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8 若$\frac{2a + b}{c} = \frac{2c + a}{b} = \frac{2b + c}{a} = k(a + b + c ≠ 0)$，则函数$y = kx + k$的图象一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
首先观察题目给出的连等比例式，且明确$a+b+c≠0$，符合等比性质的使用条件，因此第一步先利用等比性质求出$k$的值；再根据一次函数的斜率和截距的符号，判断函数图象经过的象限，即可得出图象一定不经过的象限。
【解析】
已知$\frac{2a + b}{c} = \frac{2c + a}{b} = \frac{2b + c}{a} = k$，且$a+b+c≠0$，根据等比性质可得：
$k=\frac{(2a+b)+(2c+a)+(2b+c)}{a+b+c}$
化简分子：
$(2a+b)+(2c+a)+(2b+c)=3a+3b+3c=3(a+b+c)$
代入得：
$k=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3$
因此函数解析式为$y=3x+3$，
一次函数中，斜率$3＞0$，图象呈上升趋势，截距$3＞0$，图象与$y$轴交于正半轴，因此函数图象经过第一、二、三象限，一定不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
等比性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题核心是对等比性质适用条件的把握和一次函数图象规律的应用，解题时要注意题目给出的$a+b+c≠0$是使用等比性质的前提，避免忽略条件导致计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的连等比例式，且明确$a+b+c≠0$，符合等比性质的使用条件，因此第一步先利用等比性质求出$k$的值；再根据一次函数的斜率和截距的符号，判断函数图象经过的象限，即可得出图象一定不经过的象限。
【解析】
已知$\frac{2a + b}{c} = \frac{2c + a}{b} = \frac{2b + c}{a} = k$，且$a+b+c≠0$，根据等比性质可得：
$k=\frac{(2a+b)+(2c+a)+(2b+c)}{a+b+c}$
化简分子：
$(2a+b)+(2c+a)+(2b+c)=3a+3b+3c=3(a+b+c)$
代入得：
$k=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3$
因此函数解析式为$y=3x+3$，
一次函数中，斜率$3＞0$，图象呈上升趋势，截距$3＞0$，图象与$y$轴交于正半轴，因此函数图象经过第一、二、三象限，一定不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
等比性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题核心是对等比性质适用条件的把握和一次函数图象规律的应用，解题时要注意题目给出的$a+b+c≠0$是使用等比性质的前提，避免忽略条件导致计算错误。
【难度系数】
0.7
9 若$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}$（$x,y,z$均不为0），设$A=\frac{y}{x+y+z}$，$B=\frac{x+z}{y}$，$C=\frac{x+y-z}{x}$，则$A,B,C$的大小关系为（
A.$A＞B＞C$
B.$C＞B＞A$
C.$C＞A＞B$
D.$B＞C＞A$
B
）A.$A＞B＞C$
B.$C＞B＞A$
C.$C＞A＞B$
D.$B＞C＞A$
答案
B
解析
【分析】
遇到连等的比例式，常用设参数法解题：先设三个分式的比值为非零常数k，将x、y、z都用含k的代数式表示，再分别代入A、B、C三个代数式中，消去参数k得到具体数值，最后比较三个数值的大小即可得到结果。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），则可得：
$x=2k$，$y=7k$，$z=5k$。
分别代入A、B、C计算：
$A=\frac{y}{x+y+z}=\frac{7k}{2k+7k+5k}=\frac{7k}{14k}=\frac{1}{2}$；
$B=\frac{x+z}{y}=\frac{2k+5k}{7k}=\frac{7k}{7k}=1$；
$C=\frac{x+y-z}{x}=\frac{2k+7k-5k}{2k}=\frac{4k}{2k}=2$。
比较大小得：$2＞1＞\frac{1}{2}$，即$C＞B＞A$。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；代数式求值；实数大小比较
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题核心是掌握连比等式设参数的常用技巧，通过参数消元即可快速求出各代数式的值，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式，常用设参数法解题：先设三个分式的比值为非零常数k，将x、y、z都用含k的代数式表示，再分别代入A、B、C三个代数式中，消去参数k得到具体数值，最后比较三个数值的大小即可得到结果。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），则可得：
$x=2k$，$y=7k$，$z=5k$。
分别代入A、B、C计算：
$A=\frac{y}{x+y+z}=\frac{7k}{2k+7k+5k}=\frac{7k}{14k}=\frac{1}{2}$；
$B=\frac{x+z}{y}=\frac{2k+5k}{7k}=\frac{7k}{7k}=1$；
$C=\frac{x+y-z}{x}=\frac{2k+7k-5k}{2k}=\frac{4k}{2k}=2$。
比较大小得：$2＞1＞\frac{1}{2}$，即$C＞B＞A$。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；代数式求值；实数大小比较
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题核心是掌握连比等式设参数的常用技巧，通过参数消元即可快速求出各代数式的值，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
10 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，且$a+b+c=12$，则$△ ABC$的形状是
直角三角形
（按角分类），$△ ABC$的面积为6
。答案
直角三角形 6
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，通常采用设参数k的方法，将比例式转化为整式关系，把a、b、c用含k的代数式表示，再结合a+b+c=12的条件列方程求解得到k的值，进而求出三边长；再利用勾股定理的逆定理判断三角形按角分类的形状，最后计算直角三角形的面积即可。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，则：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$，
将上述三式代入$a+b+c=12$，得：
$3k-4+2k-3+4k-8=12$，
合并同类项得$9k-15=12$，
解得$k=3$。
分别代入计算三边长：
$a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$。
验证三边关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，直角边长为3和4。
三角形面积为：$\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
直角三角形；6
【知识点】
比例的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用参数法求解比例式得到三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，解题思路清晰，注重基础运算和几何判定的结合。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式时，通常采用设参数k的方法，将比例式转化为整式关系，把a、b、c用含k的代数式表示，再结合a+b+c=12的条件列方程求解得到k的值，进而求出三边长；再利用勾股定理的逆定理判断三角形按角分类的形状，最后计算直角三角形的面积即可。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，则：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$，
将上述三式代入$a+b+c=12$，得：
$3k-4+2k-3+4k-8=12$，
合并同类项得$9k-15=12$，
解得$k=3$。
分别代入计算三边长：
$a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$。
验证三边关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，直角边长为3和4。
三角形面积为：$\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
直角三角形；6
【知识点】
比例的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用参数法求解比例式得到三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，解题思路清晰，注重基础运算和几何判定的结合。
【难度系数】
0.7
11（易错题）若非零实数$a,b,c$满足$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=k$，则$k^2=$
1或4
.答案
1或4 【解析】当 $a+b+c=0$ 时,$c=-(a+b)$,则 $k=\frac{a+b}{-(a+b)}=-1$; 当 $a+b+c ≠ 0$ 时, $k=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2.$
$\therefore k=-1$ 或 2,则 $k^2=1$ 或 4.
$\therefore k=-1$ 或 2,则 $k^2=1$ 或 4.
解析
【分析】
本题给出连等等式求$k^2$的值，解题时需注意等比性质的适用前提：所有分母的和不为0。因此要分两种情况讨论：①当$a+b+c=0$时，不能直接使用等比性质，需通过代换求出$k$的值；②当$a+b+c≠0$时，可直接运用等比性质计算$k$的值，最后分别计算两种情况下的$k^2$即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，代入$k=\frac{a+b}{c}$得：
$k=\frac{-c}{c}=-1$，则$k^2=(-1)^2=1$；
2. 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质，分子相加的和除以分母相加的和等于比值$k$：
$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(a+c)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$，则$k^2=2^2=4$。
综上，$k^2$的值为1或4。
【答案】
1或4
【知识点】
等比性质；代数式化简；分类讨论
【点评】
本题是典型的易错题，易错点为忽略等比性质的适用条件，直接套用公式得到$k=2$，漏去$a+b+c=0$的情况。解题时遇到连等式子，要先判断分母和是否为0，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题给出连等等式求$k^2$的值，解题时需注意等比性质的适用前提：所有分母的和不为0。因此要分两种情况讨论：①当$a+b+c=0$时，不能直接使用等比性质，需通过代换求出$k$的值；②当$a+b+c≠0$时，可直接运用等比性质计算$k$的值，最后分别计算两种情况下的$k^2$即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，代入$k=\frac{a+b}{c}$得：
$k=\frac{-c}{c}=-1$，则$k^2=(-1)^2=1$；
2. 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质，分子相加的和除以分母相加的和等于比值$k$：
$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(a+c)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$，则$k^2=2^2=4$。
综上，$k^2$的值为1或4。
【答案】
1或4
【知识点】
等比性质；代数式化简；分类讨论
【点评】
本题是典型的易错题，易错点为忽略等比性质的适用条件，直接套用公式得到$k=2$，漏去$a+b+c=0$的情况。解题时遇到连等式子，要先判断分母和是否为0，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
12 如图，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\frac{3}{2}$，且$△ ABC$的周长比$△ ADE$的周长多12，求$△ ABC$和$△ ADE$的周长。
答案
$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AB+AC+BC}{AD+AE+DE}=\frac{3}{2}.$ 设 $△ ABC$的周长为 $3k$,则$△ ADE$ 的周长为 $2k$. 由题意,得 $3k-2k=12$,解得 $k=12. \therefore 3k=36,2k=24$,即$△ ABC$ 的周长为 36,$△ ADE$的周长为 24
解析
【分析】
首先观察已知条件，△ABC和△ADE的三组对应边的比均为$\frac{3}{2}$，可直接运用等比性质得到两个三角形的周长比等于对应边的比$\frac{3}{2}$；接下来结合“△ABC的周长比△ADE的周长多12”这一条件，采用设参数的方法，将两个三角形的周长分别用含同一个参数的式子表示，再根据周长差列方程求解即可得到两个三角形的周长。
【解析】
已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\frac{3}{2}$，根据等比性质可得：
$\frac{AB+AC+BC}{AD+AE+DE}=\frac{3}{2}$，即$\frac{C_{△ABC}}{C_{△ADE}}=\frac{3}{2}$。
设△ABC的周长为$3k$，则△ADE的周长为$2k$（$k≠0$）。
根据题意，△ABC的周长比△ADE的周长多12，可列方程：
$3k - 2k = 12$
解得$k=12$。
因此$3k=3×12=36$，$2k=2×12=24$。
【答案】
△ABC的周长为36，△ADE的周长为24。
【知识点】
1.等比性质
2.比例运算
3.一元一次方程应用
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，核心考查等比性质的运用，通过设参数将比例关系转化为方程求解的思路，是解决此类比例与周长结合问题的常用方法，解题时注意准确运用等比性质，不要混淆周长比的对应关系。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，△ABC和△ADE的三组对应边的比均为$\frac{3}{2}$，可直接运用等比性质得到两个三角形的周长比等于对应边的比$\frac{3}{2}$；接下来结合“△ABC的周长比△ADE的周长多12”这一条件，采用设参数的方法，将两个三角形的周长分别用含同一个参数的式子表示，再根据周长差列方程求解即可得到两个三角形的周长。
【解析】
已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\frac{3}{2}$，根据等比性质可得：
$\frac{AB+AC+BC}{AD+AE+DE}=\frac{3}{2}$，即$\frac{C_{△ABC}}{C_{△ADE}}=\frac{3}{2}$。
设△ABC的周长为$3k$，则△ADE的周长为$2k$（$k≠0$）。
根据题意，△ABC的周长比△ADE的周长多12，可列方程：
$3k - 2k = 12$
解得$k=12$。
因此$3k=3×12=36$，$2k=2×12=24$。
【答案】
△ABC的周长为36，△ADE的周长为24。
【知识点】
1.等比性质
2.比例运算
3.一元一次方程应用
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，核心考查等比性质的运用，通过设参数将比例关系转化为方程求解的思路，是解决此类比例与周长结合问题的常用方法，解题时注意准确运用等比性质，不要混淆周长比的对应关系。
【难度系数】
0.8
13 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}$.
(1) 若$b-d≠0$,求$\frac{a-c}{b-d}$的值;
(2) 若$2b+3d-4f≠0$,求$\frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}$的值;
(3) 比较(1)(2)的结论,你能发现什么规律?
(1) 若$b-d≠0$,求$\frac{a-c}{b-d}$的值;
(2) 若$2b+3d-4f≠0$,求$\frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}$的值;
(3) 比较(1)(2)的结论,你能发现什么规律?
答案
(1) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{5},\therefore \frac{a}{b}=\frac{-c}{-d}=\frac{2}{5}. \because b-d ≠ 0,$
$\therefore \frac{a-c}{b-d}=\frac{2}{5}$
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5},\therefore \frac{2a}{2b}=\frac{3c}{3d}=\frac{-4e}{-4f}=\frac{2}{5}. \because 2b+3d-4f ≠ 0,$
$\therefore \frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}=\frac{2}{5}$
(3) 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k ≠ 0)$,则$\frac{ta+mc+ne}{tb+md+nf}=k$($t,m,n$ 均为常数,$tb+md+nf ≠ 0$)
$\therefore \frac{a-c}{b-d}=\frac{2}{5}$
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5},\therefore \frac{2a}{2b}=\frac{3c}{3d}=\frac{-4e}{-4f}=\frac{2}{5}. \because 2b+3d-4f ≠ 0,$
$\therefore \frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}=\frac{2}{5}$
(3) 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k ≠ 0)$,则$\frac{ta+mc+ne}{tb+md+nf}=k$($t,m,n$ 均为常数,$tb+md+nf ≠ 0$)
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：①求解(1)(2)问时，已知多个比值相等，可利用比例的性质，将各分式的分子、分母调整为对应相同系数的形式，结合等比性质计算结果，注意需满足分母不为0的前提条件；②第(3)问对比前两问的运算结果，从特殊到一般总结出公共比值不变的普遍规律即可。
【解析】
(1) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{5}$，根据比例的性质可得$\frac{a}{b}=\frac{-c}{-d}=\frac{2}{5}$，
又$\because b-d ≠ 0$，由等比性质得：$\frac{a-c}{b-d}=\frac{2}{5}$。
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}$，根据比例的性质可得$\frac{2a}{2b}=\frac{3c}{3d}=\frac{-4e}{-4f}=\frac{2}{5}$，
又$\because 2b+3d-4f ≠ 0$，由等比性质得：$\frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}=\frac{2}{5}$。
(3) 对比(1)(2)的结论可总结规律：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k ≠ 0)$，$t,m,n$均为常数，且$tb+md+nf ≠ 0$，则$\frac{ta+mc+ne}{tb+md+nf}=k$。
【答案】
(1) $\frac{2}{5}$
(2) $\frac{2}{5}$
(3) 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k≠0)$，则$\frac{ta+mc+ne}{tb+md+nf}=k$（$t,m,n$均为常数，$tb+md+nf≠0$）
【知识点】
等比性质，比例的基本性质，规律探究
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，解题核心是掌握等比性质的适用条件（分母的和不为0），通过特殊示例推导一般规律的过程，能帮助加深对比例性质的理解，为后续相似形等相关知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：①求解(1)(2)问时，已知多个比值相等，可利用比例的性质，将各分式的分子、分母调整为对应相同系数的形式，结合等比性质计算结果，注意需满足分母不为0的前提条件；②第(3)问对比前两问的运算结果，从特殊到一般总结出公共比值不变的普遍规律即可。
【解析】
(1) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{5}$，根据比例的性质可得$\frac{a}{b}=\frac{-c}{-d}=\frac{2}{5}$，
又$\because b-d ≠ 0$，由等比性质得：$\frac{a-c}{b-d}=\frac{2}{5}$。
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}$，根据比例的性质可得$\frac{2a}{2b}=\frac{3c}{3d}=\frac{-4e}{-4f}=\frac{2}{5}$，
又$\because 2b+3d-4f ≠ 0$，由等比性质得：$\frac{2a+3c-4e}{2b+3d-4f}=\frac{2}{5}$。
(3) 对比(1)(2)的结论可总结规律：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k ≠ 0)$，$t,m,n$均为常数，且$tb+md+nf ≠ 0$，则$\frac{ta+mc+ne}{tb+md+nf}=k$。
【答案】
(1) $\frac{2}{5}$
(2) $\frac{2}{5}$
(3) 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(k≠0)$，则$\frac{ta+mc+ne}{tb+md+nf}=k$（$t,m,n$均为常数，$tb+md+nf≠0$）
【知识点】
等比性质，比例的基本性质，规律探究
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，解题核心是掌握等比性质的适用条件（分母的和不为0），通过特殊示例推导一般规律的过程，能帮助加深对比例性质的理解，为后续相似形等相关知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
14 设 $a, b, c$ 是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a - b}{b} = \frac{b - c}{c} = \frac{c - a}{a}$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
$△ ABC$ 为等边三角形 理由: $\because a,b,c$ 是$△ ABC$ 的三边长,$\therefore a+b+c ≠ 0. \because \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}, \therefore \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=\frac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=0. \therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0.$
$\therefore a=b=c. \therefore △ ABC$ 为等边三角形.
$\therefore a=b=c. \therefore △ ABC$ 为等边三角形.
解析
【分析】
遇到连等的比例式，可优先考虑运用等比性质求解，首先要验证等比性质的使用条件：所有分母的和不为0。由于a、b、c是三角形的三边长，均为正数，因此a+b+c≠0，满足等比性质的使用条件。接下来将三个比例的分子相加、分母相加，可得比值等于分子和除以分母和，计算可知分子和为0，因此每个比例的比值都为0，进而推出各分子为0，得到三边相等的结论，即可判断三角形形状。
【解析】
解：
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，即a+b+c≠0，
∵$\frac{a - b}{b} = \frac{b - c}{c} = \frac{c - a}{a}$，
根据等比性质可得：
$\frac{a - b}{b} = \frac{b - c}{c} = \frac{c - a}{a}=\frac{(a - b)+(b - c)+(c - a)}{a+b+c}=\frac{0}{a+b+c}=0$，
∴$a - b=0$，$b - c=0$，$c - a=0$，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形。
【答案】
△ABC为等边三角形
【知识点】
等比性质；三角形三边性质；等边三角形判定
【点评】
本题重点考查等比性质的应用，解题的关键是牢记等比性质的适用前提，结合三角形边长均为正数的特点，快速推导出各比例的比值为0，进而得到三边相等的结论，属于比例基本性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式，可优先考虑运用等比性质求解，首先要验证等比性质的使用条件：所有分母的和不为0。由于a、b、c是三角形的三边长，均为正数，因此a+b+c≠0，满足等比性质的使用条件。接下来将三个比例的分子相加、分母相加，可得比值等于分子和除以分母和，计算可知分子和为0，因此每个比例的比值都为0，进而推出各分子为0，得到三边相等的结论，即可判断三角形形状。
【解析】
解：
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，即a+b+c≠0，
∵$\frac{a - b}{b} = \frac{b - c}{c} = \frac{c - a}{a}$，
根据等比性质可得：
$\frac{a - b}{b} = \frac{b - c}{c} = \frac{c - a}{a}=\frac{(a - b)+(b - c)+(c - a)}{a+b+c}=\frac{0}{a+b+c}=0$，
∴$a - b=0$，$b - c=0$，$c - a=0$，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形。
【答案】
△ABC为等边三角形
【知识点】
等比性质；三角形三边性质；等边三角形判定
【点评】
本题重点考查等比性质的应用，解题的关键是牢记等比性质的适用前提，结合三角形边长均为正数的特点，快速推导出各比例的比值为0，进而得到三边相等的结论，属于比例基本性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
