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5 新考法[2026江苏宿迁期中,中]数学实践活动:仅用无刻度直尺作图(不写作法,保留作图痕迹).
(1)如图(1),正五边形的五个顶点都在圆上,作出圆心$O_1$的位置;
(2)如图(2),正方形只有一个顶点在圆上,作出圆心$O_2$的位置.
(1)如图(1),正五边形的五个顶点都在圆上,作出圆心$O_1$的位置;
(2)如图(2),正方形只有一个顶点在圆上,作出圆心$O_2$的位置.
答案
【解】(1)圆心的$O_1$位置如图(1)所示.
(2)圆心$O_2$的位置如图(2)所示.
解析
【分析】
(1) 圆心是圆两条不重合对称轴的交点，正五边形是轴对称图形，且它的外接圆圆心在正五边形的所有对称轴上，因此只需作出正五边形的两条不同对称轴，交点就是所求的圆心$O_1$。
(2) 正方形内角为90°，落在圆上的正方形顶点处的角是圆周角，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，直径的中点为圆心，因此只需构造两条不同的直径，它们的交点就是所求的圆心$O_2$。
【解析】
(1) 正五边形的对称轴均过其外接圆圆心：用无刻度直尺连接正五边形的两组不相邻顶点，得到两条对称轴，两条对称轴的交点即为圆心$O_1$。
(2) 延长正方形落在圆上的顶点的两条邻边，分别和圆交于另外两点，连接这两点得到圆的一条直径；用相同方法构造另一条不同的直径，两条直径的交点即为圆心$O_2$。
【答案】
(1) 圆心的$O_1$位置如图(1)所示.
(2) 圆心$O_2$的位置如图(2)所示.
【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，尺规作图
【点评】
本题属于无刻度直尺作图类题目，需要结合几何性质推导作图逻辑，能够很好地考查对几何定理的灵活运用能力和实践操作能力。
【难度系数】
0.6
(1) 圆心是圆两条不重合对称轴的交点，正五边形是轴对称图形，且它的外接圆圆心在正五边形的所有对称轴上，因此只需作出正五边形的两条不同对称轴，交点就是所求的圆心$O_1$。
(2) 正方形内角为90°，落在圆上的正方形顶点处的角是圆周角，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，直径的中点为圆心，因此只需构造两条不同的直径，它们的交点就是所求的圆心$O_2$。
【解析】
(1) 正五边形的对称轴均过其外接圆圆心：用无刻度直尺连接正五边形的两组不相邻顶点，得到两条对称轴，两条对称轴的交点即为圆心$O_1$。
(2) 延长正方形落在圆上的顶点的两条邻边，分别和圆交于另外两点，连接这两点得到圆的一条直径；用相同方法构造另一条不同的直径，两条直径的交点即为圆心$O_2$。
【答案】
(1) 圆心的$O_1$位置如图(1)所示.
(2) 圆心$O_2$的位置如图(2)所示.
【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，尺规作图
【点评】
本题属于无刻度直尺作图类题目，需要结合几何性质推导作图逻辑，能够很好地考查对几何定理的灵活运用能力和实践操作能力。
【难度系数】
0.6
6[2026浙江金华质检,中]在如图所示由边长相同的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点A,B均在网格的交点上,顶点C在网格线上,请用无刻度直尺按要求画图.要求保留画图痕迹,并简要说明支持你画法正确的理由.
(1)在图(1)中画出圆的一条直径.
(2)在图(2)中画出圆的圆心P.
(1)在图(1)中画出圆的一条直径.
(2)在图(2)中画出圆的圆心P.
答案
【解】(1)如图(1),EF即为所求.理由:$\because ∠ EAF=90°$,且点E,F均在圆上,$\therefore EF$是圆的一条直径.(答案不唯一)
(2)如图(2),取格点G,$∠ GAB=90°$,延长AG交圆于点H,连接HB,则HB为直径,HB与EF交于点P,则点P即为所求.
理由:设每个小正方形的边长为1.如图(3),连接BG.$\because AG=AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$GB=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$,$\therefore AB^2+AG^2=BG^2$,$\therefore △ ABG$是直角三角形,且$∠ GAB=90°$,即$∠ HAB=90°$,$\therefore HB$是直径,由(1)可得EF是直径,$\therefore EF$,HB的交点即为圆心P.
思路分析
(2)作圆心的关键是找到两条不同的直径,交点即为圆心,一是利用圆周角是直角所对的弦为直径,二是利用圆的对称性及垂径定理推出直径.
关键点拨
本题考查与圆相关的网格作图,作图的关键是利用网格的直角找出圆的直径.
解析
【分析】
(1) 要绘制圆的直径，可利用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。借助网格的直角特征，在圆上找到三点构造出90°的圆周角，该角所对的弦就是直径。
(2) 圆心是圆所有直径的公共交点，因此只需再画出一条异于第一问所得直径的新直径，两条直径的交点即为圆心。同样结合网格构造90°圆周角得到第二条直径，两条直径的交点就是所求圆心。
【解析】
(1) 画法：在圆上取格点E、F，连接EF，得到所求直径。
理由：
∵∠EAF=90°，且E、A、F三点都在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知EF是该圆的一条直径。（画法不唯一）
(2) 画法：取格点G，延长AG交圆于点H，连接HB，HB与(1)中所得EF交于点P，点P即为所求圆心。
理由：设每个小正方形的边长为1，连接BG。
由勾股定理计算得：$AG=AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$GB=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$，
∴$AB^2+AG^2=13+13=26=BG^2$，
∴△ABG为直角三角形，且∠GAB=90°，即∠HAB=90°，因此HB是圆的直径。
结合(1)可知EF也是圆的直径，圆的两条直径的交点为圆心，因此EF与HB的交点P就是该圆的圆心。
【答案】
(1) 如图(1)，EF即为所求。
(2) 如图(2)，点P即为所求。
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于网格背景下的圆作图题，解题核心是灵活运用90°圆周角对应直径的性质，结合网格特征构造直角得到直径，再通过两条直径的交点确定圆心，既考查了几何性质的应用能力，也锻炼了学生结合网格特点分析问题的实操能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要绘制圆的直径，可利用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。借助网格的直角特征，在圆上找到三点构造出90°的圆周角，该角所对的弦就是直径。
(2) 圆心是圆所有直径的公共交点，因此只需再画出一条异于第一问所得直径的新直径，两条直径的交点即为圆心。同样结合网格构造90°圆周角得到第二条直径，两条直径的交点就是所求圆心。
【解析】
(1) 画法：在圆上取格点E、F，连接EF，得到所求直径。
理由：
∵∠EAF=90°，且E、A、F三点都在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知EF是该圆的一条直径。（画法不唯一）
(2) 画法：取格点G，延长AG交圆于点H，连接HB，HB与(1)中所得EF交于点P，点P即为所求圆心。
理由：设每个小正方形的边长为1，连接BG。
由勾股定理计算得：$AG=AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$GB=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$，
∴$AB^2+AG^2=13+13=26=BG^2$，
∴△ABG为直角三角形，且∠GAB=90°，即∠HAB=90°，因此HB是圆的直径。
结合(1)可知EF也是圆的直径，圆的两条直径的交点为圆心，因此EF与HB的交点P就是该圆的圆心。
【答案】
(1) 如图(1)，EF即为所求。
(2) 如图(2)，点P即为所求。
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于网格背景下的圆作图题，解题核心是灵活运用90°圆周角对应直径的性质，结合网格特征构造直角得到直径，再通过两条直径的交点确定圆心，既考查了几何性质的应用能力，也锻炼了学生结合网格特点分析问题的实操能力。
【难度系数】
0.6
7[2026江苏南京调研,中]如图,一个圆与正方形的四边都相切,切点分别为A,B,C,D.仅用无刻度的直尺分别在图(1)、图(2)中画出135°,22.5°的圆周角并标明角的度数.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
【解】如图(1),$∠ AEB$即为所求.(答案不唯一)在弧AB上任意取一点E,连接BE,AE,则$∠ AEB=135°$.
如图(2),$∠ EAC$即为所求.(答案不唯一)连接AC,连接正方形的一条对角线,交圆于点E,AC与对角线交于点O,则$∠ EOC=45°$,连接EA,则$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ EOC=22.5°$.
解析
【分析】
解题需结合圆周角定理、正方形与内切圆的特征逐步推导：
1. 作135°圆周角：圆是正方形的内切圆，切点A、B、C、D将圆四等分，劣弧AB对应的圆心角为90°，因此优弧AB的度数为270°，根据圆周角定理，优弧AB对应的圆周角为270°÷2=135°，只需在劣弧AB上取点，连接该点与A、B即可得到135°圆周角。
2. 作22.5°圆周角：22.5°是45°的一半，先构造45°的圆心角，正方形对角线与过切点的直径AC的夹角为45°（即圆心角为45°），根据圆周角定理，该圆心角对应的圆周角为45°÷2=22.5°，据此连线即可得到所需角。
【解析】
1. 图(1)作图：在劣弧AB上任意选取一点E，连接AE、BE。已知劣弧AB对应的圆心角为90°，则优弧AB的度数为$360°-90°=270°$，根据圆周角定理，$∠ AEB=\frac{1}{2}×270°=135°$，$∠ AEB$即为所求。
2. 图(2)作图：连接AC，再连接正方形的一条对角线（如左下角顶点到右上角顶点的对角线），对角线与AC交于圆心O，与圆交于点E，可得圆心角$∠ EOC=45°$，连接EA，根据圆周角定理，$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，$∠ EAC$即为所求。
【答案】
如图(1),$∠ AEB$即为所求.(答案不唯一)在弧AB上任意取一点E,连接BE,AE,则$∠ AEB=135°$.
如图(2),$∠ EAC$即为所求.(答案不唯一)连接AC,连接正方形的一条对角线,交圆于点E,AC与对角线交于点O,则$∠ EOC=45°$,连接EA,则$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ EOC=22.5°$.
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，无刻度直尺作图
【点评】
本题考查几何作图能力，需要灵活运用圆周角定理和正方形的性质构造指定度数的角，题目具有一定开放性，答案不唯一，能有效锻炼学生的图形分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题需结合圆周角定理、正方形与内切圆的特征逐步推导：
1. 作135°圆周角：圆是正方形的内切圆，切点A、B、C、D将圆四等分，劣弧AB对应的圆心角为90°，因此优弧AB的度数为270°，根据圆周角定理，优弧AB对应的圆周角为270°÷2=135°，只需在劣弧AB上取点，连接该点与A、B即可得到135°圆周角。
2. 作22.5°圆周角：22.5°是45°的一半，先构造45°的圆心角，正方形对角线与过切点的直径AC的夹角为45°（即圆心角为45°），根据圆周角定理，该圆心角对应的圆周角为45°÷2=22.5°，据此连线即可得到所需角。
【解析】
1. 图(1)作图：在劣弧AB上任意选取一点E，连接AE、BE。已知劣弧AB对应的圆心角为90°，则优弧AB的度数为$360°-90°=270°$，根据圆周角定理，$∠ AEB=\frac{1}{2}×270°=135°$，$∠ AEB$即为所求。
2. 图(2)作图：连接AC，再连接正方形的一条对角线（如左下角顶点到右上角顶点的对角线），对角线与AC交于圆心O，与圆交于点E，可得圆心角$∠ EOC=45°$，连接EA，根据圆周角定理，$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，$∠ EAC$即为所求。
【答案】
如图(1),$∠ AEB$即为所求.(答案不唯一)在弧AB上任意取一点E,连接BE,AE,则$∠ AEB=135°$.
如图(2),$∠ EAC$即为所求.(答案不唯一)连接AC,连接正方形的一条对角线,交圆于点E,AC与对角线交于点O,则$∠ EOC=45°$,连接EA,则$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ EOC=22.5°$.
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，无刻度直尺作图
【点评】
本题考查几何作图能力，需要灵活运用圆周角定理和正方形的性质构造指定度数的角，题目具有一定开放性，答案不唯一，能有效锻炼学生的图形分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
8[2026江苏宿迁调研,较难]如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格,每个小正方形的顶点叫作格点,圆上三点A,B,C均为格点,点D在圆上,仅用无刻度的直尺在给定网格中画图,完成下列各题:
(1)在图(1)中,画出圆心O.
(2)在图(2)中,在圆上找一点E,使得$DE^2 = DB^2 + DC^2$成立.
(3)在图(3)中,在圆上找一点F,使得$DF ⊥ AB$,并简要说明你的依据.
(1)在图(1)中,画出圆心O.
(2)在图(2)中,在圆上找一点E,使得$DE^2 = DB^2 + DC^2$成立.
(3)在图(3)中,在圆上找一点F,使得$DF ⊥ AB$,并简要说明你的依据.
答案
【解】(1)如图(1)所示,圆心O即为所求.
(2)如图(2)所示,点E即为所求.
(3)如图(3)所示,点F即为所求.
依据:由作图知,直线l是$\odot O$的一条对称轴,且点A和点C关于直线l对称,$\therefore$点D和点F关于直线l对称,$\therefore$直线$l⊥ DF$.$\because$直线$l⊥ AC,AB⊥ AC$,$\therefore l// AB$,$\therefore DF⊥ AB$.
解析
【分析】
(1) 确定圆心的核心依据是圆心到圆上任意点的距离相等，是圆中任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，也可利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，找到两条不同直径的交点即为圆心。结合网格的格点特征，选取两条易作垂直平分线的弦，作出它们的垂直平分线，交点就是所求的O。
(2) 要满足$DE^2 = DB^2 + DC^2$，结合勾股定理逆定理可知，若以DB、DC为直角边作直角三角形，DE为该直角三角形的斜边即可。结合圆的性质“直径所对的圆周角是直角”，将DB转化为与DC共直角顶点的等长弦，即可确定点E的位置。
(3) 要得到$DF⊥AB$，可利用平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条。首先构造与AB平行的、过圆心的对称轴l，再利用圆的对称性，作点D关于l的对称点F，此时DF垂直于l，即可推出DF垂直于AB。
【解析】
(1) 观察格点位置，弦AB为水平方向，其垂直平分线是过AB中点的竖直线；再选取弦BC，作出BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O。
(2) 根据圆中等弦对等弧的性质，找到点E使得$CE=BD$，此时$DE$为直径，所对的圆周角$∠DCE=90°$，由勾股定理得$DE^2=DC^2+CE^2=DC^2+DB^2$，满足条件。
(3) 首先作过圆心O且平行于AB的直线l，由网格特征可知$AB⊥AC$，直线l是AC的垂直平分线，故$l⊥AC$，可得$l// AB$；再作点D关于直线l的对称点F，F在圆上，由对称性可知$l⊥DF$，因此$DF⊥AB$。
依据:由作图知,直线l是$\odot O$的一条对称轴,且点A和点C关于直线l对称,$\therefore$点D和点F关于直线l对称,$\therefore$直线$l⊥ DF$.$\because$直线$l⊥ AC,AB⊥ AC$,$\therefore l// AB$,$\therefore DF⊥ AB$.
【答案】
(1) 如图(1)所示,圆心O即为所求.
(2) 如图(2)所示,点E即为所求.
(3) 如图(3)所示,点F即为所求.
依据:由作图知,直线l是$\odot O$的一条对称轴,且点A和点C关于直线l对称,$\therefore$点D和点F关于直线l对称,$\therefore$直线$l⊥ DF$.$\because$直线$l⊥ AC,AB⊥ AC$,$\therefore l// AB$,$\therefore DF⊥ AB$.
【知识点】
圆心的确定；圆周角定理；圆的对称性
【点评】
本题属于网格背景下的圆的尺规作图题，综合了圆的基本性质、勾股定理、平行线与垂直的判定等知识点，需要结合网格特征灵活运用几何性质构造辅助线，能有效锻炼几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
(1) 确定圆心的核心依据是圆心到圆上任意点的距离相等，是圆中任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，也可利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，找到两条不同直径的交点即为圆心。结合网格的格点特征，选取两条易作垂直平分线的弦，作出它们的垂直平分线，交点就是所求的O。
(2) 要满足$DE^2 = DB^2 + DC^2$，结合勾股定理逆定理可知，若以DB、DC为直角边作直角三角形，DE为该直角三角形的斜边即可。结合圆的性质“直径所对的圆周角是直角”，将DB转化为与DC共直角顶点的等长弦，即可确定点E的位置。
(3) 要得到$DF⊥AB$，可利用平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条。首先构造与AB平行的、过圆心的对称轴l，再利用圆的对称性，作点D关于l的对称点F，此时DF垂直于l，即可推出DF垂直于AB。
【解析】
(1) 观察格点位置，弦AB为水平方向，其垂直平分线是过AB中点的竖直线；再选取弦BC，作出BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O。
(2) 根据圆中等弦对等弧的性质，找到点E使得$CE=BD$，此时$DE$为直径，所对的圆周角$∠DCE=90°$，由勾股定理得$DE^2=DC^2+CE^2=DC^2+DB^2$，满足条件。
(3) 首先作过圆心O且平行于AB的直线l，由网格特征可知$AB⊥AC$，直线l是AC的垂直平分线，故$l⊥AC$，可得$l// AB$；再作点D关于直线l的对称点F，F在圆上，由对称性可知$l⊥DF$，因此$DF⊥AB$。
依据:由作图知,直线l是$\odot O$的一条对称轴,且点A和点C关于直线l对称,$\therefore$点D和点F关于直线l对称,$\therefore$直线$l⊥ DF$.$\because$直线$l⊥ AC,AB⊥ AC$,$\therefore l// AB$,$\therefore DF⊥ AB$.
【答案】
(1) 如图(1)所示,圆心O即为所求.
(2) 如图(2)所示,点E即为所求.
(3) 如图(3)所示,点F即为所求.
依据:由作图知,直线l是$\odot O$的一条对称轴,且点A和点C关于直线l对称,$\therefore$点D和点F关于直线l对称,$\therefore$直线$l⊥ DF$.$\because$直线$l⊥ AC,AB⊥ AC$,$\therefore l// AB$,$\therefore DF⊥ AB$.
【知识点】
圆心的确定；圆周角定理；圆的对称性
【点评】
本题属于网格背景下的圆的尺规作图题，综合了圆的基本性质、勾股定理、平行线与垂直的判定等知识点，需要结合网格特征灵活运用几何性质构造辅助线，能有效锻炼几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
