取值范围，分别判断一次函数的一次项系数、常数项的正负，再根据一次函数图象性质确定其经过的象限，即可得到不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -4x + m +4=0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=m+4$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × (m+4) = 16 - 4m - 16 = -4m ＞ 0$
解得$m ＜ 0$
对于一次函数$y=m^2x + m -3$：
∵ $m ＜ 0$，
∴ $m^2 ＞ 0$（非零实数的平方为正），即一次项系数$k=m^2 ＞ 0$
常数项$b = m - 3$，
∵ $m ＜ 0$，
∴ $m - 3 ＜ 0 - 3 = -3 ＜ 0$
根据一次函数图象性质：当$k＞0$，$b＜0$时，函数图象经过第一、三、四象限，因此图象不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况和一次函数图象性质结合考查，解题的核心是先准确求出参数的取值范围，再结合函数系数与图象的对应关系判断象限，能有效检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10 已知关于 x 的方程$\frac{1}{4}x^2 - (m - 2)x + m^2 = 0$.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值，并求出此时方程的解.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值，并求出此时方程的解.
答案
10. (1) $\because$ 方程有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta＞0$, 即 $\Delta =[-(m-2)]^2 -4×\dfrac{1}{4}m^2＞0$, 解得 $m＜1$
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=0$, 即 $\Delta=[-(m-2)]^2 -4×\dfrac{1}{4}m^2=0$, 解得 $m=1$. $\therefore$ 方程可化为 $\dfrac{1}{4}x^2 +x +1=0$, 解得 $x_1=x_2=-2$
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=0$, 即 $\Delta=[-(m-2)]^2 -4×\dfrac{1}{4}m^2=0$, 解得 $m=1$. $\therefore$ 方程可化为 $\dfrac{1}{4}x^2 +x +1=0$, 解得 $x_1=x_2=-2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：1. 先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$与根的个数的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根；2. 确定本题方程中$a=\frac{1}{4}$、$b=-(m-2)$、$c=m^2$；3. 第一问根据“有两个不相等的实数根”列$\Delta＞0$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；4. 第二问根据“有两个相等的实数根”列$\Delta=0$的方程，先求出$m$的值，再将$m$代入原方程求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）$\because$ 方程$\frac{1}{4}x^2 - (m - 2)x + m^2 = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta ＞ 0$，
其中$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m-2)]^2 - 4×\frac{1}{4}× m^2$，
化简得：$\Delta = m^2 - 4m + 4 - m^2 = -4m + 4$，
列不等式：$-4m + 4 ＞ 0$，
移项得：$-4m ＞ -4$，
解得：$m ＜ 1$。
（2）$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta = 0$，即$-4m + 4 = 0$，
解得：$m = 1$，
将$m=1$代入原方程得：$\frac{1}{4}x^2 - (1 - 2)x + 1^2 = 0$，
化简得：$\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = 0$，
两边同时乘4得：$x^2 + 4x + 4 = 0$，
因式分解得：$(x + 2)^2 = 0$，
解得：$x_1 = x_2 = -2$。
【答案】
(1) $m ＜ 1$；
(2) $m$的值为$1$，此时方程的解为$x_1=x_2=-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，核心是牢记判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，计算判别式时要注意符号的处理，解不等式时不等号方向的变化、代入求根时的运算都要仔细，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：1. 先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$与根的个数的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根；2. 确定本题方程中$a=\frac{1}{4}$、$b=-(m-2)$、$c=m^2$；3. 第一问根据“有两个不相等的实数根”列$\Delta＞0$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；4. 第二问根据“有两个相等的实数根”列$\Delta=0$的方程，先求出$m$的值，再将$m$代入原方程求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）$\because$ 方程$\frac{1}{4}x^2 - (m - 2)x + m^2 = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta ＞ 0$，
其中$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m-2)]^2 - 4×\frac{1}{4}× m^2$，
化简得：$\Delta = m^2 - 4m + 4 - m^2 = -4m + 4$，
列不等式：$-4m + 4 ＞ 0$，
移项得：$-4m ＞ -4$，
解得：$m ＜ 1$。
（2）$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta = 0$，即$-4m + 4 = 0$，
解得：$m = 1$，
将$m=1$代入原方程得：$\frac{1}{4}x^2 - (1 - 2)x + 1^2 = 0$，
化简得：$\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = 0$，
两边同时乘4得：$x^2 + 4x + 4 = 0$，
因式分解得：$(x + 2)^2 = 0$，
解得：$x_1 = x_2 = -2$。
【答案】
(1) $m ＜ 1$；
(2) $m$的值为$1$，此时方程的解为$x_1=x_2=-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，核心是牢记判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，计算判别式时要注意符号的处理，解不等式时不等号方向的变化、代入求根时的运算都要仔细，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
