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1. 已知整数$a_1,a_2,a_3,a_4······$满足：$a_1=0$，$a_2=-|a_1+1|$，$a_3=-|a_2+2|$，$a_4=-|a_3+3|$，$···$，以此类推，则$a_{2026}$的值为（
A.$-2025$
B.$-1012$
C.$-1013$
D.$-1011$
C
）A.$-2025$
B.$-1012$
C.$-1013$
D.$-1011$
答案
因为$a_1=0,a_2=-|a_1+1|=-1,a_3=-|a_2+2|=-1,a_4=-|a_3+3|=-2,a_5=-|a_4+4|=-2,a_6=-|a_5+5|=-3,a_7=-|a_6+6|=-3,…,$所以当$n$为偶数时,$a_n=-\frac{n}{2}$,当$n$为奇数时,$a_n=-\frac{n-1}{2}$. 所以$a_{2026}=-\frac{2026}{2}=-1013$.
2. 有按照一定规律排列的n个数：2，5，8，11，14，….若最后两个数的和为265，则n的值为
45
.答案
因为第1个数是$3×1-1=2$,第2个数是$3×2-1=5$,第3个数是$3×3-1=8$,第4个数是$3×4-1=11$……所以第$(n-1)$个数是$3(n-1)-1$,第$n$个数是$3n-1$.根据题意,得$3(n-1)-1+3n-1=265$,解得$n=45$.
3. 观察如图所示的“品”字形图中各数之间的规律，可得$a+b$的值为
139
。答案
由题图,可知每个图形中上面的小正方形中的数是连续奇数,所以第$n$个图形中上面的小正方形中的数是$2n-1$.令$2n-1=11$,解得$n=6$.因为$2=2^1,4=2^2,8=2^3,…,$所以第$n$个图形中左下角的小正方形中的数为$2^n$.所以$b=2^6=64$.因为右下角的小正方形中的数是上面的小正方形中的数与左下角的小正方形中的数之和,所以$a=11+b=11+64=75$.所以$a+b=75+64=139$.
4. 有下列按一定规律排列的单项式：$2a$，$5a^2$，$10a^3$，$17a^4$，…，则第$n$个单项式为 （
A.$(n^2+1)a^n$
B.$(n+1)a^n$
C.$2na^n$
D.$(2n+1)a^n$
A
）A.$(n^2+1)a^n$
B.$(n+1)a^n$
C.$2na^n$
D.$(2n+1)a^n$
答案
因为这列单项式的系数分别为2,5,10,17,…,所以第$n$个单项式的系数为$n^2+1$.因为这列单项式的未知数的指数分别为1,2,3,4,…,所以第$n$个单项式的未知数的指数为$n$.所以第$n$个单项式为$(n^2+1)a^n$.
5. 有下列式子:$2× 4+1=9=3^2$;$6× 8+1=49=7^2$;$14× 16+1=225=15^2$;$\dots$.按此规律,第$n$个式子的值为 (
A.$(2^{n+1}-1)^2$
B.$(2^n -1)^2$
C.$(n^3 -1)^2$
D.$(3n)^2$
A
)A.$(2^{n+1}-1)^2$
B.$(2^n -1)^2$
C.$(n^3 -1)^2$
D.$(3n)^2$
答案
第1个式子:$2×4+1=9=3^2$,即$(2^2-2)×2^2+1=(2^2-1)^2$;第2个式子:$6×8+1=49=7^2$,即$(2^3-2)×2^3+1=(2^3-1)^2$;第3个式子:$14×16+1=225=15^2$,即$(2^4-2)×2^4+1=(2^4-1)^2$;….所以第$n$个式子的值为$(2^{n+1}-1)^2$.
6. 观察下列各式:① $5×5=0×1×100+25$;② $15×15=1×2×100+25$;③ $25×25=2×3×100+25$;④ $35×35=3×4×100+25$;….按照这个规律,第⑩个式子应表示为
95×95=9×10×100+25
.答案
由题意可知,第ⓝ个式子表示为$(10n-5)(10n-5)=(n-1)n×100+25$,所以第⑩个式子应表示为$95×95=9×10×100+25$.
7. 将连续的奇数1,3,5,7,…按如图①所示的方式排列,用一个十字框框出五个数,框出的任意五个数分别用a,b,c,d,x表示(如图②).
(1) 若$x=17$,则$a+b+c+d=$
(2) 用含$x$的代数式分别表示数$a,b,c,d$.
(3) 直接写出$a,b,c,d,x$这五个数之间的数量关系:
(4) 设$M=a+b+c+d+x$,判断$M$的值能否为2020,并说明理由.
(1) 若$x=17$,则$a+b+c+d=$
68
.(2) 用含$x$的代数式分别表示数$a,b,c,d$.
(3) 直接写出$a,b,c,d,x$这五个数之间的数量关系:
a+b+c+d=4x
.(4) 设$M=a+b+c+d+x$,判断$M$的值能否为2020,并说明理由.
答案
(1) 68. 由题图①可知,当$x=17$时,$a=5,b=15,c=19,d=29$,所以$a+b+c+d=5+15+19+29=68$.
(2) $a=x-12,b=x-2,c=x+2,d=x+12$.
(3) $a+b+c+d=4x$. 因为$a+d=x-12+x+12=2x,b+c=x-2+x+2=2x$,所以$a+b+c+d=4x$.
(4) 不能.理由:因为$a+b+c+d=4x$,所以$M=a+b+c+d+x=5x$.当$5x=2020$时,$x=404$.因为404为偶数,而题图①中的所有数为奇数,所以$M$的值不能为2020.
(2) $a=x-12,b=x-2,c=x+2,d=x+12$.
(3) $a+b+c+d=4x$. 因为$a+d=x-12+x+12=2x,b+c=x-2+x+2=2x$,所以$a+b+c+d=4x$.
(4) 不能.理由:因为$a+b+c+d=4x$,所以$M=a+b+c+d+x=5x$.当$5x=2020$时,$x=404$.因为404为偶数,而题图①中的所有数为奇数,所以$M$的值不能为2020.
8. 将一根绳子折成3段，然后按如图所示的方式剪开，剪1刀，绳子变为4段，剪2刀，绳子变为7段.若继续按这样的方式剪下去，正好绳子变为100段，则共剪了（
A.25刀
B.33刀
C.34刀
D.49刀
（第8题）
B
）A.25刀
B.33刀
C.34刀
D.49刀
（第8题）答案
因为剪1刀,绳子变为4段;剪2刀,绳子变为7段;剪3刀,绳子变为10段;…,所以剪$n$刀,绳子变为$(3n+1)$段.当$3n+1=100$时,$n=33$.所以共剪了33刀.
