19. (10分)如图，B，C两点将线段AD分成2：4：3的三部分，其中$CD=6$.
（1）求线段AD的长.
（2）若M是AD的中点，求线段MC的长.

19. (1) 因为$B,C$两点将线段$AD$分成$2:4:3$的三部分,所以$CD=\frac{3}{2+4+3}AD=\frac{1}{3}AD$. 又因为$CD=6$,所以$AD=18$. (2) 因为$M$是$AD$的中点,所以$MD=\frac{1}{2}AD=9$. 所以$MC=MD-CD=9-6=3$.

20. (10分)如图，F，E分别是射线AB，CD上的点，连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2=∠3.
（1）试说明：AB//CD.
（2）若∠AFE−∠2=30°，求∠AFE的度数.

20. (1) 因为$AE$平分$∠ BAC$,所以$∠ 1=∠ 2$. 因为$∠ 2=∠ 3$,所以$∠ 1=∠ 3$. 所以$AB// CD$. (2) 因为$∠ AFE-∠ 2=30°$,所以$∠ AFE=∠ 2+30°$. 因为$AB// CD$,所以$∠ AFE=∠ FED=∠ 2+30°$. 因为$EF$平分$∠ AED$,所以$∠ AED=2∠ FED=2∠ 2+60°$. 因为$∠ 3+∠ AED=180°$,$∠ 2=∠ 3$,所以$∠ 2+2∠ 2+60°=180°$. 所以$∠ 2=40°$. 所以$∠ AFE=∠ 2+30°=70°$. 所以$∠ AFE$的度数为$70°$.

21. (14分)如图，$PQ// MN$，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且$∠ BAN=45°$.若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A，B不停地旋转，射线AM旋转的速度是每秒$a°$，射线BQ旋转的速度是每秒$b°$，且a，b满足$|a-8|+(b-2)^2=0$.
(1) $a=$，$b=$.
(2) 若射线AM，BQ同时旋转，则至少旋转多少秒时，射线AM，BQ互相垂直？
(3) 若射线AM绕点A顺时针先旋转15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，射线AM再旋转多少秒时，射线AM，BQ互相平行？

21. (1) 8; 2. (2) 设至少旋转$t$秒时,射线$AM,BQ$互相垂直. 如图①,设旋转后的射线$AM',BQ'$交于点$O$,则$BO⊥AO$,所以$∠ ABO+∠ BAO=90°$. 因为$PQ// MN$,所以$∠ ABQ+∠ BAM=180°$. 所以$∠ OBQ+∠ OAM=180°-(∠ ABO+∠ BAO)=180°-90°=90°$. 又因为$∠ OBQ=(2t)°,∠ OAM=(8t)°$,所以$2t+8t=90$. 所以$t=9$. 所以至少旋转9秒时,射线$AM,BQ$互相垂直.
(3) 设射线$AM$再旋转$t$秒时,射线$AM,BQ$互相平行. 如图②,射线$AM$绕点$A$顺时针先旋转15秒,$AM$旋转至$AM'$的位置,则$∠ MAM'=15×8°=120°$,所以$∠ M'AB=180°-45°-120°=15°$. 所以$AM$从$AM'$的位置旋转到$AB$的位置所需时间为$15÷8=1.875$(秒);$AM$从$AM'$的位置旋转到$AN$的位置所需时间为$(15+45)÷8=7.5$(秒);$AM$从$AM'$的位置先旋转到$AN$的位置,再往回旋转到$AB$的位置所需时间为$(15+45+45)÷8=13.125$(秒). 分两种情况:① 当$1.875＜t＜7.5$时,$∠ QBQ'=(2t)°$,$∠ M'AM''=(8t)°$,所以$∠ BAM''=∠ M'AM''-∠ M'AB=(8t)°-15°$. 因为$PQ// MN$,所以$∠ BAN=45°=∠ ABQ$. 所以$∠ ABQ'=45°-(2t)°$. 当$∠ ABQ'=∠ BAM''$时,$BQ'// AM''$,所以$45-2t=8t-15$. 所以$10t=60$,解得$t=6$. ② 当$7.5＜t＜13.125$时,$∠ QBQ'=(2t)°$,$∠ NAM''=8°(t-7.5)=(8t)°-60°$,所以$∠ BAM''=∠ BAN-∠ NAM''=105°-(8t)°$. 因为$PQ// MN$,所以$∠ BAN=45°=∠ ABQ$. 所以$∠ ABQ'=45°-(2t)°$. 当$∠ ABQ'=∠ BAM''$时,$BQ'// AM''$,所以$45-2t=105-8t$. 所以$6t=60$,解得$t=10$. 综上所述,射线$AM$再旋转6秒或10秒时,射线$AM,BQ$互相平行.